小学数学知识中的“悖论”

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摘要：本文通过运用小学数学知识，解释学生在学习中或者网络上遇到的一些所謂的“数学悖论”问题，例如经典的“阿基里斯追龟问题”，网络上流行的“1=2”，“1元=1分”等问题。

关键词：小学数学;悖论;解释

悖论是指自相矛盾的命题，这个命题中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。（1）

一、阿基里斯追龟问题

悖论自古就有，下面举一个大家耳熟能详的悖论——“阿基里斯追龟”，它是古希腊哲学家芝诺提出的，内容如下：“阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，他的速度是乌龟的十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他永远也不可能追上乌龟。”

“什么？阿基里斯永远也追不上乌龟？怎么可能，芝诺这个家伙的数学肯定是体育老师教的吧！”这可能是我们第一次看到这个问题的反应，我们肯定会想：这种问题小学生都会做，芝诺的结论肯定是荒谬的。那么接下来我们就试着把这个问题改造成一道小学数学里的题目吧。因为这个芝诺悖论的实质是说：如果慢跑者在快跑者前面一段距离开始跑，那么无论快跑者跑得有多快，都无法追上前面的慢跑者。于是我们可以把它改编成一道不失其本质的小学数学问题：“甲乙赛跑，甲每秒钟跑1米，乙每秒钟跑2米。如果甲在乙前面100米处开始跑，那么乙能不能追上甲？如果能，需要多长时间？”这道题对小学生来说都太简单了，答案肯定是“能”。多长时间能追上呢？100÷（2-1）=100（秒），所以在他们开跑100秒后乙追上甲。

所谓“我不同意你的观点，但我誓死捍卫你说话的权利”，虽然我们感觉芝诺的结论不值一驳，但我们也给他一个机会看看这个诡辩派是怎么说的吧！为了方便理解，我们就利用上面这道题的数据，将芝诺的意思阐述如下：因为甲在乙前面100米，所以乙要追上甲就必须先跑到100米这个地方，需要100÷2=50秒的时间，而此时甲已经前进了50米;于是乙又要向前跑50米需要25秒的时间，那么同时甲还会前进25米;当乙再花秒跑到甲刚才的位置的时候，甲又前进了一段距离到达了新的位置;再接下来的一次，乙需要花秒的时间到达甲刚才的位置……过程依此反复进行，虽然乙离甲的距离越来越接近，但是乙永远也追上甲。

这么一想，芝诺讲得似乎有点道理啊！那同一个问题用不同的方法解释，怎么会出现两种完全不同的结论呢？我们用第一种方法算出来乙只用100秒的时间就能追上甲了，可用芝诺的方法去做“确实”永远也追不上啊，而且他的方法从逻辑上讲好像也没有问题啊：要追上前面的人，总要先跑到他刚才待的位置吧。那问题出在哪里呢，这也能用小学数学知识来解释吗？答案是肯定的，我们来回顾第二种方法的过程，虽然芝诺将乙追甲的过程分成了无数段，但是每一段所花的时间是一定的，一共用时：

50秒+25秒+秒+秒+…

我们用乘法分配律提取100秒，将上式化为100×（++++…）。

看！“++++…”多么熟悉的式子啊，这不就是人教版数学六年级上册“数与形”中的知识吗，这个算式的答案就是1，于是我们知道了即便是用芝诺的方法算，乙追上甲的时间仍然是100×1=100秒。虽然这个算式的项数是无限的，但它们的和却是有限的。芝诺的错误在于，他直观的认为在追击的过程中如果段数被分成了无限份，所用的时间就是无限的，而事实并非如此。

二、“1=2”和“1元=1分”的神奇证明

咋一看，这道题好像计算没有问题，但实际上这里的推导一开始就错了，100分并不是等于“10分×10分”，而是等于“10×10分”。这个问题的迷惑性在于出错的不是数字而是单位，在数学中“10米×10米=100平方米”等是有几何意义的，而“10分×10分”等于什么呢？是100平方分吗，那它的意义又是什么呢？所以，有一定小学数学常识的学生也知道，解决问题时要时常注意单位的统一性。“100分≠10分×10分”，因为左右两边单位不一致。

另外，我们认为在小学数学的教学中，如果能在适当的时机引入上述“悖论”式的问题引发学生的数学思考，对我们的教学应当是有所助益的。这些问题本身有一定的难度，又带有一定的趣味性，可以激发学生的学习热情，也能让学生感受到用自己所学知识解决问题的快乐，是数学拓展性课程不错的选择。

注释：

https：//baike.baidu.com/item/数学悖论/551024？fr=aladdin