高温作业专用服装设计探析

欧伟铭 皇甫晓相

摘 要：借2018年全国大学生数学竞赛A题的背景与数据，探讨了高温作业专用服装设计问题，对于人体与外界对流换热的情况，导出对应热传导方程及其初边值条件并利用差分法进行数值求解，分别得出热防护服内部温度随时间和空间的分布。从减轻防护服重量角度出发，解得在相关约束下热防护服各层的最优厚度。

关键词：热传导方程;差分法;广度优先;穷举法;初边值问题

中图分类号：TB 文献标识码：Adoi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2019.27.107

1 问题重述

（1）根据已知条件建立数学模型，计算温度分布。

（2）在环境温度、IV层厚度、工作时间确定，皮肤外侧的温度低于47℃，且高于44℃的时间不超过 5 分钟时，求II层最优厚度。

2 模型的建立与求解

2.1 问题一模型的建立与求解

问题一已知各层织物的厚度、环境温度、工作时间及皮肤外侧的测量温 度，要求计算温度分布。求解步骤如下：

（1）以热防护服 I 层与外界环境的边界为原点，热量传递方向为 x 轴建立坐标系。

（2）根据热传导方程建立各层织物的非稳态热传导方程并确定各层织物的边界条件建立温度分布模型。

（3）通过显式欧拉法逐步迭代，求出皮肤外侧温度关于空间位置及时间关系，从而得到温度分布。

（4）假人中心抽象为恒温热源，将皮肤内层环境看作流体，增加对流换热的情况考虑，来精确皮肤表层温度的分布。

在环境-热防护服-皮肤外侧系统中，原点为I层与外界环境的边界，x的正向为热量传递的方向。由于本题已假定热传递仅沿垂直于皮肤方向进行，可视为一维导热问题，故可忽略y、z方向分量。又假人体内的温度控制在37℃恒定，故为0。

因此，在本题中热传导方程可简化为：

a为热扩散率。

热传导方程组的构建：热量从环境中以热传导的方式由I层逐步向内层传递，每层织物材料均有两个导热界面。根结合初始、边界条件建立各层织物的热传导方程组。

I层热传导方程：因本题仅考虑热传导一种传递作用，由 0 时刻的初始温度，得到初始条件及边界条件，对于 I 层：

II 、III层热传导方程组：

II层既与I层相邻，又与III层相邻，且两种导热界面均只有热传导一种作用。而IV层是空气层，在狭小的空间内，我们可以忽略空气的流动，即不考虑热对流作用，则III层的导热情况与II层类似。对于II 、III层有：

其余层对于边界条件的处理基本相同，不再赘述。

在假人体内中心，存在37℃的恒温热源，以热对流形式向周围“吹着 37℃的热风”，使皮肤内层温度稳定在 37℃。

附件数据的分析：

用Excel 对附件5400组数据进行分析。1645s前，皮肤外侧温度随时间变化而上升;1645s后，皮肤外侧温度不随时间的变化而改变。故前者为非稳态导热过 程，后者为稳态导热过程。

皮肤边界节点离散方程的建立：

考虑皮肤表层边界及外侧部分。皮肤表层受到内部流体的热对流作用，对流换热系数为h。此时边界点 N 代表宽度为x/ 2 的元体。

对该元体应用能量守恒定律：

对流换热系数h的求解：

本题存在稳态和非稳态导热两个阶段，针对不同的阶段，对流换热系数具有不同形式：

以上两式分别为稳定导热和非稳态导热情况下对流换热系数的表达式。

在问题一中，由于1645 秒后传热即达稳态。故皮肤外侧温度分布模型取为第一式。由附件二中皮肤表层的数据 t（i） 及皮肤外侧温度分布模型，可解得对流换热系数h=8.612。代入式（*） 可求出皮肤表层温度。

如图1所示，随着位置不断接近皮肤表层，温度由 48℃ 稳定到 37℃，这与 附件2数据一致 。

2.2 问题二模型的建立与求解

问题二已知热防护服I、III、IV层的厚度、环境温度、工作时间，要求II层的最优厚度。本题将最优厚度理解为达到该厚度时，热防护服满足工作条件且质量最轻。

2.2.1 单层织物优化模型的建立确定对流换热系数h

问题二要求皮肤外侧温度不超过47℃，且超过44℃的时间不超过5分钟。易知：

只有在非稳态导热的情况下，皮肤外侧的温度才会随时间的变化而改变，故应选择非稳态传热的对流交换系数。

由附件二中皮肤表层的数据t（i）N 及皮肤外侧温度分布模型，可解得对流换热系数h 。

10830时间节点时，h为8.025且之后不再变化。即在该节点前为非稳态导热过程，之后为稳态导热过程。本题考虑非稳态导热阶段，对该时间节点之前对流交换系数取平均值得 h 为 9.932。

下面进行目标函数的确定。

目标函数：II 层织物厚度最小。

由于织物材料密度确定，热防护服质量与该层织物厚度成正相关，故只需 满足II 层织物厚度 δ2最小，而δ2等于Δx2乘 n 。

约束条件的确定：

2.2.2 单层织物优化模型的求解

广度优先穷举搜索法在本题应用设计算法如下：

（1）通过附件一中II 层厚度的范围，结合给定的空间步长，求出迭代次数的范围。

（2）在迭代次数的范围内，根据 II 层厚度与空间步长及迭代次数的关系：δ2= Δx2×n， 结合第一问中的差分方程与边值条件，对皮肤外侧前 60 分钟的温度进行迭代。

（3）判断此次迭代是否满足约束条件。若满足则记录本次迭代次数，并进行下一次迭代，若不满足则直接进行下一次迭代。

（4）不断重复上述过程直到遍历迭代次数范围内所有的数。

（5）选取记录的有效迭代次数中最小的值，这个最小值对应的厚度即最优厚度。

2.2.3 单层织物优化模型的结果

由以上算法得最小的厚度为4.91mm。

2.3 模型的改进

对I层织物与环境通过热对流交换热量的改进如下：

根据文献，实际中空气存在流速，若忽略空气流速对热传递的影响，会对结果造成偏差，因此在分析外部空气与I层防护服热交换时要热的对流交换，即在外部空气与I层防护服热交换中，得新边界条件：

h为空气对流换热系数，t0为初始时刻外部空气的温度，t（τ，x） 为τ时刻，x位置处的温度。

其余的方程与边值条件与之前相同。对新方程利用差分法进行离散，得迭代公式：

参考文献

[1]王补宣.工程传热传质学（上册）[M].北京：科学出版社，1982.

[2]杨世铭，陶文铨.传热学[M].第4版.高等教育出版社，2006.

[3]窮举搜索法[EB/OL].https：//baike.baidu.com/item/E7A9 B7E4B8BEE6909CE7B4A2E6B395，2018-9-14.

[4]徐建良，汤炳书.一维热传导方程的数值解[J].淮阴师范学院学报（自然科学版），2004，3（3）：210-214.

[5]卢业虎.高温液体环境下热防护服装热湿传递与皮肤烧伤预测[D].上海：东华大学，2013.