基于Pareto遗传算法的无后坐炮内弹道多目标优化设计

肖 剑,王雨时,张志彪

(南京理工大学 机械工程学院 江苏 南京 210094)

无后坐炮武器系统的内弹道设计是整个系统设计的核心,其内弹道性能也是衡量系统整体性能的主要指标之一。采用不同的优化算法对内弹道进行优化设计,是提高内弹道设计效率的方法之一,并在实际中被广泛应用。文献[1]将改进型遗传算法应用于内弹道优化数学模型,得到一组最优设计组合方案,结果表明采用改进遗传算法进行内弹道优化是有效和可行的。文献[2]为研究混合装药结构对内弹道性能的影响,对遗传算法进行了改进,得到一组非劣解集。文献[3]将遗传算法应用于内弹道参数符合计算中。文献[4]利用罚函数法将多目标问题转换为单目标问题进行内弹道优化分析,并得到一组优化解。可见,对内弹道优化问题的研究常常是利用优化算法得到最佳参数,但基于Pareto遗传算法的优化方法在内弹道优化设计领域却并不多见。

为了处理无后坐炮内弹道的多目标优化设计问题,本文利用Pareto遗传算法的特点:①无需将多目标问题转换为单目标问题,②不使用权重来决定各目标的重要性,③可获得非劣解集以提供给决策者多种选择方案;将Pareto遗传算法与无后坐炮内弹道数学模型相结合,建立了基于Pareto遗传算法的多目标优化设计问题的优化模型,进行了无后坐炮内弹道优化设计。

1 无后坐炮内弹道数学模型

无后坐炮内弹道方程的建立基于以下假设[5]:①发射药燃烧服从几何燃烧定律;②发射药燃烧和弹丸运动都在平均压力下进行;③发射药燃烧速度与压力成正比;④整个内弹道过程中发射药燃气生成物成分保持不变;⑤膛壁的热散失忽略不计;⑥不计及弹带逐渐挤进膛线的过程,而假定膛内压力达到挤进压力p0时弹丸开始运动。

内弹道方程组归纳如下。

①燃速方程。

②形状函数。

③弹丸速度与行程的关系。

④弹丸运动方程。

⑤流量方程。

⑥能量平衡方程。

⑦气体状态方程。

2 Pareto遗传算法

2.1 实数编码的遗传算法

遗传算法是模拟达尔文生物进化论的自然选择和遗传学机理的生物进化过程的计算模型,是一种通过模拟自然进化过程具有自适应能力的、全局性的概率搜索算法,起源于20世纪60年代Holland对自然和人工自适应系统的研究[6]。

遗传算法是从目标问题存在解的一个种群开始,首先将解空间中的解数据映射到遗传空间的基因型数据即为编码,称为染色体或个体。初始种群由N个初始个体组成,按照适者生存和优胜劣汰的原理,逐代演化产生目标问题最优解。每一代,根据个体适应度大小选择优良个体,并进行选择、交叉和组合,产生具有新的解集的种群。最终末代所得到的具有最大适应度的个体经解码即作为近似最优解[7]。

标准遗传算法一般采用二进制编码,需要频繁地编码和解码,在实际应用中会导致全局优化速度变慢[8]。因此,本文交叉和变异采用实数编码[8],编码方式如下。

①交叉操作。根据从种群中选择的2个个体y1和y2,进行线性组合,获得2个新个体y′1和y′2,其中:

式中:γ为0～1之间的随机数。

②变异操作。选择2个个体y1和y2,进行以下变异操作获得2个新个体y′1和y′2:

式中:R是产生均值为0、方差为1的随机数;w为小于1的系数,用于控制变异量的范围。

2.2 Pareto最优解定义

本文涉及的无后坐炮内弹道优化问题是多目标优化问题,它与单目标优化问题有着本质的不同。多目标优化问题存在目标间发生相互矛盾的关系,使得多目标优化问题较为复杂。多目标优化问题的数学模型可以描述为

式中:x所属空间D为问题的决策集,fi(x)(i=1,2,…,ε)是各个子目标函数,ε维函数F(x)=[f1(x),f2(x),…,fε(x)]称为问题的目标空间。

Pareto常用的基本概念如下[9-10]。

①Pareto支配。设x1∈D,x2∈D,当且仅当式(1)关系成立,则称x1比x2优越,记为x1x2(为支配符号)。

∀i∈(1,2,…,ε),fi(x1)≤fi(x2)∧ ∃j∈(1,2,…,ε),fj(x1)≤fj(x2)

(1)

②Pareto最优解。解x1是Pareto最优解,当且仅当不存在x2:x1x2。

③Pareto非支配集和前端。所有Pareto最优解的集合称为Pareto非支配集,其对应的目标集合为Pareto前端(Pareto前沿面)。

2.3 Pareto直接竞争选择算子

从种群中选取2个个体x1和x2,将其中一个个体适应度值作为比较集,另一个个体适应度值作为被比较集。设个体x1适应度值作为比较集,利用式(1)将个体x2适应度值与比较集进行比较。如果比较集比个体x2适应度值优越,则个体x1被选中并遗传到下一代;反之,则个体x2被选中并遗传到下一代;反复执行上述过程,直至每一代个体之间均相互比较后再运算下一代[10]。为直观说明优化过程,图1给出了Pareto遗传算法与内弹道程序结合后的优化计算流程。

图1 Pareto遗传算法与内弹道程序结合后的优化计算流程

3 内弹道优化问题数学描述

本文以某中口径无后坐炮内弹道优化问题为研究对象,而无后坐炮内弹道性能主要涉及最大膛压和初速,故将二者选为目标函数。本研究主要为无后坐炮内弹道设计提供多种设计方案,故选择药室容积和发射药药量作为设计变量,且给这两者设定一定的范围。因此,无后坐炮内弹道优化问题的数学描述为

式中:x1和x2分别表示药室容积和发射药药量;f1(x)和f2(x)分别表示最大膛压极小值和初速极大值。

本次优化的内弹道问题为多目标优化问题,包含2个目标:最大膛压极小化和初速极大化。因此,在满足式(2)的情况下x1支配x2,即x1比x2优越,则式(1)在本问题中的具体表达式为

∀[f1(x1)≤f1(x2)∧f2(x1)>f2(x2)]∧
∃[f1(x1)f2(x2)]

(2)

在整个设计变量区间内,满足式(2)的所有解构成Pareto非劣解,并且Pareto非劣解没有优劣之分。

4 数值计算可信性验证

根据第1节介绍的无后坐炮经典内弹道数学模型,采用龙格-库塔法(具体形式参照文献[5]),应用MATLAB软件对无后坐炮内弹道进行数值计算,并借鉴文献[3,11]的方法对无后坐炮内弹道进行参数符合计算,用以提高内弹道程序的精确性及预见性,符合的参数包括绝热指数、燃速指数、次要功系数、火药力和流量修正系数。弹道主要计算诸元如表1所示,包括发射药药量mc、弹丸质量m、火药厚度2e1、药室容积V0和弹丸行程l。最大膛压p和初速v0的计算结果和试验结果如表2所示,表中,δ为误差。由表2可知,最大膛压、初速的计算值与试验值的误差分别为0.04%,0.008%,说明所采用的无后坐炮系统内弹道计算程序是可信的,可用于内弹道设计优化计算。

表1 无后坐炮弹道主要计算诸元

表2 数值计算结果与试验结果的比较

5 优化结果及分析

根据第2节算法,采用所编写的Pareto遗传算法程序对无后坐炮内弹道模型进行优化参数设置。Pareto遗传算法初始参数设置如下:群体规模为40,最大迭代代数为60,交叉概率为0.7,变异概率为0.3。根据图1流程进行优化。

经过60次迭代后,完成Pareto遗传算法优化计算。图2为目标值的Pareto前沿面。从图2可看出:所得最大膛压和初速的解近似均匀分布在Pareto前沿面上,说明所采用的Pareto遗传算法和内弹道相结合是可行的;优化所得到的非劣解集可为决策者提供多种选择,若决策者偏向于其中一个目标,则可以选择Pareto前沿面两端的解,即与单目标优化相同。若决策者同时注重2个目标,则可以选择Pareto前沿面中间的解。本次优化选择靠近优化前计算结果的点{66.50,257.9}作为优化结果,其所对应的药室容积V0和发射药药量mc分别为1 103 cm3和317 g,与优化前结果的对比如表3所示。

图2 Pareto前沿面

方案V0/cm3mc/gp/MPav0/(m·s-1)原始方案81230067.33248.48优化方案1 10331766.50257.90

图3和图4分别为膛压-行程曲线和速度-行程曲线。

图3 膛压-行程曲线

图4 速度-行程曲线

从图3可以看出,优化后的膛压曲线下方所对应的面积较原始膛压曲线大,表明火药气体做功多。从图4中可以看出,优化后的速度高于原始速度。

从表3可以看出,原始方案最大压力为67.33 MPa,优化方案最大压力为66.50 MPa,最大膛压虽有降低,但幅度较小;而速度由原来的248.48 m/s提高到257.90 m/s,提高了3.8%。这证明了将Pareto遗传算法应用到无后坐炮内弹道优化设计是有效的,并且决策者可选择优化后的非劣解集中的任意一组非劣解作为设计方案。

6 结束语

针对某中口径无后坐炮内弹道优化问题,提出了一种基于Pareto遗传算法的内弹道优化方法,将无后炮内弹道程序与多目标优化的Pareto遗传算法结合起来。从Pareto遗传算法搜索结果可看出:本文所优化的对象在最大膛压基本不变的状态下炮口初速可提高3.8%,表明Pareto遗传算法应用到无后坐炮内弹道优化设计是有效的,可提高炮口初速;所求得的内弹道非劣解集以Pareto前沿面的形式给出设计人员候选解集,设计人员可根据需要从中选择无后坐炮内弹道的最优方案。