初中数学问题解决策略研究

张磊

【摘要】初中数学问题解决策略，是引导问题解决者对信息进行操作变形，使目标状态与起始状得以连接起来的程序性知识，具体内容为“明确目标状态→明确起始状态→设计解决方案（搜索已有图式→改造图式→匹配图式）→执行解决方案→反思归纳拓展”五个环节.在初中阶段，执行问题解决策略，通常能完成各类初中数学问题的解决.笔者十多年的教学实践，已充分证明了初中数学问题解决策略的有效性.

【关键词】问题解决策略;认知分析

一、问题解决概述

问题是这样一种情境：起始状态A，目标状态B，且A→B的转化途径未知或不够清晰.问题解决是依据陈述性知识和程序性知识，对信息进行操作变形，最终使起始状态A与目标状态B得以连接起来的信息转化过程.问题解决策略是在连接A与B的过程中，引导信息进行操作变形的程序性知识.

问题解决策略包含两大类：算子式和启发式.算子式属于强的问题解决策略，通常情况下执行算子后，都能使问题得到解决.

启发式属于弱的问题解决策略，执行完程序性知识后，不一定保证问题得到解决，但其具有高效和快速的特点，能提供重要的问题解决思路.

二、初中数学问题解决策略

第一阶段，明确目标状态，确定其类型.初中数学问题，可辨别为“列解方程（组）求值、列解不等式（组）求取值范围、确定函数解析式、逻辑推理、化简求值”五大类.

第二阶段，问题表征，明确初始状态.通过标注，呈现出问题的初始图式，利于与已知图式的比较，为重组和变形奠定基础.

第三阶段，设计问题解决方案.1.搜索图式：依据所辨别的初中数学类型，搜索类型下已有图式.2.匹配重组图式：（1）若起始图式、目标图式匹配已有图式，则进入第四阶段;（2）若起始图式、目标图式不匹配已有图式，则依据已有相关图式，对信息进行操作，重组变形，直至匹配已有图式，进入第四阶段.

第四阶段，执行方案.执行已有图式，并将初始状态与目标状态的连接过程规范地表达出来.

第五阶段，复盘，归纳和拓展出新的知识.

图式为：“明确目标状态→明确起始状态→搜索已有图式→匹配重组图式（若不匹配已有图式→改造变形）→执行图式（方案）→反思”.

三、初中数学问题解决策略应用示例

（一）类型一：逻辑推理证明

（2018年北京中考数学第27题）在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH.求证：GF=GC;

【认知分析】1.明确问题类型：逻辑推理之证明两线段相等.

2.明确初始图式：（1）图式.

（2）言语描述：AD=CD，∠A=∠C=90°，A，F关于DE对称.

3.设计解决方案：

（1）搜索逻辑推理类型下已有图式：

① 言语描述：“等量代换”;对应图式：AB=CD=m;

② 言语描述：“两三角形全等，对应线段相等”;

对应图式：△ABC≌△A′B′C′AB=A′B′，BC=B′C′，CA=C′A′，BD=B′D′.

（2）匹配或重组图式：无匹配图式，则操作改造已知图式，得到匹配图式：① 连接DF，构造△DFG与△DCG，△DAE与△DFE;② 根据A，F关于DE对称，△DAE≌△DFE，△DFG≌△DCG;③ 匹配“两三角形全等，对应线段相等”图式.

4.执行方案：执行“两三角形全等，对应线段相等”图式，并规范表达：

证明：如图所示，連接DF，∵A，F关于DE对称，∴△DAE≌△DFE，则DF=DA=DC，∠DFG=∠DAE=∠C=90°，DG公用，∴△DFG≌△DCG，则GF=GC（两三角形全靠，对应线段相等）.

5.反思：证明“两线段相等”的三种类型知识.

（二）类型二：列解不等式（组）求取值范围

（2015年北京中考数学卷第29题）在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于O的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于C的反称点，下图为点P及其关于C的反称点P′的示意图.

当⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=-33x+23与x轴，y轴分别交于点A，B，若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围.

【认知分析】

1.明确目标判态：列解不等式（组）求坐标数值的范围.

2.明确初始图式：① 言语描述：A（6，0），B（0，23），∠CAE=30°，∠CEF=90°，CP+CP′=2r，CE=12AC，CE

② 图式略.

3.设计解决方案：

（1）搜索已有图式：① 言语描述：解不等式组，求取值范围.

②图式：a1x+b1≤c1，a2x+b2≤c2M≤x≤N.

（2）匹配图式：确定初始状态与目标状态均匹配“待定系数法”.

4.执行方案：解：设C（x，0），当⊙C在OA上时，作CE⊥AB于E点，有CE≤CP≤2r=2，且CA=2CE，∴（6-x）≤4，解得x≥2，当x=2时，C点坐标（2，0），E点的反称点E′（2，0）在圆的内部.

5.反思：求取值范围常利用列解不等式（组）知识.

（三）类型三：列解方程（组）求值

（2018年云南省初中学业水平考试数学第20题）已知二次函数y=-316x2+bx+c的图像经过A（0，3），B-4，-92两点.求b，c的值.