初中数学中数形结合思想的应用研究

☉江苏省无锡市梁溪中学 赵春蕾

数学学科与我们的日常生活联系密切，更是物理、化学等学科的学习基础.初中阶段的数学教学起到了重要的过渡作用，对于学生的后续学习与发展意义显著.在初中数学的内容体系中，“数”与“形”是基本的概念，数形结合的思想方法是培养、提升学生数学学科核心素养的途径.本文以苏科版初中数学为例，探讨数形结合思想在实际教学中的应用.

一、数形结合思想的教学意义

1.简化解题思路

在数学教学中，除了基本数学概念与原理，教师更需要强化对解题思路的讲解，引导学生应用好数学思想方法，这是数学教学的核心，对于提升学生的数学应用能力及综合素养具有重要的意义.在解决一些数学问题时，单纯地从代数或者几何层面进行思考难度较大，学生很难找到解决问题的突破口.这时可以尝试使用数形结合的方法，对解答过程适当进行转化，灵活变通，使得原本抽象的代数问题更加形象、具体，使得几何关系不明显的几何问题更容易量化.通过转换与简化，能够将原本复杂的方法、难以确定的数学问题变成学生所熟悉的题目，便于学生更好地理解题目、解答题目.

例如，有这样一个问题：商场举办抽奖大酬宾活动，凡是购物满200元的顾客都可以参与两次抽奖活动.转盘划分为4个均等的区域，分别标上数字1～4，符合购物额度的顾客可以转动转盘2次，如果2次的数字之和为8或6，游客就能获得奖品.那么顾客能够获奖的概率是多少呢？在解决这个问题时，由于还没有接触概率相关内容，因此教师无法严格地采用概率论的知识进行讲解，单纯地从代数运算角度展开思考，学生理解的难度较大，因此可以结合图形，通过绘制树状图，学生能够将每一种可能的情况都考虑到，一共存在16种不同的抽奖情况，最后得到符合条件的情况共有4种，因此顾客获奖的概率为25%.通过数形结合的方法，学生思考的过程得到了简化，解题过程也更加直观，学生能够高效、准确地解决问题.

2.丰富解题方法

借助图形辅助教学是初中数学教学的常用方法，在一些抽象、复杂的问题中应用广泛，教师可以借助图形将题目中的重要条件和信息展示出来.通过数形结合的方法，学生能够直观分析问题条件，选择最适合的解题方法.在函数、方程等内容的教学中，采用数形结合的方法，能够提高教学效率.

在“一次函数”教学过程中，部分学生对函数概念内涵的理解存在问题，无法灵活应用函数思维方法.比如，假设直线y=-2x+k和横、纵坐标轴所围成的三角形面积为9，那么参数k的值为多少？在分析这个问题时，学生能够知道要求解什么，但是无法灵活应用已知信息进行求解.教师可以借助函数图像法，将已知条件体现在图像上，让学生能够直观地分析已知条件，通过直线和坐标轴的交点构建方程，进而解决问题.

3.引导学生主动学习

数学学科本身具有抽象性与复杂性，学生学习起来困难较大.通过数形结合的方法，学生能够将代数与几何图形结合起来，使得原本复杂的数学知识变得更加直观，便于学生理解知识内容，学生的学习难度降低，学习积极性与主动性得到提升.当然，图形方法虽然有直观性等优势，但也有其问题，即在计算方面没有代数方便.因此，在解决数学问题时，除了要借助图形来表征问题，同时要强化定量计算图形信息的能力，综合应用代数与几何的解题优势，发挥数形结合方法的效用，提升解题与学习效果.

例如，在“弧长与扇形面积”的教学中，需要通过代数运算的方法来计算扇形的特点，借助图形的几何意义能够帮助学生更好地理解、掌握弧长公式，进而得到面积计算公式.通过这样的数形结合方法，可以将数学问题变得更加简单，学生学习的主动性得以加强.

二、数形结合案例解析

1.整式中的数形结合应用

整式运算是初中数学代数部分的基础内容，通过数形结合的方法，可以实现数与形的对比，学生对整式的认知也更加直观.

案例1：如图1所示，正方形ABCD的边长为3，以点A为圆心、2为半径画圆弧，以点D为圆心、3为半径画圆弧，试求解S1-S2的值.

解析：先求解出正方形的面积，然后利用扇形面积计算公式求出两个扇形的面积，最后通过图形关系，计算求出相应的值.

正方形ABCD的面积SABCD=3×3=9.

评析：本题考查的是整式的运算，通过与几何图形的结合，分析图形关系所代表的整式运算过程.通过分析图形的面积差，熟练使用整式的运算法则，进而解决这一问题.

2.平面坐标中的数形结合应用

平面直角坐标系是解析几何的基础，其内涵就是代数与几何的联系.在初中数学中，可以借助平面直角坐标系来解决图形对称等问题.

案例2：如图2所示，△ABC经过一定的变换规则变为△A1B1C1.如果△ABC上有一点P，坐标为（x，y），试求△A1B1C1上对应的点P1的坐标.

解析：点P1是点P根据一定的变化规则移动过来的，因此要想确定点P1的坐标，就需要分析得到变换规则，这是解决这个问题的关键.观察图像可知，△A1B1C1是由△ABC向上平移2个单位，即横坐标不变，纵坐标加2；然后以y轴为对称轴进行轴对称变化，即横坐标变为相反数，纵坐标不变.因此，点P1的坐标为（-x，y+2）.

评析：本题考查的是图形变换，借助平面直角坐标系，可以直观地反映坐标的变化，并且将坐标的变化用代数形式表达出来.

3.函数中的数形结合应用

案例3：如图3所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形ODCB为矩形，已知点D的坐标为（0，4），点B的坐标为（6，0）.假设反比例函数y=，x＞0，函数图像经过线段OC的中点A，与DC交于点E，与BC交于点F.已知直线EF的解析式为y=k2x+b.

（1）求直线EF与反比例函数的解析式；

（2）求△OEF的面积.

解析：要想求解直线EF与反比例函数的解析式，关键是求解出点A的坐标.观察函数图像可知，△OEF的面积可以由矩形ODCB的面积减去△ODE、△OBF及△CEF的面积求得.

（1）易知点C的坐标为（6，4）.

由点A是线段OC的中点，得点A（3，2）.

则k1=6，得到反比例函数的解析式为

将x=6代入反比例函数的解析式，可得y=1，

则点F的坐标为（6，1）.

将E、F两点的坐标代入直线方程，计算可得k2=-，b=5.

评析：本题的关键是联立一次函数和反比例函数的解析式求解出交点的坐标，求解函数解析式的方法为待定系数法.

三、结语

综上所述，在初中数学教学中，数形结合的思想方法具有重要的现实意义，有助于学生建立起几何与代数之间的联系，快速、准确地解决复杂的数学问题.在教学过程中，教师要科学评估学生的学习情况，引导学生使用好数形结合的思想方法，提升学生的数学知识应用能力与学科核心素养.