试题是例题的“化身”——从一道中考模拟题的命制谈起

（浙江省杭州市春蕾中学）

笔者曾有幸参与浙江省杭州市（区）九年级中考模拟试卷的命制工作，颇有感触.现以其中的一道试题为例，谈谈如何将教材例题改编成试题.

一、背景分析

1.根据考点寻找例题

根据试卷双向细目表安排，试卷第10题为选择题，涉及的知识点是平行线、角平分线、平移等，考查学生对平行线和角平分线等知识的综合运用能力.根据试题立意，命题组选择浙教版《义务教育教科书·数学》（以下统称“教材”）七年级下册“1.3平行线的判定”（第2课时）中的例4作为题源开展研究.例4内容如下.

题源如图1，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，∠1+∠2=90°.判断AB，CD是否平行，并说明理由.

图1

该题涉及的数量关系和位置关系有∠1+∠2=90°，∠BAC+∠ACD=180°，∠1+∠2=∠P，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，AB∥CD等.

该中考模拟卷第10题要考查学生对数学本质的理解和学以致用的能力，显然在考查知识点的深度和广度上还需要进一步探索.经过分析，命题组决定借助图形中多样的角度关系，在角度、角度的比值之间进行深入研究，期待找到命题的生长点.

2.根据学情助力思维

在第三学段中，从七年级下册开始，教材中频繁出现类似于题源的题目，这些题目有三个共同点：平行线，一对同旁内角的平分线，90°角.教材八年级上册“1.3证明”（第1课时）的例2是题源的逆命题；八年级上册“2.6直角三角形”（第2课时）作业题A组第3题是在题源的基础上，通过延长AP，CP得到三个直角三角形；八年级下册“4.2平行四边形及其性质”（第2课时）作业题B组第5题是将三个共同点放置于平行四边形背景中.从七年级下册开始出现，到八年级上册，再到八年级下册，从平行线到三角形再到四边形，题源为学生积累了丰富的知识基础和思维活动经验.

无论是背景的置换，还是新元素的加入，在不断变化和发展中的题源，渐渐从特例演变成模型，其数学本质愈发凸显.命题者若能深入剖析题源，进而得到一般性的规律，再从规律中引出更多的特例，这样的命题是将例题一般化和特殊化相结合，在帮助学生继续深化基础知识的同时，连接了特殊化和一般化的关系，培养了学生的思维品质，发展了思维能力.

二、命题过程

1.题源一般化

如图2，AB∥CD，点P在AB，CD之间，连接AP，PC，AC，点P在AC右侧.假设∠BAP=x°,∠CAP=mx°,∠DCP=y°,∠ACP=ny°,∠P=z°,0°＜x,y,z＜180°,m，n＞0.试探究m，n，z之间的数量关系.

图2

解：由题意，得

消去x，得(n-m)y=180-(m+1)z.

在0°＜y,z＜180°，且m,n＞0 的范围内讨论，可得：

当m=n＞0时，;

当m＞n＞0时，;

当0＜m＜n时，.

消去y，得(m-n)x=180-(n+1)z.

在0＜x,z＜180, 且m,n＞0 的范围内讨论，可得：

当m=n＞0时，;

当m＞n＞0时，;

当0＜m＜n时，.

综上所述，可得如下结论：

（1）当m=n＞0时，;

（2）当m＞n＞0时，;

（3）当0＜m＜n时，.

进一步变形，可得如下结论：

（4）当m=n＞0时，;

（5）当m＞n＞0时，;

（6）当0＜m＜n时，.

2.命题生长源

结论（1）（2）（3）是命制此道模拟试题的生长源.z的取值范围由决定，进一步是由m和n决定.当且仅当m=n＞0时，z的值是唯一确定的.例如，当m=n=1时，z=90,此时∠P是直角.当m≠n时，z的取值范围介于之间；当|m-n|越小时，z的取值范围越小；当|m-n|越大时，z的取值范围越大.例如，当n=1,m=2时，60＜z＜90,∠P是锐角；当n=5,m=0.8 时，30＜z＜100,∠P可以是锐角、直角或钝角.通过调节m，n的大小，就可以影响∠P的大小，命题者可以“调数控形”了.

结论（4）（5）（6）也是命制此道模拟试题的生长源.当n和z的值确定了，n和的大小也随之确定，那么m的取值范围是中的一种.当且仅当时，m的值是唯一确定的（例如，当n=3,z=45时，m=3）.当时，,m的值是不唯一的（例如，当n=1,z=60 时，m＞2）.当时，，m的值是不唯一的（例如，当n=1,z=100时，0＜m＜0.8）.通过调节m，n中的一个比值和∠P的大小，就可以影响另一个比值的大小，命题者可以“调形控数”了.

从教材例题出发，针对例题进行一般化探究后，得到了六个关于m，n和z的相等或不等关系，这六个不同的数量关系还可以特殊化，这些都为命题者提供了可以挑选的不竭资源.

3.命题策略

步骤1：保留一般化.

保留一个角度比值的一般化是期望在题源的基础上，引导学生往一般规律进行探索的重要手段.其中一个角度的比值设为k+1而不是k，是因为在计算过程中k+1能够巧妙地减少计算量.这样的命题既增加了思维量，又控制了计算量.

步骤2：赋值特殊化.

该模拟试题中有四个命题需要判断是否正确，四个命题分别由一般化结论赋值特殊化而来.

以一般化结论为蓝本，取四个特例，使该模拟试题变得多滋多味.命题①是从特殊角度推算特殊比值，入口较宽，有利于学生对于基本解法的探索；命题②构造了一个正确的特例，以便让师生能揭开此题最大悬念，激发学生探究两个角度的比值和∠P之间规律的兴趣；命题③是从特殊比值向特殊角度逆推；命题④设置需要分类讨论的等腰三角形作为结论，这与∠P本身是可变的具有匹配的可能性.命题②较命题①，命题④较命题③呈现递进式问题设置，命题①②较命题③④呈现顺逆式问题设置.

步骤3：化身成题.

模拟试题如图3，AB∥CD，点P在AB，CD之间，CP平分∠ACD，连接AP，∠CAP与∠BAP的度数的比值为k+1.下列结论：①当∠P=60°时，k=2;②当∠P=40°时，；③当k=0时，△ACP一定是直角三角形；④当k=1时，△ACP一定是等腰三角形.其中正确的结论是（ ）.

图3

（A）①② （B）②③

（C）②③④ （D）③④

参考答案：B.

该题的题干是在题源的基础上对于一对角度的比值进行了一般化，四个命题是在一般化结论中对∠P、角度的比值、△ACP进行了特殊化.经历定量计算和定性分析，一般化和特殊化相互作用，双向理清角度之间的关系，显露数学问题的本质.通过问题驱动，层层递进，加深学生对于数学知识本质的理解，正确处理一般化和特殊化的关系，提高灵活迁移的效率.

三、命题反思

命题者从教材出发，根据考点，寻找匹配程度较高的例题作为题源，再针对题源进行一般化研究，寻求蕴含的数、形规律，最后从研究成果中选取一部分精华编制成模拟试题，如此这般，一道中考模拟题就新鲜出炉了.此类试题的命题策略一般包含以下三个方面.

1.以本寻根，题海弃之

从教材出发，根据要考查的知识点，寻找匹配程度较高的例题，筛选出的例题应包含基本图形、基本模型或基本思想方法，具有典型性，可以是一个，也可以是多个，以便为下一步探究使用.众所周知，在中考复习阶段，回归教材才能有效减轻学生的负担，追根溯源，夯实基础，才能展开灵活的综合运用.该模拟试题中熟悉的几何直观，融合了理性的思考，周密的计算，将初中阶段多个核心知识点融合在一起，此试题是对教材例题的继承和发展.

2.例题为干，一般化之

教材中的例题（题源）涉及多个角，多种数量关系和位置关系，彼此之间相互关联，相互制约，通过抽丝剥茧，确定将两个角度的比值和∠P作为研究对象，将三者和谐统一在一个及其常见的图形当中，其中必隐含数、形规律.命题者充分挖掘典型教材例题的潜能，洞悉图形的自然规律，从特殊到一般不断探索，得出的六个结论让人不禁赞叹.将教材例题一般化研究后，可以变化出一类题目，无论是特殊的，还是一般的，都包含有教材例题的通性、通法，这类题目将成为下一步命制试题的源泉.

3.开花结果，优而取之

按照《义务教育数学课程标准（2011年版）》和考试大纲对相关知识点的要求，在六个结论中择优录用，汇制成题，方法兼顾一般和特殊.该模拟试题中，将题干中两对角度的比值一般化，四个命题涉及角度特殊化、比值特殊化、图形特殊化，如此优化设置后就得到了四个或真或假的命题.试题行文简洁，背景熟悉，角度新颖，层次分明，综合性强，包含数学核心知识，渗透了多种数学思想方法，考查了学生的多项能力.至此，一道经典的教材例题华丽转身成为一道中考模拟试题.这样的试题往往是源于教材，又高于教材的.

总之，此类试题可谓是教材例题一般化和特殊化的“化身”.深入研究例题后，带给命题者以灵感，从一开始的一般化到之后的特殊化，成为命制试题的宝藏.同时，饱含一般化和特殊化元素的试题为学生提供了从特殊到一般，从一般到特殊的双向训练，助力学生思维水平和数学推理思想的提升.这种命制试题的经历给命题者提供了一种有效的命题策略.