有效设计数学活动 培育数学理性精神——一次教研活动的思考

（上海市虹口区教师进修学院）

一、问题的提出

美国应用数学家M.克莱因在他的名著《西方文化中的数学》中指出：数学是一种精神，一种理性的精神.何谓理性精神？理性精神是人们在依靠思维能力对感性材料进行一系列的抽象和概括、分析和综合，以形成概念、判断或推理的认识过程中反映出的重视理性认识活动，以找事物的本质、规律及内部联系的精神.笔者认为理性精神包含很多方面，如理性的探索精神，理性的批判精神和理性的思维方式，等等.

数学教学是数学活动的教学.何谓数学活动？一般来说，数学活动就是以学生参与数学学习过程或问题解决过程为主要特征的，以获得数学知识、发展数学能力、体验数学价值等为目标的认知方式.数学活动的关键是学生的思维活动.

在教学中，教师一般采用小组合作的方式设计课堂活动，通过小组操作、猜测、验证等活动进行课堂教学.这种授课方式有时会让听课者觉得课堂气氛很活跃，但似乎仅仅为了活动而活动，课堂效果不尽如人意.其实，数学活动的核心在于问题解决，关键在于学生的主体参与.在学生认知的最近发展区内，教师要设计有利于激发学习兴趣、提升思维品质、发展核心能力和培育核心素养的数学活动，引导学生经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等理性思维的基本过程，提高课堂教学的有效性.鉴于此，笔者一直思考在课堂中如何有效设计数学活动，从而培育学生的理性精神.一次教研活动中，在从公开课试讲、展示与研讨交流活动到教研后续思考活动的过程中，笔者有了一点点体会.

二、教研活动过程

课题名称：沪教版《义务教育教科书·数学》八年级下册“22.6三角形、梯形的中位线”（第1课时）——“三角形的中位线”.

1.公开课试讲

在公开课教学试讲活动中，授课教师根据教材内容呈现如下问题：一张三角形纸片，可用一条平行于这个三角形一边的直线，把它分割成一个梯形和一个小三角形.如果所得的梯形和小三角形恰好拼成一个平行四边形，那么这条用于分割的直线与三角形另外两边的交点在什么位置？

学生小组思考问题，并且将三角形纸片进行裁剪、拼接、测量等，通过一系列的数学活动直观地观察并讨论得到“如果所得的梯形和小三角形恰好拼成一个平行四边形，那么这条用于分割的直线与三角形另外两边的交点为两边的中点”.此时，教师适时引导学生得出三角形中位线的概念，进而引导学生证明其交点为两边的中点，从而得出三角形中位线定理.整节课的节奏顺畅而自然，学生的主体地位与教师的引导地位得以充分展现.

这是一个很典型的数学活动.在课堂中，学生经历了观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程.同时，学生经历三角形中位线概念的发生、发展过程，在从猜测三角形中位线的特征到论证定理的过程中，理性思维逐步形成.

在定理证明完毕以后，教师追问：“是否还有其他疑问？”此时有位学生突然提问：“对一个三角形纸片进行分割，为什么一定要用一条平行于三角形一边的直线？任意一条直线是否可以？”

这个突发事件让教师陷入了深思.对于教材中呈现的问题教师没有进行深入研究，现在学生的提问让教师对问题有了进一步思考，对教材有了再一次研究.

2.公开课再设计

鉴于公开课试讲中出现的突发事件，教师团队对教案进行了再设计.教学片断如下.

讨论活动：一个三角形纸片，沿一条直线剪一刀，分割成的两部分能否拼成平行四边形？如何分割？

每个小组都有两个三角形纸片（不等边）和一把剪刀可以进行操作.学生经过小组讨论后，推选代表展示讨论结果.

生1：首先要考虑分割的两部分是怎样的图形.因为沿一条直线剪一刀，分割成的两部分要分情况讨论.第一种情况是这条直线经过三角形的顶点；第二种情况是这条直线不经过三角形的顶点，也就是经过两边（除顶点外）.

师：很好！这两种情况有什么区别吗？

生1：第一种情况，分割直线经过三角形的顶点（如图1），分割的两部分都是三角形，它们不能拼成平行四边形.

生1边讲解，边将刚刚的不等边三角形纸片剪切成两个三角形，并进行拼接来说明不能拼成平行四边形.

生1：第二种情况，分割直线不经过三角形的顶点（如图2），因此三角形被分割成一个三角形与一个四边形，是有可能拼成平行四边形的.但是只有当这个四边形是梯形时（如图3），才可以拼成平行四边形.

图1

图2

图3

师：很好！第二种情况中，为什么四边形一定是梯形呢？

生1：因为要拼成平行四边形，两组对边都需要平行，因此我觉得首先要满足一组对边平行，然后再考虑其他的，而梯形就是一组对边平行，另一组对边不平行的四边形.因此只要这条直线平行于三角形的一边就可以了.

师：非常好！你是打算用定义“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行操作.那么，你打算如何分割△ABC呢？分割点的位置在哪里呢？

生1：考虑到要拼成平行四边形，AE与EC必须能重合，因此我觉得分割点E就是边AC与AB的中点.

师：非常好！

当学生觉得已经很好地诠释了为什么用一条平行于这个三角形的一边的直线时，教师提出如下问题.

师：同学们，这个想法是否有漏洞？

大家陷入了沉思，随即开始小声地进行讨论.

师：大家想一想如果这个三角形是等边三角形，会出现怎样的情况？

生2：如果是等边三角形的话，那么第一种情况分割直线经过顶点的话，只要这条直线经过边的中点也是可以拼成平行四边形的.

生3：其实不是等边三角形，如果是等腰三角形，第一种情况也是可以拼成平行四边形的，因此可以完善问题，只要分割一个不等边的三角形就可以避免第一种情况的出现了.

这样，在教师的引导、启发下，学生逐步理清思路，在质疑讨论中用如图4所示的流程图一点一点剖析出问题的本质.在讨论活动中，学生的逻辑思维能力、有序分析问题的能力得以提升.

图4

3.研讨活动

在课后的研讨活动中，将试讲课与公开课中的课堂活动进行对比，利用问题串渗透教研主题.

（1）课堂生成中，如何即时设计或者调整数学活动，以提高学生的思维能力？

（2）是否有必要利用“分割三角形纸片”引出三角形中位线的概念？与直接揭示概念相比有什么优劣？如何更有效地设计“分割三角形纸片”活动以突出对学生理性精神的培育？

（3）如何更有效地利用数学活动，使学生有逻辑地、有联系地思考各类问题，从而培育学生的理性精神？

研讨活动中，各位教师对试讲中的突发事件，即学生的提问引发的课堂生成进行了讨论，为学生能提出与教材问题不同的质疑问题喝彩.同时，对于在公开教研活动中学生能进行理性思考，发表不同的见解提出了高度的认可.授课教师引导学生对质疑的问题进行讨论，引导学生一步一步有逻辑地思考，在问题串中逐步深入，揭示了分割三角形的各种情况，为三角形中位线定理的证明提供了前期的铺垫.大家对这样的课堂生成而喝彩.

大家认为“分割三角形纸片”活动不仅引出了三角形的中位线，也通过操作活动抽象、概括出后续三角形中位线定理的验证活动.对于如何引导学生添加辅助线，让学生各抒己见.类比“三角形内角和为180°”的验证过程与“撕纸”的操作活动之间的关系，讨论得出可以将拼接好的平行四边形粘贴在印有与原三角形纸片大小相同的三角形的白纸上.这样对于学生添加辅助线证明三角形中位线定理有很大的帮助.

4.教研后续思考

在教研活动结束前，提出如下问题：“给定一个梯形，用一条直线将这个梯形分成面积相等的两部分，该如何划分？”建议教师们利用上述问题设计数学活动，培育学生的数学理性精神.

提出这个问题的目的是建议教师在理性思考的基础上设计课堂教学活动，在活动中激发、引导和培养学生的理性精神.

三、教研活动反思

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式.在课堂中，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程.因此，数学活动的设计要促进学生的主体发展，促进学生的思维活动，从而培养学生的理性精神.在活动中，要关注学生探索的过程，而不仅仅关注学生探索的结果，更要在探索的过程中激发、引导和培养学生的理性精神.

1.通过创设问题情境的数学活动，培养学生理性的探索精神

数学教学应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索和交流等，获得数学的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，促使学生主动地、富有个性地学习，不断地提高发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力.通过创设问题情境引导学生进行深入细致的观察分析，培养学生的观察能力和直觉思维能力；同时通过创设问题情境构建数学活动，培养学生分析问题和解决问题的能力.

笔者对“三角形的中位线”这节课进行如下再设计.

在“三角形的中位线”的概念教学中，可以通过让学生动手操作、合作交流，理解三角形中位线的概念.

问题1：一个边长不等的三角形纸片，沿一条直线剪一刀，分割成的两部分是怎样的图形？能够拼成哪些图形？

思考：（1）几种情况？怎样剪？

（2）分割的两部分能否拼成平行四边形？

问题2：如图5，将一张三角形纸片用一条平行于这个三角形一边的直线分割成三角形和梯形，将其拼成一个平行四边形，这条用于分割的直线与三角形另外两边的交点在什么位置？为什么？

图5

这样的问题串使得三角形的中位线概念的得出变得鲜活，学生在操作、猜测中思考出三角形中位线的本质.

2.通过活动展现数学内容的发生、发展过程，培养学生理性的批判精神

通过创设问题构建数学活动，学生经历概念的形成过程，在过程中鼓励学生提出相关的数学问题，培养学生提出问题的能力和抽象思维能力.通过问题引发认知冲突，诱发质疑猜想的目的，进而培养学生的问题意识和创新意识，培养学生的质疑精神和理性思维.

在本节课中，关于三角形中位线的概念教学，教师可以延续问题1和问题2，提出问题3：为什么在问题1中强调分割的是一个边长不等的三角形纸片？从而引导学生进一步探索：分割等腰三角形纸片，如果分割的直线是顶角的角平分线所在的直线，那么分割的两个三角形全等，是可以拼成平行四边形的.

通过这样的活动诱发学生的质疑批判精神，培养学生的发散思维和理性思维.

3.通过活动渗透数学思想方法，培养学生理性的思维方式

数学思想方法是对数学及其规律的理性认识，是对数学知识的本质认识，是在认识数学过程中提炼学生的数学观点和方法.初中阶段，比较重要的几种思想方法有数形结合思想、化归思想、分类讨论思想、类比思想，和建模思想等，这些思想方法有利于丰富表象，引发联想，启迪思维，拓宽思路，帮助学生快速找到解决问题的方法，从而提高学生的分析问题和解决问题的能力，进而提高学生的迁移思维能力.在数学活动中启发学生思维，逐步积累和形成数学思想方法，重在“渗”，着眼于“透”，从而培养学生理性的思维方式.

在本节课“验证三角形中位线”的教学活动中，教师可以引导学生重温三角形分割的操作过程，即利用三角形的中位线分割三角形，形成一个小三角形与梯形，然后将小三角形旋转，与梯形拼接成平行四边形（利用几何画板软件），同时将拼接好的平行四边形粘贴在印有与原三角形纸片大小相同的三角形的白纸上，以此引申出验证三角形中位线定理添加辅助线的方法，将数形结合思想、化归思想，以及分析法、综合法与综合分析法进行渗透，培养学生的逻辑思维能力，使学生的理性思维在活动中逐步得到提升.

问题：如图6，三角形的中位线DE与边BC有怎样的位置关系和数量关系？为什么？

思考：（1）证明一条线段是另一条线段的2倍的方法是什么？

（2）证明两条直线平行的方法有哪些？

图6

张维忠教授认为：数学是理性精神的典范，所以数学教育应该是培养理性精神.理性精神的培养需要关注以下两大方面，即理性的思维意识与习惯，理性的思维方式与能力.在教学中，教师要加强对课堂活动的设计，通过活动引导学生合理、有效地运用数学知识发现、分析、解决问题，体现数学思想和方法的灵活运用，体现数学问题探究的意义和价值，培养学生以抽象概括和逻辑证明为主要特征的理性思维.