PISA2012数学测试题的分析与启示

（北京师范大学教育学部；首都师范大学教师教育学院）

一、数学素养的理解与评估框架

众所周知，PISA主要测试15岁学生在阅读、数学和科学三个方面的素养水平，并探索学生的素养养成与家庭、学校、教师等相关因素的关系.因此，对素养的理解是PISA构建评估框架和试题的基础.

1.PISA关于数学素养的理解

PISA自2000年开始，每隔三年进行一次，测试阅读素养、数学素养和科学素养三个方面的内容，但每次测试会重点关注其中某一方面的内容，关注重点轮回进行.到目前为止，2003年、2012年PISA重点测试学生的数学素养.PISA对数学素养的描述直接反映了其对数学素养的理解.

PISA2000定义的数学素养：个体识别和理解数学在世界中所起作用的能力，做出有根据的数学判断的能力，以及作为一个关心社会、善于思考的建设性公民，为了满足个人目前和未来生活需要而从事数学活动的能力.

PISA2006定义的数学素养将PISA2000中的“满足个人目前和未来生活需要而从事数学活动的能力”改为“满足个人生活需要而使用和从事数学活动的能力”.

PISA2012定义的数学素养：数学素养是个人在不同情境下形成、应用和阐释数学的能力.它包括数学推理能力和使用数学概念、过程、事实和工具来描述、解释及预测现象的能力.它有助于个体作为一个关心社会、善于思考的建设性公民，识别数学在世界中所起的作用，并做出有根据的数学判断和决定.

通过分析三次测试中数学素养的概念界定可以发现，PISA对数学素养的理解体现在以下几个方面：理解数学对世界的意义；能够用数学思维理性地做出判断，具有应用数学的能力；成为具有社会责任感的公民.PISA2012定义的数学素养弱化了立足于“为未来生活做准备”的价值取向，强化了重视数学素养对个人的持续性影响的价值取向，即学生在面对纷繁复杂的情境时，能运用所掌握的数学知识及能力去解决这些问题.这是一种个人应该具备的能力，这种能力在实际情境中起着重要作用.也许经过多年的数学学习，某些定理、公式、解题思路或者方法可能被我们遗忘，但与之一起形成的数学素养却终身受用.

2.PISA2012的特点

PISA2012重点测评数学素养，在“数量”“不确定性和数据”“变化和关系”“空间和图形”四个领域中，关注学生运用所掌握的知识和技能解决处于某种情境的问题的全过程；同样侧重对数学过程和数学基本能力的考查，将学生解决问题的过程作为一个新的报告维度.此外，PISA2012第一次引入了机测，采用数据处理的最新技术和方法，以达到高水平的有效性和可靠性.迄今为止，PISA数学素养的评估设计与以下三个方面相关，如表1所示.

表1：PISA2012评估框架

二、PISA2012的测评试题分析

随着素质教育的推进和基础教育数学课程改革的实施，如何从命题角度来衡量学生的数学素养水平已经是我们当今关注的一个热点问题.自PISA2012测试后，已有很多数学界的学者对PISA试题的设计与编制进行了分析.本文结合PISA的“数量”“不确定性和数据”“变化和关系”“空间和图形”四个内容维度，精选了四道测试题，从数学能力、数学思维过程等方面进行考察分析，重点探讨试题如何引发学生的数学思考过程，以及学生解决实际问题过程中可能遇到什么样的问题.

1.垃圾

题目1为了完成一个关于环境的家庭作业，学生收集了几种常见垃圾的分解时间的信息，如表2所示.

表2：不同种类垃圾的分解时间

一名学生认为应该用条形图显示结果.

给出一个理由说明条形图为什么不适合呈现这些数据.

“垃圾”问题属于“不确定性和数据”内容领域，属于“科学情境”类别的题目，难度适中.OECD（经济合作与发展组织）国家的学生解答此题的正确率约为51%.这道题目通过对表格信息的理解，主要考查学生对条形图特征的掌握情况.在解题过程中，学生身处科学情境，对题目中给定的信息进行识别和提取，理解隐含条件中所涉及的时间间隔的相对大小，进而分析、判断能否运用条形图来描绘问题中“垃圾”这个情境的数据.解决问题的关键是条形图垂直轴赋予的意义，本质上是理解条形图的特征，即直角坐标系中刻度之间的比例关系一致，表达才能合理.像口香糖、一次性塑料杯子这类垃圾的分解时间很长，报纸分解时间较短，这么悬殊的时间差不容易在标准的条形图上显示，由此很难做出正确的判断.学生可以通过此题感悟到解决实际问题的方法与表达需要具体问题具体分析，不能单纯地生搬硬套书本上的知识.无论从思维上，还是能力上，教师都应该引导学生妥善应用学习过的知识.

2.摇滚音乐会

题目2一场摇滚音乐会为观众预留了一个尺寸为100米×50米的矩形场地.演唱会门票全部卖光，观众席站满了粉丝.以下哪一项可能是参加演唱会的观众的总人数？

（A）2 000 （B）5 000 （C）20 000

（D）50 000 （E）100 000

“摇滚音乐会”问题属于“数量”内容领域，属于“社会情境”类别的题目，难度适中.OECD国家的学生解答此题的正确率约为28%.通过将实际生活中的问题转化为数学问题，进而将它表征为数学语言，构建合理的数学模型，最后解决原问题.此题主要考查学生自主地探索题目中的隐含条件，运用数学概念、事实、步骤和推理来把现场的面积和人均所占的面积联系起来，从而进行定量的比较与合理的估计，有了合理的答案再检验所建立的数学模型是否符合这道题目的设置.所以首先要读懂文本，理解题目中所提供的信息，如对“场地的大小和形状”“演唱会门票全部卖光”“观众席站满了粉丝”这些词语的理解.对于15岁左右的学生来说，他们对题目中设置的“演唱会”这个情境并不陌生，但是这个问题需要大量的生活经验，需要学生能对一个人在站立时可能占据的空间做出合理的假设，然后建立一个基本模型，如球迷的数量×每个球迷占据的空间=场地空间.要做到这一点，必须在思想上或图解上模拟出这种情况.假设每个人占据的一块区域，乘以每个选项中提供的人数，并将结果与问题中给出的条件进行比较.或者可以反向思维，从提供的区域面积入手，使用每个选项人数计算每个人占据的相应空间，并确定哪一个才是最合适的数据.这个问题可以用多种方法建立模型，这样能启发学生从不同角度思考同一个问题，有利于学生对模型的适用性进行比较，清楚地考虑自己建立的模型是否可靠，以验证模型的使用.

3.走路

题目3图1为一名男子步行留下的脚印.步长p指的是连续两个脚印的脚后跟之间的距离.公式可以用来描述n和p之间的大致关系，其中n表示每分钟的步数，p表示以米为单位的步长.

问题1：如果公式适用于海科（人名）的步行，而海科每分钟走70步.那么海科的步长是多少？试写出你的计算过程.

问题2：伯纳德（人名）知道自己的步长是0.8米，这个公式适用于伯纳德的步行.计算伯纳德的步行速度，分别以米/分钟和千米/时两种单位呈现.试写出你的计算过程.

“走路”问题属于“变化和关系”内容领域，属于“个人情境”类别的题目.此题一共有两道小题，问题1的难度较简单，问题2稍难.OECD国家的学生解答问题1的正确率约为36%，解答问题2的正确率约为20%.

对于问题1，通过理解题目中给出的n与p的关系，然后进行简单的代数运算求得答案，主要考查学生在情境下能否理解给定公式所表达的意义.这道题目将简单的求解计算赋予了相应的情境.在解决问题的过程中，学生需要阅读给定的信息，理解给定公式的含义，找到求得p的途径.问题的设计包含代数表达式，它给予了学生非常明确而且直观的表达，所以问题难度不大.

对于问题2，可以通过整理给定的信息和条件，实施设计步骤，应用比例和代数计算来解决问题，主要考查学生更高层次的数学表达能力.问题2的难度明显高于问题1，不止是简单的代入计算就能解决问题.整个问题的设计结合15岁左右学生的生活经验，是在日常生活中常见的事例.所以学生在理解伯纳德步行速度的比例模型时难度不大.题目中呈现的图式用来直观表达p，以避免学生因为对p不理解而造成解题错误，需要学生在将步数和给定的步长相联系的基础上，进行代数计算求解.但想要成功解题，必须注意题目中提供的信息是以“米”为长度单位和“分钟”为时间单位的，在换算成“千米/时”的单位时要进行二次换算，而米与千米、分钟与小时的进位制是不同的，这也是解决此题的挑战点.因此要求学生解决问题能力的水平远远高于问题1.

图1

4.修建花坛

题目4一个工匠有一根32 m长的木材，想要用这根木材围成花坛，他正在考虑如图2所示的4个花坛方案设计示意图.试判断在设计图里所需材料是否能用32 m的材料完成，并在表3中圈出“能”或“不能”.

图2

表3

“修建花坛”问题属于“空间和图形”内容领域，属于“职业情境”类别的题目.OECD国家的学生解答此题的正确率不到20%.这道题目通过阅读、理解题目中呈现的信息，将其与四个设计示意图的几何表述方式建立起联系，主要考查学生在不同形状的图形蕴含某些相同数据的情况下，能否通过简单的推理，将所求的图形周长进行判断和迁移.学生可以利用题目给出的信息，直接计算出方案A，C，D图形的周长，然而无法计算方案B中图形所用的材料，因此要与A，C，D建立起恰当的联系进行比较.由图中所给信息可以推断出四种设计方案的“水平”部分的长度是相等的，但是方案B中倾斜边的长度比方案A，C，D中“垂直”部分的长度更长，进而可以得到正确的答案.此题中，构成周长的各个线段长度不明确，需要学生找准题目中给出的信息并进行推断，从而锻炼学生的推理能力.

三、PISA2012测试题对我国教学的启示

1.将数学问题适度情境化

实际上，各国在数学课程和教学中都做过将数学问题情境化的尝试.例如，中国上海顾泠沅主持的“尝试、指导、讲授”的教学模式中，第一条就是创设问题情境，激发学生的求知欲；G.波利亚尤其强调问题情境在问题解决中的作用.而弗赖登塔尔的“数学化”过程更是与现实情境息息相关.PISA数学测试题涵盖现实世界问题中的创建、使用并解释数学模型，同时也涉及问题解决者运用数学思想的过程.它不是对书本知识的简单回忆，或是机械地进行数学运算与推理，而是落实在解决真实情境问题中.数学的学习离不开情境，换而言之，数学学习中的知识建构是与知识得以产生的背景和情境密切相关的，是与学生已有的经验密切相关的.数学方法和数学表达的使用要依赖于具体的问题情境.问题情境的创设一要真实，二要使学生有经验地体验，这样才能逐步加深学生对数学本质的理解.

2.让学生自主进行数学化（教学方式）

弗赖登塔尔曾提出：数学化是一个过程，只要现实世界在一系列因素的影响下进行着变化、延拓和深化，这个过程就在持续着，这些因素也包括数学，而且数学反过来被变化着的现实所吸收.PISA测试的情境源于现实世界，通过学生自己创建、构造数学模型来解决现实世界中的问题.在解决的过程中，涉及数学思想、数学基本能力的运用，以及学生进行“数学化”的过程.弗赖登塔尔强调：“化”的过程必须由学生主动去完成，而不是任何外界所强加的.那么，如何让学生学会“数学化”？对于学生而言，要试着去认识、理解、感悟数学在现实世界中的作用与地位，在不同问题情境下丰富自己解决现实问题的经验，将问题用数学语言进行表征，从数学角度去思考、探索.相对于教师而言，应该试着鼓励学生通过多样的数学问题情境提出问题、分析问题，进而解决问题，培养学生自己获取数学知识的态度，引导学生学会用数学语言来描述现实问题，把握数学与现实问题之间的关系，让学生思考和体会数学的价值，构建自己的数学体系.

3.将数学素养的评价机制规范化（教学评价）

《普通高中数学课程标准（2017年版）》中提出：高中数学学习评价关注学生知识技能的掌握，更关注数学学科核心素养的形成和发展，制定科学合理的学业质量要求，促进学生在不同学习阶段数学学科核心素养水平的达成.要全面评价数学素养，知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观缺一不可，在此基础上还要将三者融入适当的真实情境中.PISA测试侧重对学生解决富有情境的数学问题过程的考察，目前我国正在逐步完善对数学素养的评价.我们应该着眼于“四基”，聚焦整个数学活动过程，在重视学生学习结果的基础上，同样重视学生学习的过程性评价，关注学生的个性特征和水平差异，运用更为合理的评价工具，从更全面的角度关注学生的思维过程，完善数学素养评价机制.

总而言之，PISA2012数学素养测评试题的分析为我国数学教学、数学核心素养的评价体系提供了良好的借鉴方案和诸多启示.借鉴PISA的理念与测试设计，可以在保留我国教育长处的基础上，丰富我国数学教育评价与试题编制的经验.随着时间的推移，PISA测试在不断完善和发展，它代表着一种新的评价理念.我国也需要不断完善和改进数学核心素养的评价体系，用动态的评价促进学生数学核心素养的提升，注重评价对数学教学的促进功能，这对于日后数学教育的发展具有指导性意义.