正弦曲线在“弹簧小球模型”中的应用

谢黎忠

(培元中学，福建 泉州 362000)

图1

例题.一根轻弹簧,下端固定在水平地面上,一个质量为m的小球(可视为质点),从距弹簧上端h处自由下落并压缩弹簧,如图1所示.若以小球下落点为x轴正方向起点,设小球从开始下落到压缩弹簧至最大位置为H,不计任何阻力,弹簧均处于弹性限度内;小球下落过程中加速度a,速度v,弹簧的弹力F,弹性势能Ep变化的图像正确的是

图2

这是某市的单科质检的一道题目,参考答案是(A)、(D),对(A)选项很多学生完全没有解题思路,笔者对它的正确性也持反对意见.以下从定性和定量两个角度进行分析.

1 定性分析

弹簧小球模型是高中物理最常考的题型之一,它涉及物理核心素养的最基本的两点——物理观念(运动、力和能量等观念)和科学思维(对物理观念的本质属性和内在规律的分析).弹簧弹力随位移变化而变化,小球的受力又影响位移变化.运动和受力二者相互干扰,学生对运动过程的变化就很难建立清晰认识.

弹簧模型经常和图像结合,题目难度较大,学生不能建立相关的模型并进行分析,导致解题思路不清、错误率较高.本题的(A)、(B)选项就是研究速度、加速度随时间t变化情况,(C)、(D)选项就是研究力、能量随空间位置x变化情况.

当t

当0≤t≤t1,a-t图像是平行于t轴的直线,v-t图像是过O点倾斜直线.

v-t图在t1之后图像斜率先正向减小后反向增加,类似开口向下的抛物线,(B)选项错误.

当x>h时,F=k(x-h)，F-x图像是倾斜直线,(C)选项错误.

2 理论定量分析

小球在下落过程中符合什么物理规律?

设小球下落高度为y(y>h),令y=f(t),v=y′,a=y″.对物体受力分析:

mg-k(y-h)=my″,

整理得

y″+ω2y-b=0.

这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程.通解:

y=C1cosωt+C2sinωt+C3.

v=x′=-ωAcos(ωt+φ0).

从运动规律发现:a=x″=-Aω2sin(ωt+φ0)，函数表达式得到加速度的图像是正弦函数，试题中的(A)选项是错误的.

从参考文献[1]得知,不论弹簧振子如何放置,如果运动过程不受阻力,这个振动就是简谐运动,运动图像就是正弦曲线.当摩擦力大小与速度成正比时,位移x=Ae-βtcos(ωt+φ0),这个图像是振幅不断减小的类余弦曲线.从参考文献[2]得知,当摩擦力大小是恒定时,图像是振幅不断减小的类余弦曲线.做阻尼振动的弹簧振子可借助正弦曲线变化规律来分析相关物理量的变化.

3 实验验证和小结

图3

物理是一门以实验为基础的学科,通过实验演示有助于学生理解问题.现实生活中运动小球受到阻力较大,在授课时一般没办法进行实验演示.利用金华科仿真物理实验进行辅助授课,显示物理过程,帮助学生理解.演示时,弹簧很难竖直压缩,比较可行的是悬挂拉伸.如图3,将小球悬挂在弹簧下端来模拟这个实验,在弹簧自由长度时,给小球向下不同的初速度来代替小球从一定的高度落下(系统设置竖直方向只能是y轴,y表示小球在y轴上的空间位置).以下就是利用不同初始条件(v0=0,v0=5 m/s,v0=10 m/s)得到y-t(图4)、a-t(图5)、a-y(图6)、v-y(图7)图像.

图4

图6

从图4、5发现不论初速度的大小如何,y-t、a-t总是按照正弦规律进行变化.同时从图4、5、6发现a和y总是方向相反,大小满足简谐运动的动力学方程.同时从图6和图7发现,不论小球的初始条件如何,小球的最大速度所在的位置总是不变的(y=7 m),且a=0.通过模拟实验,可以将许多因外界因素影响没办法完成的实验重新演示成功,甚至可以实时显示力的动态变化和运动图像等相关数据,帮助学生建立理想化模型,进一步提升学生的学科素养.

含弹簧问题是一个高中物理综合度比较高、模型比较多的题型.其中又以物体连接弹簧的运动过程分析是难点.由前面分析可知,不论弹簧如何放置,不论物体接触弹簧时是否有初速度,接触弹簧后都是简谐运动.一般从弹簧的形变入手,确定平衡位置,明确该点速度最大值,然后结合受力分析,判断物体的运动情况.图像问题首先应看清楚题目中的横、纵坐标分别代表什么物理量,借助振动图像和方程x=Asin(ωt+φ0),找到斜率、截距、面积相关物理意义,用函数研究横、纵坐标的相关物理规律.当前的教学可以适当补充简谐运动相关内容.这样有利于提高学生综合分析能力,提高学生的学科素养,适应新时代的要求.