塔吊防摆LQR最优控制器研究

2019-09-20

测控技术 2019年3期

(西安工程大学电子信息学院，陕西西安 710048)

塔吊也称塔式起重机，属于非连续性搬运重型机械，是一种起重臂安装在机身顶部，并且起重臂可以旋转工作的机械。它常用于房屋建造和桥梁建造等场所，可以有效地节省人力、降低成本、提高速率[1]。塔式起重机主要包含一个小车，可在水平面上平移。有效载荷通过电缆连接到小车上，然后将物体挂在绳索上，其长度可以通过提升机构来改变。在很早的时候，主要靠有技术的人员通过驾驶来最小化摆动的幅度，但是人力操作难免会有误差，有时会造成很大的损失[2]。

近些年来，人们越来越重视塔吊的安全系统，文献[3]对塔吊防碰撞算法进行研究，增加了时间域，建立了四维模型，利用ZigBee技术实现防碰撞；文献[4]对塔吊工作时的图像进行跟踪，使用Camshift技术实时跟踪图像；文献[5]对塔吊进行了模糊化的防摆动控制，虽然可以对摆动进行抑制，但会导致控制精度降低。为了更加高效地抑制塔吊工作时的摆动现象，本系统设计了LQR(Linear Quadratic Regulator)塔吊防摆动控制器，增加了系统的精度，对塔吊消摆有着十分重要的意义。

1 塔吊系统模型建立

塔吊的工作对于物体的稳定度和准确度要求很高，通过控制塔吊的变幅和回转将物体送往指定的地点。物体在进行垂直运动时摆动基本为零，在进行水平运动时不仅小车准确定位，还要实现物体到达指定位置时的摆动为零。从动力学的方面考虑塔吊的模型，通过对物体受力分析，建立变幅运动时的简化模型,利用拉格朗日方程对其进行分析，拉格朗日对于多自由度的系统研究十分方便[6-7]，如图1所示。

图1 塔吊模型图

设图中小车的质量为M,载荷的质量为m。参考点到小车的距离为X,悬挂物体的绳长为l，物体与YOZ面的夹角为α，与XOZ面的夹角为φ，塔吊旋转角为θ。不计风力和空气阻尼，塔吊系统是一个多变量动力学模型，采用拉格朗日方程如式(1)所示。

(1)

式中,L被称为拉格朗日算子；q表示x(t)和φ(t)的自由度；T表示系统的动能；V表示物体的势能；Q表示在自由度q所产生的力。由图1所示，在系统中，负载和小车位置向量为

r={X-lcosαsinφ,lsinα,-lcosαcosφ}

(2)

rx={x,0,0}

(3)

系统的动能为

(4)

系统的势能为

V=-mglcosαcosφ

(5)

(1) 由于滑轨的摩擦力较小，忽略系统的摩擦力，q(t)=x(t)广义坐标下的拉格朗日方程为

mφ″lcosαcosφ)+Mx″=F(x)

(6)

(2)q(t)=α(t)广义坐标下的拉格朗日方程为

x″lsinα-lφ′2sinαcosαcos2φ+lφ′2sinαcosαsin2φ-

lα′φ′cos2α-2x′lφ′sinαcosφ+2α′xlφ′sinαcosφ+

mglsinαcosφ=0

(7)

(3)q(t)=φ(t)广义坐标下的拉格日方程为

φ″lcosαcosφ+2x′lsinαcosφ+x″cosαsinφ-

2x′lφ′2·cosαsinφ-2α′xlφ′2cosαsinφ+gcosαsinφ=0

(8)

由于现实生活中塔吊在变幅运动时的角度α一般特别小，且在平衡位置的角度为0。所以在式(8)中α∝0，sinα=α,cosα=1;系统研究中进行简化，只研究自由度x(t)和φ(t)的情况。得到方程组

(9)

对式(9)进行变换得到

(10)

建立系统状态方程：

(11)

式中，X=[x,x′,φ,φ′]T,u=F；Y=[x,φ]T。有

(12)

2 LQR最优控制

2.1 塔吊线性二次最优控制器

如果所研究的系统是线性的，且性能指标为状态变量和控制变量的二次型函数，则最优控制型问题被称作是控制型问题。由于线性二次型问题的最优解具有统一的解析表达式，且可导致一个简单的线性状态反馈控制律，易于构成闭环最优反馈，便于工程的实现，所以在实际生活中被普遍应用[8]。如式(11)所示，本系统的状态方程是一个标准的线性二次型问题，构建最优性能指标函数如式(13)所示。

(13)

塔吊控制系统是一个单输入双输出的系统，如果采用经典控制的PID控制需要两个控制器反馈校正装置，本系统用LQR只需一个即可，只要是上述的J函数在最小处[9]。控制结构框图如图2所示。

图2 LQR控制结构框图

2.2 塔吊线性二次最优控制器设计

线性二次型最优控制是基于空间设计优化的动态控制器，具有状态反馈的线性最优控制系统，在Matlab中调用形式为

[K,S,E]=lqr(A,B,Q,R,N)

(14)

式中，A为系统的状态矩阵；B为系统的输出矩阵；Q为给定的半正定实对称矩阵;R为给定的正定实对称矩阵；N代表一般大加权矩阵；K为最优反馈矩阵；S为最Riccati的唯一正定解P；E为矩阵A-BK的特征值[10]。通过设计比较，本系统采用输入反馈，系统的性能指标为

(15)

(16)

3 系统仿真

由图3(a)可以看出，当时间到达18 s时，系统的摆动距离基本趋于稳定在5 m处，摆角在-1°～1°之间徘徊。所以选取的Q11阵依旧有问题，应当继续修改，通过不停的修改，Q12设定为x=100，y=30000时的图像如图3(b)所示,当时间为13 s的时候摆动具体曲线趋于稳定在0.5 m，摆角曲线在12 s的时候便稳定在了0，超调量和稳定时间也符合设计要求，所以选取Q12为下面实验采用的LQR最优控制器参数。

LQR控制器设计完成后，对PID控制和LQR控制时系统摆动长度和摆角的性能进行比较。对PID参数进行选取，经过不停整定，得到一组最优参数，其中KP=12，Ki=0.23，KD=0.01[11]。首先选取m=20 kg，l=5 m,分别用两种方法进行控制，得到图4所示的控制曲线；然后再选取m=20 kg，l=10 m，分别用两种方法进行控制，得到图5所示的控制曲线。

根据仿真结果(图4和图5)，对两种控制方法进行性能汇总，得到汇总表如表1所示。其中物体的质量选取为20 kg,通过摆长观察性能指标。

由表1中的数据分析可得，PID控制控制位移超调量虽然很小，但是这种控制方式摆动角度过大，稳定时间也过长，实际运用时会导致塔吊无法快速稳定下来，且角度相比于LQR控制明显增加许多，所以LQR最优控制器为理想的控制器。