事件空间中基于El-Nabulsi指数律拟分数阶模型的Noether 定理

王 泽，张 毅

（1.苏州科技大学 数理学院，江苏 苏州 215009；2.苏州科技大学 土木工程学院，江苏 苏州 215011）

对称性与守恒量由于其深刻的物理意义，成为动力学研究的一个重要方向。1918 年，德国学者Noether[1]对Hamilton 作用量在无限小变换下的不变性质进行研究，得到了动力学系统守恒量的存在条件和形式，提出了Noether 理论。Frederico 和Torres[2-3]首先研究分数阶Noether 定理，将Noether 对称性与守恒量的研究推广到分数阶动力学模型。2005 年，El-Nabulsi 基于Riemann-Liouville 分数阶积分的定义，提出一个新的非保守系统动力学模型[4]，并推广到基于指数律拓展的分数阶积分和基于周期函数律拓展的分数阶积分情形[5-6]。基于El-Nabulsi 拟分数阶模型，张毅及其合作者研究建立了非保守Lagrange 系统、非保守Hamilton 系统以及Birkhoff 系统的Noether 定理[7-13]，但是研究尚限于位形空间或相空间。笔者将建立事件空间中基于按指数律拓展的分数阶积分的El-Nabulsi 拟变分问题及其动力学方程，基于该模型研究并证明事件空间中完整非保守系统和非完整非保守系统的Noether 定理。

1 事件空间中El-Nabulsi拟分数阶变分问题

设 f（t），t∈[a，b]是连续函数，按指数律拓展的 α 阶分数阶积分定义为[5]

考虑由 n 个广义坐标 qk（k=1，2，…，n）确定的力学系统，建立其（n+1）维扩充的位形空间，即事件空间，点的坐标是广义坐标qk和时间τ。引入记号

其中 xs（s=1，2，…，n+1）可作为某参数 σ 的函数，令 xs=xs（σ）是 C2类曲线，使得

不同时为零，有

则事件空间中基于按指数律拓展的分数阶积分的El-Nabulsi 拟分数阶变分问题的提法为：求积分泛函

在固定边界条件

下的极值问题，其中 γ 是某曲线，Γ 是 Euler-Gamma 函数，0＜α≤1，τ 是固有时间，t 是观察者时间，σ 是某参数，τ≠t。

称上述变分问题为事件空间中El-Nabulsi 拟分数阶变分问题。泛函（6）又可称为作用量。当α=1 时，上述问题成为事件空间中力学系统的经典变分问题。如果泛函（6）在xs=xs（σ）上取得极值，则有

由边界条件（7），得到

因此，有

将式（9）代入式（8），有

由积分区间[a，b]的任意性，可得

式（11）是事件空间中基于El-Nabulsi 拟分数阶模型的D’Alembert-Lagrange 原理，它既适用于完整非保守系统，又适用于非完整非保守系统。

对于完整系统，δxs（s=1，2，…，n+1）相互独立，因此，由式（11）得出

方程（12）是事件空间中完整系统基于El-Nabulsi 拟分数阶模型的的运动微分方程。

对于非完整系统，设非完整约束为

约束（13）加在虚位移上的限制条件为[14]

由于 δxs（s=1，2，…，n+1）不全独立，由事件空间中 D’Alembert-Lagrange 原理（11）和条件（14），利用 Lagrange乘子法，可得

其中λβ为约束乘子，方程（15）为事件空间中非完整系统基于El-Nabulsi 拟分数阶模型的运动微分方程。

2 事件空间中El-Nabulsi拟分数阶变分问题的作用量的变分

引入无限小群变换

其展开式为

其中 εμ（μ＝1，2，…，r）为无限小参数为无限小变换的生成元或生成函数。

事件空间中基于El-Nabulsi 拟分数阶变分问题的作用量泛函（6）在变换前后的差为

由于非等时变分运算△与等时变分运算δ 之间成立关系[14]

其中F 为任意函数，因此，有

利用关系式（21），式（19）可表为

由式（17）和（21），上式可进一步表为

公式（19）和（23）是事件空间中基于El-Nabulsi 拟分数阶变分问题的作用量泛函（6）的两个变分公式。

3 事件空间中基于El-Nabulsi拟分数阶模型的Noether对称变换

首先，建立事件空间中基于El-Nabulsi 拟分数阶模型的Noether 对称变换的定义和判据。

定义1如果作用量泛函（6）是无限小群变换（16）的不变量，即对每一个无限小变换，始终成立

则称变换（16）为事件空间中El-Nabulsi 拟分数阶变分问题的Noether 对称变换。

由变分公式（19）和（23），有如下判据：

判据1对于无限小群变换（16），如果满足条件

则变换（16）是事件空间中El-Nabulsi 拟分数阶变分问题的Noether 对称变换。

判据2对于无限小群变换（17），如果满足r 个方程

则变换（17）是事件空间中El-Nabulsi 拟分数阶变分问题的Noether 对称变换。

由于

因此，式（25）归为如下 r 个方程

当 r＝1 时，方程（28）给出如下 Noether 等式

其次，建立事件空间中基于El-Nabulsi 拟分数阶模型的Noether 准对称变换的定义和判据。

设Λ′是事件空间中另一Lagrange 函数，如果满足以下条件（精确到一阶小量）

则作用量泛函（6）是变换（16）下的准不变量。在此情形下的变换（16）称为事件空间中El-Nabulsi 拟分数阶变分问题的Noether 准对称变换。显然，有

将式（31）代入式（30），可得

由于式（32）的左端是一阶小量，因此，可用△G 代替G，而

因此，有

定义2如果作用量泛函（6）是无限小群变换（16）的准不变量，即对每一个无限小变换，始终成立

判据3对于无限小群变换（16），如果满足条件

则变换（16）是事件空间中El-Nabulsi 拟分数阶变分问题的Noether 准对称变换。

判据4对于无限小群变换（17），如果满足r 个方程

则变换（17）是事件空间中El-Nabulsi 拟分数阶变分问题的Noether 准对称变换。

式（35）归为如下 r 个方程

当取 r＝1 时，方程（38）给出如下 Noether 等式

利用上述判据可以找到事件空间中基于El-Nabulsi 拟分数阶变分问题的Noether 对称变换和Noether准对称变换。

4 事件空间中完整系统基于El-Nabulsi拟分数阶模型的Noether定理

函数I（xs，xs′）称为事件空间中动力学系统的守恒量当且仅当沿着系统的运动微分方程的解曲线恒成立

对于事件空间中完整非保守系统，如果能找到基于El-Nabulsi 拟分数阶变分问题的Noether 对称变换或Noether 准对称变换，便可找到相应的守恒量。有如下定理：

定理1对于事件空间中完整非保守系统（12），如果无限小群变换（16）是基于El-Nabulsi 拟分数阶变分问题的Noether 对称变换，则系统存在如下r 个线性独立的守恒量

证明由Noether 对称变换的定义得出△S＝0，即

将方程（12）代入上式，由积分区间的任意性和参数εμ的独立性，得到

积分后，便得式（41）。证毕。

定理2对于事件空间中完整非保守系统（12），如果无限小群变换（16）是基于El-Nabulsi 拟分数阶变分问题的Noether 准对称变换，则系统存在如下r 个线性独立的守恒量

定理1 和定理2 可称为事件空间中完整非保守系统基于El-Nabulsi 拟分数阶模型的Noether 定理。由上述定理，如能找到事件空间中完整非保守系统的一个Noether 对称变换或Noether 准对称变换，便有可能得到该系统的一个守恒量。

5 事件空间中非完整系统基于El-Nabulsi拟分数阶模型的Noether定理

由于

将上式代入式（14），并考虑到 εμ的独立性，有

这是事件空间中非完整约束（13）对无限小生成函数的限制方程。于是有

定理3对于事件空间中非完整非保守系统（13）和（15），如果无限小群变换（16）是基于El-Nabulsi 拟分数阶变分问题的Noether 准对称变换，且满足限制方程（46），则系统存在如下r 个线性独立的守恒量

证明由于Noether 准对称变换的定义，得到

或写成形式

由于满足限制方程（46），因此，有

将式（50）和式（49）相加，得

将方程（15）代入式（51），注意到积分区间的任意性和参数εμ的独立性，得到

积分之，便得到式（47）。证毕。

定理3 可称为事件空间中非完整非保守系统基于El-Nabulsi 拟分数阶模型的Noether 定理。如果没有非完整约束，则定理3 退化为定理2；进而如果还满足Gμ=0，则定理3 退化为定理1。

6 算例

例1设非完整非保守系统的Lagrange 函数为

非完整约束为

在事件空间中，Lagrange 函数可表示为

非完整约束可表示为

方程（15）的后面两个方程给出

由方程（56）和（57）可解得

于是方程（57）给出

方程（59）就是该事件空间中非完整非保守系统基于El-Nabulsi 拟分数阶模型的运动微分方程。如果α=1，且σ=τ，x2=q1，x3=q2，则方程（59）给出

例2研究两自由度完整非保守系统，其位形由广义坐标q1、q2确定，系统的Lagrange 函数为

试研究事件空间中该系统基于El-Nabulsi 拟分数阶模型的Noether 对称性与守恒量。

首先，事件空间中Noether 等式（39）给出

方程（62）有解

由判据2，生成元（63）相应于系统的Noether 对称变换。由定理1，系统存在如下守恒量

由判据2，生成元（64）相应于系统的Noether 对称变换。由定理1，系统存在如下守恒量

这是基于El-Nabulsi 拟分数阶模型得到的由该系统的Noether 对称性导致的守恒量。

7 结语

文章基于El-Nabulsi 拟分数阶模型，提出并研究事件空间中完整非保守系统和非完整非保守系统的Noether 理论。主要工作：（1）提出了事件空间中El-Nabulsi 拟分数阶变分问题，建立了事件空间中完整非保守系统和非完整非保守系统的运动微分方程；（2）建立了事件空间中基于El-Nabulsi 拟分数阶模型的Noether 对称变换和Noether 准对称变换的定义和判据；（3）研究并证明了事件空间中基于El-Nabulsi 拟分数阶模型的完整非保守系统和非完整非保守系统的Noether 定理。主要结果是其中的四个判据和三个定理。