解析2017年湖北省预赛试题第2题

武增明

(云南省玉溪第一中学 653100)

2017年全国高中数学联赛湖北省预赛试题(高二)第2题为：已知正项等比数列{an}满足a6+a5+a4-a3-a2-a1=49，则a9+a8+a7的最小值为.

这是一道看似平淡无奇实则蕴含的数学思想方法非常丰富的数列最值题，题面简洁，立意新颖，构思巧妙，结构优美，设计精巧，很有创意，让人赏心悦目，引起笔者极大的探究兴趣，值得深入解析.

解析1 设该等比数列的公比为q，

∵an>0，∴q>0.

∵a6+a5+a4-a3-a2-a1=49，

∴q3(a3+a2+a1)-(a3+a2+a1)=49，

∵a3+a2+a1>0，∴q3>1，

∴f(t)≥49×(2+2)=196，

综上，a9+a8+a7的最小值为196.

解析4设该等比数列的公比为q，

∵a6+a5+a4-a3-a2-a1=49，

∴a1q5+a1q4+a1q3-a1q2-a1q-a1=49，

∴a1q3(q2+q+1)-a1(q2+q+1)=49，

∴a1(q2+q+1)(q3-1)=49.

以下略，解法同上述解析1、解析2、解析3.

解析1是运用等比数列{an}的性质an=amqn-m，通过代换，转化为关于公比q的函数.解析4是运用等比数列{an}的通项公式an=a1qn-1，通过代换，转化为关于公比q的函数.解析1、解析2，解析3、解析4的共同核心都是回归到函数问题.