聆听数学知识对话关注数列与不等式交汇题型
2019-09-19赵志霞陈国林
赵志霞 陈国林
(1.山东省滨州市邹平县黄山中学 256200;2.江西省赣南师范大学科技学院 341000)
陈国林(1994.10-),男,安徽省利辛人,本科,从事数学解题与数学教育研究.
知识的交汇点是高考试题命题的热点,因此立足学科素养,聚焦知识交汇,是至关重要的.本文以数列与不等式的交汇为背景,研究了四种交汇题型,希望能够给学生们带来启示和帮助.
一、恒成立问题
例1已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=t(Sn-an+1)(t为常数,且t≠0,t≠1).
(1)求{an}的通项公式;
解析(1)当n=1时,S1=t(S1-a1+1),得a1=t.当n≥2时,由Sn=t(Sn-an+1),即(1-t)Sn=-tan+t,①,得(1-t)Sn-1=-tan-1+t②.
点评求解数列与不等式结合恒成立条件下的参数问题时,可采用分离参数进行求解.通过分离参数后可得m≥f(x)或m≤f(x)恒成立.此时即求m≥f(x)max或m≤f(x)min.
二、证明问题
例2 数列{an}满足a1=1,an+1=3an+2n.
(1)求证数列{an+2n}是等比数列;
解析(1)由an+1=3an+2n,有an+1+2n+1=3(an+2n),又a1+2=3,所以{an+2n}是以3为首项,3为公比的等比数列.
点评数列中的不等式证明问题,可采用比较法、分析法与综合法、放缩法等.在近年的数列考查中,难度一般不大.
三、不等式有解问题
例3 已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.
(1)求a2,a5的值;
(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.
解析(1)设数列{an}的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4.
当d=0时,an=2,a2,a5的值均为2;当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2,则a2=6,a5=18.
(2)当an=2时,Sn=2n. 显然2n<60n+800,此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800.
综上,当an=2时,不存在满足题意的n;当an=4n-2时,存在满足题意的n,且其最小值为41.
点评不等式有解问题,同函数不等式的有解问题一样,实质也是最值问题.因此可以利用转化思想,考虑数列的单调性,即可破解.
四、新定义题型
(1)若数列{an}的通项公式为an=2n,且具有性质P(t),则t的最大值为;
所以f(n)min=-36,所以-a≤-36⟹a≥36,故a的取值范围为[36,+).
点评高考数学创新题型是通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情景.解决此类问题弄清楚题目所给的新概念、新运算、新模型的含义至关重要,再根据题目要求,运用所学知识基本可以顺利求解.