浅议拐点的定义

2019-09-18马纪英薛力峰

杨凌职业技术学院学报 2019年3期

关键词：分界点凹凸拐点

马纪英，薛力峰，吴勇

(石家庄邮电职业技术学院，河北石家庄 050021)

拐点在高等数学中是一类比较重要的点，在导数和微分的应用中占有重要的地位，在函数的凹凸性中表征着平面曲线的一种内在几何特征，在函数作图和图像描绘中分隔着单调性相同的凹弧和凸弧。

1 拐点的定义

数学教材中一般把曲线的凹凸性和拐点放在一起讲述，首先定义凹弧和凸弧及其性质，然后引出拐点。比如：

例1 如果在某区间内的曲线弧位于其上任意一点切线的上方，则称此曲线弧在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线弧在该区间内是凸的。并把连续曲线上凹凸部分的分界点称为此曲线的拐点。

注：拐点不仅是凹凸部分的分界点，而且必须是曲线的连续点，即它是一个有序实数对(x0,f(x0))[1]。

例2 设f(x)在区间I上连续，如果对I上任意两点x1,x2，恒有

那么称f(x) 在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧)；如果恒有

那么称f(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧)。

定理设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么

(1)若在(a,b)内f″(x)>0，则f(x)在[a,b]上的图形是凹的；

(2)若在(a,b)内f″(x)<0，则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。

一般地，设y=f(x)在区间I上连续，x0是I内的点。如果曲线y=f(x)在经过点(x0,f(x0))时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点(x0,f(x0))为这曲线的拐点[2]。

总之，我们可以看到这些高等数学教材中是把拐点定义为了“曲线上凹凸弧的分界点”，至多是稍微严格了一些，把间断点排除出来，“连续曲线y=f(x)上凹凸弧的分界点”。

2 拐点定义的反例

例3 我们考虑单位圆周x2+y2=1上的点(1,0)，我们会发现平面直角坐标系中第一象限的曲线都位于各点切线的下方，即为凸弧；第四象限的曲线都位于各点切线的上方，即为凹弧，而点(1,0)即为凹弧与凸弧的分界点，故为拐点，同理点(-1,0)也是圆周的拐点。

由于圆周上的点具有圆对称性，适当地旋转平面直角坐标系，可以使圆周上的点都位于(1,0)或(-1,0)的位置，可以得到每一点都是拐点！我们发现，由于平面直角坐标系的旋转位置不同，曲线上的同一点既可以在这个平面直角坐标系下是拐点，又可以在另一个平面直角坐标系下不是拐点，显然这样定义的拐点不能表征平面曲线的内在几何特征，其定义显然存在不合理的地方。

例4 考虑曲线

我们发现，x<0 时，函数y=f(x)的图形是凹弧，x≥0时，函数y=f(x)的图形是凸弧，点(0,0)正是凹弧和凸弧的分界点，按照上述拐点的定义，曲线上的点(0,0)即为曲线y=f(x)的拐点。

实际上，根据《数学大辞典》的解释，这种点称为尖点，也就是在曲线上该点处存在着不同的左右切线的点。尖点和拐点是不同类型的点，在尖点处不存在曲线的切线。

3 拐点的重新定义

许多著名的著作对拐点的定义更严密，很严格一些。比如：菲赫金哥尔茨著的《微积分学教程》中就这样定义：

曲线上一点M(x0,f(x0))叫做曲线的拐点，如果它把使函数f(x)为凸的那部分曲线(向下凹)和使这函数为凹的那部分曲线(向上凹)分开；曲线在这点由切线的一侧进入另一侧[3]。

所以，我们可以重新定义：

如果在某区间内的曲线弧位于其上任意一点切线的上方，则称此曲线弧为凹弧；如果在某区间内的曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线弧为凸弧。设曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有穿过曲线的切线，且在切点两侧近旁曲线凹凸向不同，这时称点(x0,f(x0)为曲线y=f(x)的拐点，过拐点的切线称为拐切线。