借助变式，活化教学

龚健美

[摘  要] 变则通，通则久！对于高中数学教学而言，也需要运用变式，借助于变式丰富数学情境，借助于变式帮助学生实现知识的意义建构，借助于变式让问题的针对性更明显，借助于变式让学生的思维向纵深发展.

[关键词] 高中数学;变式;问题;探究

学习的过程是曲折的、螺旋式的上升过程，为了促进学生理解数学知识的内涵与外延，提高知识应用的准确性，发散学生的思维，我们在高中数学教学过程中要适当地运用变式. 笔者在高中数学教学实践中发现，通过变式问题的挖掘，能够促进学生走进教学情境，引发学生对数学知识、问题的思考，在解决一个个变式问题的过程中内化知识，发展素养. 文章结合具体的高中数学教学实践，谈一谈笔者的认识.

变式在数学情境创设中的应用

好的开始是成功的一半！有效的高中数学教学离不开导入情境的创设，如何创设情境呢？众所周知，高中数学知识抽象、生涩、复杂、难懂，创设教学情境的目的在于给学生呈现出知识的直观面，此时应用变式来创设情境能够引导学生从多个视角观察问题，激发学生对数学知识的探究兴趣，促进学生对数学知识的理解[1].

例如，我们在和学生一起学习“指数函数”这部分内容时，就可以借助于具体的活动，然后设计一系列变式问题来完成知识内容相关教学情境的创设，激活学生的思维.

展示实践过程：首先，将一张白纸平均地撕成两部分;接着，将这撕下的两部分白纸重叠在一起再进行对折;然后再重叠、再对折，不断地重复上述实践过程，若已知这张白纸的厚度是0.15 mm.

问题1：如果老师第四次撕纸时，大家估计一下这张纸此时的厚度是多少？

问题2：如果老师第八次撕纸时，大家再估计一下？

问题3：如果老师第十六次撕纸呢？

问题4：知道了一张纸的厚度和对折的次数，对应的撕纸后白纸的厚度如何计算？

问题5：观察上述几个问题，想一想几次实践数据之间有着怎样的关联？是否有一种函数对应关系？

“可视化实践”加上“变式问题”构成了完整的导入情境，顺着这样的变式情境，学生的思考与探究逐步展开，思维触角触到“指数函数”相关知识内容中来，顺利完成教学导入.

实践经验表明，借助于利用变式问题进行情境的创设能够有效嫁接生活与数学之间的联系，搭建一个个小平台引领学生拾级而上.

变式在数学概念教学中的应用

数学知识大厦是由一个个概念构建而成的，概念是数学知识体系的脊梁. 如何优化我们的高中数学概念教学呢？笔者在实践中发现，借助变式进行数学的基本概念教学，能够引导学生更全面地认识数学概念，促进学生对概念内涵、外延的理解，实现概念之间的有效联结，让整个高中数学概念体系不断地丰富和完善，推动学生对数学知识的理解、认识更具整体性和系统性.

例如，我们在和学生一起学习“抛物线”这部分内容时，可以引导学生从典型的问题入手，通过变式的方式逐步构建完整的知识体系.

典型问题：A（a，3）是抛物线y2=2px上的一点，已知它与抛物线焦点之间的距离为4，求出p和a的值.

问题分析：上述问题是一个典型的基础性问题，对于学生来说套用公式就可以很快得到答案，我们的教学可以以此为基础进行变式，推动学生对这部分内容进行较为全面的理解.

变式1：已知动点A到直线x+4=0的距离与其到定点p（2，0）的距离之差等于2，试分析点A的轨迹是怎样的.

变式意图：借助变式1，学生进一步研究了抛物线上的点的运动轨迹，相比于典型问题促进了学生对基本概念的理解.

变式2：已知点P的坐标为（6，4），此外，抛物线x2=4y上有一动点A，试求点A到点P的距离与其到x轴距离的和的最小值.

设计意图：变式2是在变式1的基础上的再一次提升，难度上有所加大，但还是紧扣抛物线这一核心概念，但是随着从基础题到变式1、变式2，设计的问题难度在不断地提升，促进了学生数学思维的不断发展，让学生对基本概念的理解更为透彻和全面了.

笔者在教学中发现，对于数学概念教学而言，借助于变式有助于学生更为深刻地理解概念，为高中数学学习打下良好、扎实的基础，培养学生数学思维的严谨性.

变式在探究活动中的应用

有效的高中數学教学应该是学生自主探究获得知识的过程，此时就涉及一个课堂效率的问题，同时又要避免从满堂灌走向满堂问，此时就需要我们教师科学地发挥主导性作用，笔者认为将变式与探究活动结合到一起，借助于变式问题领引学生对数学知识进行深入的探究，能够有效提升课堂教学的效果，学生在完成知识学习的过程中，获得探究能力和数学学科素养的提升.

例如，我们在和学生一起学习等差数列这部分内容时，可以借助如下几个变式问题来引导学生进行思考与探究.

有一个无穷等差数列，已知其首项为a1，公差为d. 完成下列几个问题的思考与探究.

问题1：如果该数列中的前m项删掉，将其余的各项再组成新数列，试问这一新数列还是等差数列吗？如果判断新的数列是等差数列，请求出新数列的首项与公差. 如果判断新的数列不是等差数列，请说明判断的理由.

问题2：如果将原数列中所有的奇数项取出再组成新数列，试问这一新数列还是等差数列吗？如果判断新的数列是等差数列，请求出新数列的首项与公差. 如果判断新的数列不是等差数列，请说明判断的理由.

问题3：如果将原数列中所有项数为7的倍数的各项取出再组成新数列，试问这一新数列还是等差数列吗？如果判断新的数列是等差数列，请求出新数列的首项与公差. 如果判断新的数列不是等差数列，请说明判断的理由.

设计意图：学生在学习等差数列这个概念时往往感觉困难，如果我们忽视了概念教学本身，而直接调至概念的应用，往往学生思维容易脱节，教学效果不佳，上述问题变式将概念教学转化为具体的问题，学生在解决具体问题的过程中主动思索，每个变式都能够有效撞击学生的思维，推动学生认知有效发展.

变式在习题教学中的应用

习题教学是高中数学教学不可缺失的一种重要课型，习题教学是学生在应用知识解决数学问题的过程，该过程中学生进一步内化知识，发展解决具体问题的能力，在此过程中如果我们巧妙变式能够有效扩宽学生解决问题的路径，完善学生的数学知识体系，提升数学学科素养[2].

变式在习题教学中的应用不是为了刷题，增加学生的课业负担，笔者认为我们的变式应该发生在数学问题的承接环节，借助于变式促进学生能够有效打通数学知识间的隔膜，促进数学发散性思维的发展.

例如，有如下一道习题的变式教学.

变式策略：如何将这道习题进行变式，进一步发展学生的思维呢？从题目所给的条件出发进行变式，如将“a>1”这一条件进行变式处理，改为“a>0且a≠1”，则学生在解决问题的过程中就需要分“a>1”与“0<a<1”两个范围进行讨论，提高思维的严谨性;第（3）问的变式处理可以将题设条件丰富化，如改为：“在函数f（x）的图像上任取一点P（x0，y0），证明：它关于直线y=x的对称点也在函数f（x）的图像上”. 通过这样的变式处理能够有效帮助学生反思自己原有的解题思路和过程，检验当初自己思维的严谨性，有助于培养学生的数学学习力，提高思维的灵活度. 

总体而言，“变式”应用于高中数学教学过程中能够有效发散学生的思维，促进学生对概念本身的内化，也能够让概念的应用更有效，符合当前发展学生学科核心素养总的教学目标要求，让我们的高中数学课堂变得更为高效.

参考文献：

[1]  吴春燕. 高中生数学概念理解障碍的初步研究[D]. 山东师范大学. 2007.

[2]  张忠潮，汪本旺. 习题教学应提升学生的思维能力——以《基本不等式》习题课为例[J]. 中学数学研究，2016（6）：5-8.