解题中常用的数学思想例谈

何衡林

摘 要 数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学行为，数学思想对数学方法起指导作用，本文对解题中常用的数学思想作一粗浅的探讨。

关键词 数学思想;方法;解题

中图分类号：A，B014 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2019）16-0169-01

数学思想是人们在通过数学活动认识世界的过程中所形成的基本观点，亦是对数学的知识内容和使用方法的本质认识，是对数学规律的认识。简而言之，数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学行为，数学思想对数学方法起指导作用。

在解题过程中常见的数学思想有：方程思想、数形结合思想、整体思想、转化思想等。解题的价值不是答案的本身，而在于弄清楚是怎样得到这个解法的，是什么促使你这样想的，这实际就是数学思想问题。

一、方程思想

方程思想，是指把所研究的数学问题的已知量与未知量之间的数量关系转化为方程组，从而使问题得到解决。许多同学在学习中往往见到了方程才想到用方程的思想来解决，而事实上，许多题目表面上看是非方程的问题，有的甚至是几何问题，但运用方程的思想来求解，使問题得到解决。

例：若和是同类根式，求、的值。

分析：已知条件中，没有方程，由同类根式的定义构造出关于、的方程组，求出方程组的解便是问题解决。

解：由同类根式的定义，得

解得：。

二、数形结合思想

一般地，人们把代数称为“数”而把几何称为“形”，数与形表面看是相互独立，其实在一定条件下它们可以相互转化，数量问题可以转化为图形问题，图形问题也可以转化为数量问题。数形结合思想是把数式与图形结合起来，用代数方法分析图形，用图形直观表示数、式中的关系。数形结合的思想是解决问题的重要方法，“数”与“形”的结合，使抽象思维与形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用。因此，灵活运用数形结合进行解题，往往是行之有效的方法。

例：解方程：。

分析：初看这是一道纯代数题，通常的解法是分段定出的取值范围，分类讨论绝对值符号再去绝对值符号，但这样较费时费劲。若利用绝对值的几何意义，则可快捷求出解来。

解：如图，画数轴，设A（-1），B（1），由绝对值的几何意义，求这个方程的解即是在数轴上找到与点A、B的距离和为4的点。若设所求的点为，因为AB=2，则点的位置只能在点A的左边或点B的右边，易得。

所以，原方程的解为。

三、整体思想

从整体上去认识问题思考问题，常常能化繁为简，变难为易，同时又能培养思维的灵活性、敏捷性。对于某些数学问题，若从局部着手，求出“个体”可能比较困难，有时甚至不可能，但当从整体考虑，避开求“个体”，把整体代入，可能会使计算容易进行，达到捷足先登的效果。

例.已知，求的值。

分析：欲求，最易想到先求的值，但这样计算十分冗繁，如从整体上考虑，将化成，再由已知条件，设法求的值，便可轻松求解。

解：∵

∴

∴

∴

四、转化思想

转化思想方法是解数学题的一种常见的、重要的策略方法，它蕴含着极其丰富的内容，如新旧知识间的转化，互逆运算间的转化，未知向已知的转化，特殊与一般的转化，静动之间的转化等等。转化思想的解题过程的实际是一系列转化的过程，为了探求问题的解决途径，往往要改变问题的形式，从而揭示出未知与已知的内在联系，使问题易于解决。掌握转化思想，有助于新知识的领会和掌握，有助于提高解题能力，有助于培养和发展思维能力。在解决数学问题中，运用转化思想可以化繁为简，把握解题的关键，突破解题的难点，探明解题的方法，从而提高解决问题的能力。

总之，在解题中，只要切切实实把握好上述几个典型的数学思想方法，就一定能提高解题能力、学习效率和数学能力。

参考文献：

[1]李翼忠主编.中学数学方法论.