题组设计，让儿童数学思维体验走向深刻

蒋敏杰 闵建元

摘要：数学教学中，题组设计基于相似或不同问题内涵的逻辑联系，精心设计对比或关联性的题组来组织学生练习，往往可以起到举一反三、事半功倍的效果。题组设计中，要注重整体认知，紧扣思维关键点;注重横纵对比，抓住问题核心突破;注重评价反思，凸显思维优化。实际教学中，立意思维发展的题组设计与实施，将大大提升学生对问题数学实质的理解，提升学生对数学知识的掌握与应用。

关键词：题组设计;思维体验;儿童数学

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2019）07B-0067-05

当下，我们都在围绕学生学科素养的发展，理解学科教学内容，努力优化课程实施样式，促进儿童核心素养的发展。题组设计能有效地帮助学生提炼方法，聚焦问题核心，促使学生深刻理解数学问题的本质内涵。

所谓题组设计，就是设计既有内在联系、又有外在区别的题组，并以此组织展开教学，让学生在独立尝试、交流反思中完善知识结构，优化数学思维，加深数学学习体验，并积累有效的数学学习经验，提升数学思维品质。题组设计是一类有关联的题的教学，可以让学生从整体上把握一类题的特征，理解这一类题中所蕴含的数学本质，助推学生的数学理解、数学思维由感性上升为理性;题组设计的应用特别注重引导学生对一类问题的对比，在对比过程中发展学生观察、比较、分析、综合等数学思维能力;题组设计实施中，要及时组织学生评价反思学习过程和学习结果，在思维优化的过程中，掌握解决数学问题的正确方法。

题组设计及教学在实际教学过程中还存在很多值得研究的问题，比如“如何更好地設计题组，发挥作用”“如何组织题组活动，拓宽应用”等，都是我们一线教师还需要进一步实践并持续研究的问题。

一、注重整体认知，紧扣思维关键点

相关研究表明，碎片化知识可辨识度低，不利于理解、记忆与应用，由于缺乏联系，学生难以从整体结构的视角洞察其数学实质。题组设计，突显问题关联，由单一题上升为有内在联系的一类题，抓住儿童分析问题的数学思维关键点，促进学生有关联地学，从而感悟一类数学知识的特点，加深对问题的数学理解。一般地，题组设计要基于教材的编写意图，基于设定的教学目标，在题组对比中采用抓联系、用变式的方法，帮助学生理清知识的内在关联，整体架构数学认知，让思维的触角深入数学问题，排除不利因素的干扰，使思维逐步变得清晰。

1.抓联系，让数学思维走向清晰

数量关系是数量之间内在的逻辑关系，有关联的数量关系之间也存在着内在逻辑关系。如何让学生正确理解和分析数量关系，是解决问题教学中的一个重点和难点。学生分析数量关系往往受感性因素的干扰，思维常停留在浅表层面，因不能正确构建逻辑关系，导致思维混乱。题组设计可以根据有内在关联的一组数量关系，组成有联系的问题题组，帮助学生辨析理解。教学中，教师可引导学生从具体的已知条件和所求问题中抽象出数量关系，再把不同的有内在关联的数量关系进行对比，感悟到这些数量关系之间所存在的内在逻辑关系，整体分析多个关联数量的逻辑关系，使学生对数量关系的分析和理解上升到理性层面，让数学思维变得清晰可辨。比如在教学一步应用题时，根据单价、数量、总价这三个关联的量，可设计由三道问题解决题组成的题组。

题组1：

A.钢笔每支12元，买6支钢笔，一共要付多少元？

B.钢笔每支12元，一共付了72元，买了多少支钢笔？

C.买6支钢笔，一共付了72元，每支钢笔多少钱？

教学时先组织学生读题，明确问题中的已知条件和问题，“说说已知什么，要求什么，可以怎样解答？”帮助学生抽象出数量关系。这时学生对数量关系既熟悉又陌生，熟悉的是对每道题的具体情境与数量关系的识别，陌生的是对这三道题所用数量关系的内在关联，及这三个关联数量之间逻辑关系的内在规律。最后，教师引导学生“比一比这三题的数量关系，看看有什么发现？”引导学生从整体上认知三个量之间的数量关系，体验到已知其中的两个相关联的量，就可以求出第三个量。借助过程分析与对比，学生分析数量关系的数学思维，就由浅层的单一的具象理解，上升为深层的整体的抽象理解。学生通过题组对比，形成了举一反三的数学思维能力，解决问题的数学思维变得清晰可辨。

2.用变式，让数学思维摆脱思维定式的束缚

单个练习，时间久了容易产生错误的思维定式，这些错误的思维定式如不加干预和处理，会对学生的数学思维起干扰和负面迁移作用。比如在解决“比多比少”的问题时，经常有学生看到“多”字就用加，看到“少”字就用减。这是因为学生在具体的问题解决情境中，由个别的成功经验而做出的错误的逻辑推断所造成的，学生没能体验到在某些特定条件下所获得的经验，并不具备普遍性。所以教师可根据“多的”“少的”“相差数”这三个有关联的数量设计变式题组，让学生在练习和对比中感悟三个关联数量内在的逻辑关系，帮助学生掌握正确分析数量关系的方法。

题组2：

A.小红做蓝花35朵，做的红花比蓝花多16朵，红花做了多少朵？

B.小红做红花51朵，做的红花比蓝花多16朵，蓝花做了多少朵？

C.小红做蓝花35朵，做红花51朵，做的红花比蓝花多多少朵？

此题组展开教学中，先让学生分析题中比多比少的关键句，明确到底谁多、谁少，再在感性认识的基础上，提炼抽象出数量关系。明确求多的用加法（少的+相差数=多的），求少的用减法（多的-相差数=少的），求相差数用减法（多的-少的=相差数）。此时学生对数量关系的理解仍然停留在感性认识阶段，需要教师将思维向前“推一下”，引导学生对比有内在关联的三个数量关系。“是不是在关键句中有‘多字，就用加法，有‘少字就用减法？”“在解决问题中，我们应该经历怎样的过程？”教师采用问题引领的方式，启发学生反思自己的分析过程，在思维深处理解，认识到面对“多”和“少”的处理，首先要分析数量关系，建立等量关系的道理。教师通过变式，以学生已有的错误思维定式入手，形成与正确理解应用数量关系之间的认知冲突，主动摆脱错误的思维定式，从而帮助学生进一步明晰数量关系在解决问题中的关键作用，把握数学本质。通过这样的题组应用，可以促进学生对数学知识的整体认知和整体建构，在思维出现干扰和混淆时，有利于思维结果的去伪存真。

二、注重横向和纵向对比，抓住问题核心突破

题组设计要注重引导横向和纵向对比，抓住问题核心，使学生的数学思维获得突破。数学练习的作用不仅仅是数学知识的巩固与应用，更承载着数学思维的拓展和延伸。练习中适时设计题组，可在对比和反思中将学生的思维引向数学问题的核心。比如，运算律的教学是培养学生数学思维能力的一个重要内容，运用运算律根据题目的具体特征灵活运算，对学生提出了更高的思维要求。应用题组展开教学，采用横向和纵向对比的方式，可使学生思维紧抓数学问题的核心，帮助学生打通运算律的外部表征与内在规律之间的联系。以四年级学完乘法交换律之后的题组设计为例，教师为了拓展学生对运算律的外部表征的理解，掌握更多的灵活运算的方法，设计了如下系列题组进行教学拓展。

题组3：

A.12×5÷4      12÷4×5

B.32×15÷8      32÷8×15

C.36÷9×10      36×10÷9

D.45÷5÷9        45÷9÷5

E.105÷5÷7      105÷7÷5

师：请同学们先算一算，再比一比每组的题，看看你有什么发现？

生：我发现每组两题的计算结果是相等的。

生：我发现每组的第一个数不变。

生：我发现每组的兩个算式后两个数只是换了一下运算顺序，原来乘几还是乘几，原来除以几还是除以几。

生：我发现这些算式都是只有乘除的计算。

师：同学们刚才通过计算和比较，发现这些算式交换题中后两个除数和乘数的位置，计算结果不变。通过这几个例子发现的结论你觉得可靠吗？怎样进一步验证可靠性？

生：我们每个人照样子再多举几个例子，再算一算看看有没有反例。

师：对的。通过几个例子发现的规律就匆忙下结论是不严谨的，我们通常要寻找更多的例子来验证规律的可靠性。

上述教学片段，学生在运算及问题解决中会碰到更多的具体情境，为了培养学生更强的灵活运算的能力，拓展学生的数学思维，教师设计了上述题组练习，以帮助学生借助算式间的等价关系，拓展灵活运算的方法。教学时，教师让学生带着发现的眼光去计算，让学生经历观察、比较、发现、验证、下结论的探索规律的过程，引导学生对比计算结果，对比算式中的数和运算符号，对比当下发现的规律和已发现的规律，以帮助学生体验自主探索数学规律的一般方法。

关注“比较”“发现”是数学思维中的重要环节，设计题组练习展开教学，是帮助学生理清数学思维、发现数学规律外部特征及内在本质的重要手段。

1.注重横向对比，把握问题核心

“比较”是学生发现数学规律、把思维引向问题核心的首要条件。所谓横向对比，就是在外部特征类似的题组中比较相异点，突出相同点。如上例中，通过横向对比，学生发现每个小题组中的两道题结果是相同的，题中左起第一个数是相同的，每组题中都只含同级运算，左起第二个数和第三个数实质也是相同的，不同的是第二个数和第三个数连同左边的符号整体交换了位置。学生在横向对比的引导中，把问题的核心聚焦到计算结果、运算符号和数等这几个关键因子，数学规律的外部模型在头脑中初步建立。通过更多的举例和验证，类似的观察和对比，从这些外部特征中抽象出数学规律，已水到渠成。

2.注重纵向对比，突破问题核心

所谓纵向对比，就是把现有认知和已有认知进行对比，寻找共同点和不同之处，建立起两者沟通的桥梁，使认知结构得到进一步巩固和优化。首先要有高观点架构，学生从上一题组中所发现的规律是基于学过的乘法交换律之后对两者之间联系的认知，此时学生的思维还停留在具体问题上，受知识条件限制，无法真正建立起两者之间的联系，形成的只是表象应用。六年级学完分数除法后，知道除法可以转化成乘法计算，此时再次使用以上题组，引导学生通过纵向对比，借助分数乘、除法意义与乘法交换律应用，学生能突破思维，建立思维链接，完善认知结构。学生通过把除法转化成乘法，很快发现转化以后就是熟悉的乘法分配律应用，一下子变得豁然开朗。“12×5÷4=12×5×，12÷4×5=12××5，因为12×5× =12××5，所以12×5÷4=12÷4×5”，通过推理进行纵向对比，两个看似不同的数学规律在思维深处找到了连接点。教师还可再向前“进一步”，提出（36+27）÷9=36÷9+27÷9“为什么可以这样算？”“除法有分配律吗？”应用联系，学生将再一步借助意义转化，认识到（36+27）÷9=（36+27）×=36× +27× =36÷9+27÷9，实现“形式—算理”的沟通，解构算理，理解灵活算法。通过对比，学生从更深层次把握了这类问题的核心，从思维层面实现了质的突破。

通过以上题组设计及练习教学展开，我们可以发现：在题组设计及实际教学中，注重横向对比，有利于学生建构数学模型，理解外部表征，数学思维变得更加清晰;注重纵向对比，有利于学生沟通数学新认知与原有旧认知之间的联系，找到核心问题深处的连接点，数学思维变得更加清晰可视。

三、注重评价反思，凸显思维优化

题组设计与教学要注重评价反思环节，评价题组设计与实际的学习过程和学习结果，反思在题组练习后有哪些新的收获，对这类数学问题有哪些新的认识，以此优化数学思维方式，促进思维水平的提高。学生通过自主的回顾、评价与反思，能生成主动优化思维的原动力，不断完善思维方式，提升思维品质。

以苏教版五年级下册“列方程解决实际问题”的教学为例。学生一般都能在具体情境中体验到：分析数量关系，建立等量关系，顺向思维可以降低思维难度，能更准确地理解数量关系、分析问题、解决问题。但在解决数学实际问题的过程中，难免受逆向思维习惯的影响，或受书写习惯的影响，有些用顺向思维列方程很容易解决的问题，一些学生却主动放弃，改用算术方法解答，结果出现一些错误。学生亟待突破原有思维方式和思维习惯，建立等量（价）关系思维，为后续学习提供方法支持。基于此，教师可借助题组练习反思，帮助学生优化数学思维。

题组4：

A.小军有64张邮票，比小明邮票张数的2倍少22张，小明有多少张邮票？

B.小明有43张邮票，小军比小明邮票张数的2倍少22张，小军有多少张邮票？

教师采用尝试练习的方式引入问题。

学生反馈A题有以下四种解法：

（1）64÷2-22

=32-22

=10（张）

（2）（64-22）÷2

=32÷2

=16（张）

（3）（64+22）÷2

=86÷2

=43（张）

（4）解：设小明有邮票x枚。2x-22=64

2x=64+22

2x=86

x=43

B题解法：

43×2-22

=86-22

=64（张）

组织练习活动时，先让学生独立分析数量关系，解答题组中的问题，再收集学生的学习结果，展开小组评价，最后引导全班评价反思，使学生的思维在评价反思中受到感染和震撼，体验到选择正确的思维方式是正确解决数学问题的关键因素。

1.对学习结果进行评价反思，优化数学思维

校验A题时，部分学生一开始对方法（1）和（2）充满信心，但当出现了不同的计算结果时则产生了一丝忧虑。此时教师引导学生小组评价成员的学习结果：“你认为谁的方法是对的？谁的方法是错的？为什么？小组内先议一议。”学生在评价中体验到，结果是否正确只要代入原题进行检验就可以。B题的计算正好可以验证A题的计算结果是否正确，所以只有（3）和（4）是对的。教师还可以引导学生比较A题的解题方法，“算术方法与列方程解答哪种更容易分析数量关系？”学生通过对错误的反思，不难发现顺向思维，找到等量（价）关系更能准确把握数量关系，用逆向思维理解数量关系，难度要比顺向思维大。如此，通过对学习结果的自主评价与反思，学生在迷茫中找到了正确的数学思维方向，这种吃一堑长一智的体验更为深刻。

2.对思维过程开展评价反思，改进学习方法

题组设计中还需要注重不同类型、方法的比较，促进学生生成新体验。比如上例中，除了比较解题的思维方式，还可以比较同一思维方式的解题过程，以此提升学生的思维能力。在本题组中，首先教师可引导学生对比A题和B题解决问题的过程，进行反思：同样采用算术方法，A题中（1）（2）方法错在哪里？对你有什么启示？通过反思，学生自然地聚焦到具体问题的解题方法及数量关系分析上，学生明确分析数量关系，需要正确理解并选择问题中已知条件和所求问题的特征。其次，组织学生反思：A题与B题不同，怎么在分析数量关系时，都是“小明邮票张数×2-22=小军邮票张数”呢，这里面有什么数学秘密？最后，组织学生反思：结合问题和我们以前解决问题的经验，你觉得在问题解决中，会遇到怎样的错误？你又有怎样好的经验可以与同学们分享。通过引导思考的方式启发思维，引发学生在对比、反思和评价中体验到，解决问题要根据题中的具体情境，选择容易理解数量关系的思维方式来确定解题方法。

通过以上题组的设计与练习，教师引导学生对思维过程和学习结果进行评价反思，使学生体验到思维方式的选择决定数量关系理解的难易，决定对数量关系的理解是否正确，决定解题的方式，直接影响解题的正确率。学生在数学经验的积累和分析中，体会优化数学思维的重要性。

在数学教学中，合理设计数学题组并展开教学，可以有效引导学生从整体上认知数学，在对比中把握问题的核心，在评价反思中优化思维。优秀的题组设计与练习，将大大提升学生对问题的数学实质的理解，提升学生对数学知识的掌握与应用，幫助学生形成整体结构、多元联系的思维方式。

责任编辑：丁伟红

Abstract： In mathematics teaching， question group design is based on the logical connection of similar or different question connotations， and teachers should elaborately design comparisons or relevant question groups to organize students learning， which tends to achieve twice the result with half the effort. Such design should attend to the holistic cognition and closely revolve around the key point of thinking， focus on horizontal and vertical comparisons and grasp the core breakthrough of questions， and attach importance to evaluation and reflection to highlight thinking optimization. Teaching practice shows that question group design and implementation oriented towards thinking development can greatly improve students understanding of question-mathematics essence and help them acquire and apply mathematics knowledge.

Key words： question group design; thinking experience; childrens mathematics