具有媒体饱和发生率的SIS时滞模型研究

赵省丽 刘茂省

摘要：为了研究媒体报道对传染病动力学性态的影响，通过建立疾病发生率受媒体报道影响的SIS数学模型，确定模型的基本再生数，证明平衡点的存在性以及地方病平衡点的唯一性，并证明无病平衡点的局部渐近稳定性和全局稳定性，以及地方病平衡点的局部渐近稳定性。引入时滞因子对模型进行深入研究，通过数值模拟验证了理论结果的正确性。研究结果表明：当参数满足一定条件时，在地方病平衡点会产生Hopf分支。具有媒体饱和发生率的SIS时滞模型的研究结果，阐释了媒体报道对疾病传播的影响，丰富了饱和发生率的传染病模型结果，为有效实施疾病防控提供了理论依据。

关键词：稳定性理论;饱和发生率;SIS模型;媒体报道;时滞

中图分类号：O175.13文献标志码：A

doi：10.7535/hbgykj.2019yx03003

文章编号：1008-1534（2019）03-0164-06

通常情况下，某种传染病的爆发必然会引起人们行为方式的改变，如减少外出、接种疫苗、注意卫生等，这些行为方式的改变又必然会对疾病的传播方式和控制效果有很大的影响。许多学者研究分析了媒体对疾病实际情况报道的滞后性，建立了一些含有时滞的传染病模型[6-8，16]。孔建云等[16]考虑到媒体对疾病的报道不会立即引起疾病感染率的改变，引入时滞进行深入研究分析。为了从更加实际的角度来研究传染病模型的动力学性态，笔者考虑到疾病感染人数的数据统计需要时间，也就是不会立即对媒体执行强度产生影响，因此引入时滞对模型进行讨论，研究在这种情形下是否会产生Hopf分支以及相应的临界值，通过数值模拟观察模型的周期性震荡情况，进而可以得到疾病爆发周期的频繁程度。

1模型的建立和平衡点的分析

1.1模型的建立

根据疾病传播过程和建模思想，模型流程如图1所示。

4结论

通过研究媒体报道影响疾病发生率的数学模型，首先，分析得到了模型的无病平衡点和地方病平衡点的存在性以及唯一性;接着，分析得出无病平衡点是全局渐近稳定的，地方病平衡点是局部渐近稳定的;最后，引入时滞因子作为分支参数对模型进行研究。研究表明：当R0>1，Q2<Q3时，存在分支参数临界值τ0;当τ<τ0时，系统的地方病平衡点E*是局部渐近稳定的;当τ>τ0时，地方病平衡点E*是不稳定的;当τ=τ0时，地方病平衡点E*产生Hopf分支。通过数值模拟验证了理论分析结果的正确性。研究结果表明，传染病的流行与否和时滞因子的变化有直接影响，现实中考虑媒体报道对疾病传染控制的影响时，可以根据实际状况考虑合适的时滞，使疾病控制决策更加有效。本研究只考虑了一个时滞对模型的影响，今后可以根据实际情况引入不同的时滞，讨论分析多时滞因子如何改变模型的动力学性态。另外本文只考虑了分支的存在性，还可以研究Hopf分支的具体方向和持久性等。

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