概念的分层和教学

孙四周

摘要：所有概念都处于一个系统之中，完全孤立的概念是没有生命力的，或者说“是无法存在的”。任何一个概念，必存有上位概念、下位概念或平行概念中的一种或全部。概念教学应该始于学生的经验，遵循归纳的路径，但并不意味着只能从下位概念开始。让上位概念和平行概念充当先行组织者，实现对新概念的同化，倒是值得优先考虑的方法。

关键词：概念概念层级概念教学

一、为什么要谈概念

先看两个问题。请先试着自己回答，然后再往下看解析。

题1螺母受热均匀膨胀后，内孔直径是扩大还是缩小？

题2lg x2=2lg x是不是恒等式？

第一个问题，首先要弄明白“均匀膨胀”的概念，否则便无法进入逻辑思考。“均匀膨胀”可以理解为：物体上任意两点之间的距离增大相同的倍数。如此一来，内孔直径也“增大相同的倍数”，即扩大。

第二个问题中，什么叫“恒等式”？就是“在两端都有意义时，等号一定成立的式子”，也就是说，此题并不要求对任意实数成立，也不要求两端各自的定义域相同，只要两端的定义域交集非空即可。因而是恒等式。

由此我们可以看到，做出判断的唯一依据是概念，概念清晰了，推理也就清晰了。一个命题如此，一门学科也是如此。即使是一个非常庞大的理论体系，它的根本立足点还是概念。只要核心概念建立起来了，那个理论就算没有完成，也至少是接近于完成。有人做过这样的设想，假如把马克思的《资本论》全部烧掉，仅仅留下“剩余价值”四个字，就可以把它重新写出来;如果把伽利略的物理书全部烧掉，仅仅留下“运动”二字，也可以重新写出来。同理，牛顿体系只要一个“力”，爱因斯坦理论只要一个“相对”，量子力学只要一个“量子”，麦克斯韦电磁理论只要一个“场”，微积分只需要一个“极限”……

美国科学哲学权威库恩说：“如果因为一个突然的灾难，人类丧失了所有的知识，那么，只要留下一个概念，人类迟早还会把这些知识重新写出来，这个概念就是原子。”意思是说，只要人类还有“原子”这个概念，那么此后的科学发展就能沿着曾经走过的路再走一遍。

我国著名数学家华罗庚主张在学习中遇到困难的时候，要“退，足够地退，退到最基本而不失去重要性的地方”。这样的“地方”，其实就是概念。

这就是概念的作用，概念不仅仅是知识的固化，还蕴含着知识与能力，凝聚着过程与方法，体现着情感态度与价值观。罗增儒教授在《中学数学教学参考（上旬）》2016年第3期和第4期上连载了长文《数学概念的理解和教学》，说明了他对概念教学的高度重视。此文也载入了我所见到的关于概念的最新的、比较有价值的材料。

二、概念的来源

（一）什么是概念

按照习以为常的说法，概念“是对事物本质的认识”。但也有一种观点，认为概念只是一种“心理表征”——爱因斯坦就是这样认为的。概念并不一定反映“本质属性”，有的概念只是一种约定。有的概念表征的是本质，更多的则不是。

但不论哪种观点，都认为概念是“思维的单元”，这个单元不论大小皆具有整体性，回想和应用时它都是整体呈现的，不耗费时间和精力，就像我们一眼就认出大象一样。而且，认出大象并不比认出小狗耗费更多时间，因为两者都不耗时。

古希腊哲学家认为形而上的知識是不变的，形而下的知识是可变的。老子也说：“天不变，道亦不变。”现在看来，他们全都不对，所有的概念包括“宇宙”的概念都是不断发展的，宇宙之下更不应该有不变的东西。古希腊的宇宙是“月下世界”，哥白尼的宇宙是太阳系，爱因斯坦的宇宙限于银河系，而现在我们知道，宇宙中有无数多个银河系，可测的大约就有2000亿个。

根据现象学的观点，我对“本质认识”的说法抱有怀疑的态度。因为“本质”是无从知道的，我们只知道“认识”。小孩子头脑中就有“爸爸”的概念，但他们肯定不知道爸爸的“本质是什么”;原始人也有“太阳”的概念（20000多年前的原始壁画里出现了太阳），但他们也肯定不知道太阳的“本质是什么”;而我们对电子的认识是不是本质，还要等待检验，因为它已经变过多次了。所有的概念都是随时可以发展、随时可能被推翻的，就连阴阳、以太、燃素那样曾经统治人们思想的“绝对核心”概念，都已经被彻底抛弃了。我们现在的认识有没有真的反映“本质”，实在很难说。

教师很特殊。第一，从角色定位上看，他必须把知识看作是稳定的，否则其所传的“道”和所授的“业”便失去正当性;第二，在工作中，教师还要把学生眼里的知识看作是发展的，处于动态生成的过程中。第三，如果剥离掉社会角色、撇开工作，作为独立的人怎样看待人类知识，是需要继承还是需要反思，就在于各人了，因此又具有更大的不确定性。

（二）概念的形成过程

概念形成于人的头脑之中，源于外界信息的刺激;但是如果离开了人脑的反映，一切的刺激都不具有意义。人脑对感知到的信息给予解释，如果解释是凝聚的、有独立建构倾向的，就会指向一个具体的外界物体或人类意识，就有可能形成一个表象。比如光线进入人的眼睛，如果你把它解释成“光明”，那就不是凝聚性的而是发散的，在这个解释下你不能形成任何具体的认识;而如果你把它解释成“光源”，就是向着剥离出独立物体的方向迈进了;很可能你不会就此停止，而是再做辨认，也许经过多次的反复，最后认出了发光物体的轮廓，把它与邻近的物体区分开来。这就形成了表象。表象是模糊的、整体性的，人能感觉其存在，却不能清晰地描述出来。这有点像中国画中的写意山水，飘忽不定。对表象进一步解释，即在内部细节上确认，在外部联系上丰富，就形成了一个独立的认知单元，就像西洋画中的写生实物，清晰而稳定。这就形成了概念。概念以其清晰，故而可以表述，也可用于论证。表象因其含混，难以为外人道，但它代表了想象的自由，在创造性上更有潜力。心理学上有一种“舌尖现象”，是说某个东西只差一点点就能说出来，却又始终说不出，指的就是表象的发展已经到了概念的边缘。

概念的演进过程是：感知→表象→概念。而人为了在头脑中建构起一个概念，可能在感知和表象之间进行多次的反复（如图1），一旦某个概念建构完成以后，它就稳定了下来，并可用以组织其他概念。清晰起来的，不会再模糊;稳定下来的，不会再含混。这就是认识发展的棘轮效应，即只向前进不向后退的认知规律（遗忘不是认识的倒退，而是失去认识）。

当然，清晰性与稳定性不是自动形成的，它不是知识本身的属性，而是人脑对知识的组织程度。如果不经过自己主动、积极的建构，人就无法形成一个概念。比如，老师把一个概念的形成过程的每一步都告诉学生，学生也“知道”或记住了这个过程，这并不能让学生在头脑中形成概念，甚至连表象都不能形成。这样的“告知教学”就没有效果。就算学生听得非常认真，每一个字都没有遗漏，全都清清楚楚地记在笔记本上，也不能有任何收获——所以，一定不要用“告知”的方法教概念，这应该作为教师的职业伦理。

（三）如何定义概念

概念必须能够被清晰地表达，学术上的行为就是“下定义”。即用已知概念说明未知概念，前者叫作定义项，后者叫作被定义项。例如，“有理数与无理数统称为实数”，“有理数与无理数”是定义项，“实数”是被定义项;“平行四边形是两组对边分别平行的四边形”，“平行四边形”是被定义项，“两组对边分别平行的四边形”是定义项。也许你会想：最原始的概念又是如何定义的呢？最原始的概念是不加定义的，其意义借助于其他术语和对它们各自的特征给予形象的描述。

下定义（或形成定义）的方法一般有下列几种：

1.直觉定义法——最初的定义方法。

直觉定义法就是凭直觉产生概念，这些概念不能用其他概念来解释，故称为原始概念。如几何中的点、直线、平面、集合、元素、对应等。

2.“属+种差”定义法——内涵式定义方法。

“属+种差”定义法，即：被定义的概念=最邻近的属概念+种差。“最邻近的属概念”，就是包含被定义概念的最小的属概念;“种差”，就是被定义概念在“属”内最邻近的种概念里区别于其他概念的属性。如“等腰梯形是两腰相等的梯形”“直角梯形是有一个底角是直角的梯形”“等腰三角形是两边相等的三角形”等。这种定义方法揭示了概念的内涵，既准确又明了，有助于建立概念之间的联系，使知识系统化，因此应用较多。

3.发生式定义法——构造性定义方法。

发生式定义法，是通过对被定义概念的发生过程或形成的特征的描述，来揭示被定义概念的属性的定义方法。如“平面内与两个定点的距离的和等于定值的点的轨迹叫作椭圆（附加数值限制）”“矩形绕着它的一条边所在直线旋转一周所围成的几何体叫圆柱”。

这种定义法也被有些人看作是“属+种差”定义法的一种特殊形式。定义中的种差是描述被定义概念的发生过程或形成的特征，而不是揭示被定义概念的特有属性。而罗增儒教授则认为，“‘属+种差’定义法是发生式定义法的特例”。

4.逆式定义法——外延式定义方法。

逆式定义法又叫归纳定义法。如“整数和分数统称为有理数”“正弦、余弦、正切和余切函数叫作三角函数”“椭圆、双曲线和抛物线叫作圆锥曲线”“逻辑的和、非、积运算叫作逻辑运算”等。

5.约定式定义法。

指由于实践需要或自身发展的需要而被指定的概念。比如，一些特定的数，圆周率π、自然对数的底e等;一些人为的約定，“0！=1”“零向量的方向是任意的”等。约定要符合两个原则：一是有必要，二是无矛盾。0的0次方不能规定为任何数，只能说它无意义。“无意义”也是一种规定，在这种规定下，“无意义”就是它的意义。对此我们早已熟悉，比如“90°的正切”意义是非常明确的，那就是“无意义”。相应的，复数0的辐角的意义就不是“无意义”而是“任意实数值”。

此外，还有刻画性定义、过程性定义、公理法定义等。

既然是定义，就必须符合下列要求：第一，定义应当相称。即定义概念的外延与被定义概念的外延必须是相同的，既不能扩大也不能缩小，既不宽也不窄。如“无限不循环小数叫作无理数”，以“无限小数”来定义无理数则外延过宽，以开不尽方根的数来定义无理数则外延过窄，它们都是错误的。第二，定义不能循环。即在同一个科学系统中，不能以A概念来定义B概念，同时又以B概念来定义A概念。如“90°的角叫作直角，直角的九十分之一叫作1°的角”，这就发生了循环。第三，定义应清楚、简明，一般不用否定的形式，绝不能用未知的概念。比如，“笔直笔直的线叫作直线”是定义不清楚;“两组对边互相平行的平面四边形叫平行四边形”是定义不简明;“不是有理数的数叫作无理数”是否定形式;对初中生来说，“在复数a+bi中，虚部b=0的数叫作实数”则是应用了未知概念。这些都是不妥的。用否定形式下定义，即使符合逻辑，也不符合人的心理习惯。我留意过这样的现象：在老师问“什么叫平面外直线”时，学生更愿意回答“是指直线与平面相交或者平行”，而不愿意回答“直线不在平面内”，尽管后一个说法是正确的而且更简洁。

以上是逻辑学中的要求，知道这一点，有利于教师塑造自己对概念的看法。在具体面对一个概念的时候，可以不去深究它是用哪种方式定义的，因为这基本不影响对概念本身的理解和掌握。

三、概念教学的现状

张奠宙、罗增儒、章建跃、李善良等对目前概念教学的形势都有分析，认为一线教师对概念教学的态度大致存在以下一些不足：

其一，直接呈现结果，然后是记忆和辨析。张奠宙称之为“掐头去尾烧中断”。

其二，尽快地告知学生定义，还从多个方面谆谆告诫。这就是李善良在多个场合质疑过的“一个定义，几项注意”，罗增儒和章建跃的文章中对此也都有批评。

其三，学生自己看书记定义，然后相互背诵;或者老师提问背诵，名曰“阅读”或“自学”。

上述做法的出发点是“尽快进入问题解决的教学”，认为解题的能力才是数学能力，因为“会解题”与“得高分”是等价的。“得高分”的定位受到了学生、家长和社会的一致欢迎，以至于大量的解题教学屡禁不绝，概念教学反被虚化。

在路上走得久了，我们已经忘了为什么出发，还以为走路就是我们的全部;题目解得多了，我们忘了为什么要解题，还以为解题就是数学的全部。当然，反复操练或者题海战术，也会在不同角度、不同场合应用概念，也能在一定程度上促进学生对概念的差异性及共同性的认识。也就是说，解题教学并不是反概念的，但其教学重心不在概念而在程序或技巧。

最近，李邦河院士的一句话很流行：“数学是玩概念的，技巧无足道也。”“回归概念，不忘初心。”这是笔者写作本文的立意。

四、概念的相对层级：上位概念、平行概念和下位概念

（一）概念分层

所有概念都处于一个系统之中，完全孤立的概念是没有生命力的，或者说“是无法存在的”。任何一个概念，必存有上位概念、下位概念或平行概念中的一种或全部（如图2）。相对来说，下位概念是特殊的、具体的、可感的;上位概念是一般的、抽象的、不可感的。心理学告诉我们，人的认识总是从特殊到一般，从具体到抽象，从感性到理性的。这就是说，“人的认识是从下位概念走向上位概念的”，它遵循的是归纳的思维方式。教育学又

告诉我们，教学行为必须遵循人类认识的一般规律。这就得出一个推论：学习概念必须从下位概念开始，按照归纳的路径获得。教育学理论普遍要求我们这样做。

但是，上位概念有更大的概括性和更强的认识功能。比如，爱斯基摩人从来没有一个“雪”的概念，他们对绵软的雪、干硬的雪、斜飘的雪、飞舞的雪、落在地上的雪、落在石头上的雪、落在树上的雪、将化的雪、化了一半的雪，等等，都给出了具体的名称。满族人也类似，老满语中记录雪的单词达110多个，却不见统一的“雪”的名称，说“降雪量”这个词他们是不懂的。如果要问一年下了多少雪，爱斯基摩人就会分别告诉你绵软的雪下了多少、干硬的雪下了多少……我们用一个“降雪量”就够了，他们却不能听懂。而在我们用降雨量、降雪量、降雹量、降霜量等做思考的时候，气象学家却用上了“降水量”这个词。所以，如果有可能，我们就应该不断去追求更上位的概念。人类文明的进化亦是如此。

我们知道，最初几何概念的形成相当艰难。在300万年的历史中，一直到了古希腊才有明确的几何概念。欧氏几何发展了2000多年才进化出罗氏几何，而且罗氏几何竟然是几乎同时、在不同地方由多个人独立完成的（已知的就有罗巴切夫斯基、高斯、鮑耶）。这说明，经过长期的具体研究，人类已经走到了形成顿悟的门槛边。在罗氏几何问世后，黎曼几何立刻就被构造出来，原因很简单，罗氏几何与黎曼几何是平行概念，而且两者的种差（“三角形的内角和小于180°”和“三角形的内角和大于180°”）太容易被发现，几乎一眼就可以看到。再接下来，在欧氏、罗氏、黎氏之上，还有更上位的几何学吗？有的，那就是绝对几何。这个上位概念的产生又非一般人可以完成，连高斯都没有做到，黎曼也没有做到（他太早地去世被认为是一个原因）。完成绝对几何的是20世纪初的顶尖数学大师希尔伯特，他的《几何基础》构造了一种到现在仍然是最上位的几何概念。那么，还有没有比“绝对几何”更上位的概念？目前人类连想象它的勇气都没有。“绝对几何”这个名字体现的究竟是傲慢还是无知，就在于各人的理解了。

很显然，如果从上位概念开始学习，则效率一定会很高，前提是必须掌握了这个上位概念;从平行概念开始学习，也很好，同样必须已经掌握了这个平行概念;如果前面两个前提条件都不具备，便只有从下位概念开始学习了。也就是说，选择概念教学的先行组织者应该遵循这样的次序：上位概念→平行概念→下位概念。比如，从“对称图形”来学习“椭圆的对称性”，是从上位概念开始学习;从“椭圆的对称性”学习“双曲线的对称性”，是从平行概念开始学习;从“点的对称性”学习“椭圆的对称性”，则是从下位概念开始学习。

这似乎与上面所说的“人类的认知规律”相矛盾，也为教育学理论所不容。但是，我实在无法割舍对上位概念和平行概念的偏爱，我也相信会有许多人与我持类似的观点。难道我们的直觉错了，我们的坚持是无理的？进一步分析，发现并非如此。

人类的认识从特殊到一般、从具体到抽象是毫无疑问的，但那是在人类认识推进的过程中，是在没有上位概念和平行概念下的无奈之举。教学是在人类认识已经完成的情况下的学习活动，发现式教学、探究式教学也不是学生完全自己在做，还有老师在场。那么，老师能做什么？能选择学习资料和学习次序。在上位概念已经学会的前提下，我们当然可以选择从它开始，平行概念也是如此。有这种可能性吗？不光有，还很多。人可以通过某一些下位概念把某个上位概念掌握了。再回过头来认识其余的下位，到那时就当然可以用那个上位概念充当先行组织者。比如苏教版高中数学必修一对函数的处理就是这样：先讲“函数”概念，然后再讲指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等;先讲一般函数的单调性、奇偶性，再讲具体函数的性质。至于“函数”的概念是怎么学会的呢？那是通过学习正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数，由下位概念发展而来。它起到了非常好的先行组织者作用，为后续的数学教学提供了难以估量的帮助。

如此，我们在心理上可以认为对概念教学的认识已经清楚了一些。

按照认识论，从下位概念到上位概念，是归纳;平行概念之间，是类比;从上位概念到下位概念，是演绎。归纳更贴近于人的经验，更亲切;演绎更有学术味，更有力。如果能找到一个既亲切又有力的途径，那是最理想的。这只能到上位概念或平行概念那里去找，因为只有“有力”的才能被热爱，它可以给人的学习带来实际收益。单纯的“亲切”在“有力”面前没有竞争力，更别说在那些“既亲切又有力”的面前了。

按照学习论，同化比顺应更容易。那么，从下位概念到上位概念，两个平行概念之间，以及从上位概念到下位概念，哪一种路径是同化，哪一种路径是顺应呢？这不是可以简单划分的。不过，我确信已经找到了“在概念教学中把本属于顺应的处理成同化”的方法，这会给概念教学带来巨大的实用价值。

（二）概念分层对教育的价值

看两个案例。

第一个案例——说到“山竹”一词，别人不知道，你就要进行解释，你很可能按如下的顺序：

第一句：“它是一种水果”;

第二句：“像猕猴桃那样大小”;

第三句：“肉是白色的，很好吃”;

第四句：“三分酸，七分甜，糯糯的，还有一点香味”。注意，你是从大往小说的，开始是一个很大的“属”概念，越说越具体，而不是相反。

第二个案例——中国古代有个概念叫“阳数”，如果你问“阳数”是什么？我可以有不同的回答：

“阳数是一种数”——这是上位概念;

“阳数就是奇数”——这是等价概念;

“阳数是与阴数相对的数”——这是平行概念;

“1、3、5、7等，就是阳数”——这是下位概念。哪一种介绍更高效？第二种，等价概念！等价概念其实就是它本身，名称不同而已。当然，不是所有的概念都有等价概念。除去等价概念以外，哪一个更好？上位概念和平行概念。有人可能认为“告诉他1、3、5、7”也很好，确实如此，但是这里有个前提：他的头脑里必须有“奇数”的概念，在别人说到1、3、5、7的时候，他就把奇数的概念提取出来。实际上，他“听到”的不是1、3、5、7这几个具体数，而是头脑中熟悉的一个“类”。反之，对于没有“奇数”概念的人，这样的学习效率是很低下的。

概念的分层可以让你在设计教学方案时有全局的分析，从而有开阔的视野。

五、概念教学四原则

（一）经验原则

并不是上位概念就更难理解，下位概念就更好理解。或者说，并不是“一般的”就比“特殊的”更难认识。比如，整数与质数，还是“一般的”整数比“特殊的”质数好认识;理想数更特殊，却更难认识。认识的难易程度决定于人们的生活经验，与人类感官最接近的东西是最容易认识的。尺寸上和人体大小比较接近的物体容易被认识，太大或太小都不容易。比如，太大的宇宙、太小的夸克就不好认识，而石头、树木很好认识;猪、马、牛、羊都好认识，细菌、病毒就不好认识。

常熟有位高中数学教师在教学斜率时，用了上虞山和下虞山所体会到的不同坡度——上山时有些路段是坡度较小的，有些路段是坡度较大的，有些路段则是平的;下山时也是。常熟的学生对此有真切的体验，或者说有生活的经验，經过比较轻度的抽象就可以形成数学上的斜率概念。这是非常值得称道的教学设计。

类似的设计还有通过站队讲排列组合、通过抓阄讲概率、通过旗杆讲线面垂直等，优秀课例很多。

即使是离生活很远的概念，在教学时也要尽量拉近它与生活的距离，从而降低抽象的梯度。比如苏教版高中数学必修一首先给出了映射的概念，而这个概念在其他地方没有用到过，以后也不再用，引入这个概念干什么？我认为，它的一个重要作用就是为理解函数提供更好的上位概念。难道映射比函数更好理解吗？是的。因为映射是用“集合”和“对应”来定义的，而我们太清楚了，“集合”和“对应”都是原始概念，是不需要定义却又在我们的经验之中的。如此，用直观、经验先建立一个上位概念，再用它统领更难理解的下位概念，可见教材处理确实高明。

（二）直观原则

讲一个我认识绞股蓝的故事——绞股蓝是一种植物，可以做成茶，有降血脂、护血管的功效，对中老年人有很大的保健作用。又因为它只生长在南方，因而被称为南方人参。苏州的野外就生长有很多的绞股蓝，你想不想认识它？

——如果你说“想”，那么我这个情境设置就是成功的。但是在我从北方初到苏州的时候，北方的朋友告诉我可以自己去采摘，但我却不认识绞股蓝。朋友就跟我说绞股蓝是××科、××属、××种，说得很详细、很准确，并且拍了照片发给我，可我还是不能认识它。后来他改变了方法说：拉拉秧你认识不？我说那太熟悉了。他就说：绞股蓝与拉拉秧几乎一模一样，就是没有那些小刺，因而不刺人。这样我一下子就在路边发现了好多绞股蓝植株，而且发现了好几个不同的品种，比如5叶的、7叶的、9叶的。朋友给我提供了一个平行概念“拉拉秧”，而且是非常形象、非常清晰的平行概念。而“××科、××属、××种”之类的，虽然是上位概念但是它不属于我，对我而言就没有意义。

最好的理解是形成直觉。事实上，我们的行为多数也是基于直觉，在生活中动用严密的逻辑思维的时候并不多。一方面，逻辑思维耗费太大的能量;另一方面，人需要快速反应，反应快的个体才能获得机会。

（三）归纳原则

归纳是学习的重要原则，但是不能将其当作教条。因为归纳代价太大，视野也太有限。

比如，我们追求“深刻而全面地认识世界”，“全面”需要依靠归纳，“深刻”就只能利用演绎了。归纳是综合性的，依赖经验，所至不远;演绎是解析性的，依靠逻辑，可到无限。苏格拉底说“一切的经验科学都是材料的奴隶”，而且，材料越多人所受的奴役就越大。丹麦天文学家第谷对星空做了一生的观测，积累了海量的数据，其精确度达到了人类视力的极限，但是，他只能把数据用以绘制更为精确的星图和星表，在理论上他基本没有建树。接替他的是开普勒，他高度近视、体弱多病，连起码的天文观测都不能做，但是他用数学的推演发现了行星运动三大定律，成为“太空立法者”。牛顿则更近一步，他把行星的运动与地面物体的运动放在一起，建构了更一般化的力学公理化体系，威力更大——开普勒用了十余年时间发现的行星周期律，牛顿只用5分钟就推演出来了。这就是演绎的力量！

当然，这不是要抛弃归纳，而是要时刻记得演绎是可选项之一。如果能将演绎与归纳并用，则毫无疑问要放弃纯粹的归纳。越是体系成熟的学科越是这样。越是到高年级的学习，越要这样。

（四）整体原则

这是庞加莱讲过的一个故事——教室里，先生对学生说“圆周是平面内到同一个定点的距离等于同一个常数的点的轨迹”，学生抄在笔记上，可是谁也不明白圆周是什么。于是，先生拿起粉笔在黑板上画了一个圆圈，学生立刻欢呼：“圆周就是圆圈啊，明白了。”整体认知的重要性由此可见。

圆的上位概念是“轨迹”，是否能用“轨迹”来教圆，要看学生头脑里有没有“轨迹”这个实在概念。

下面说一个盲人摸象的故事——盲人可以通过摸，知道象腿的高度和粗度、象牙的长度和硬度、象鼻的温度和柔软度、象耳朵的宽度和厚度等，但是，不论他们各自把局部属性认识到何等精细的程度，也不会形成正确的“大象”概念。以前我们认为那是因为盲人没能全面地掌握信息，现在看来这种说法不对。可以这样设想：如果这些盲人都非常善于表达，都把自己知道的精细感觉或数据全部转告同一个人——同样是一个盲人。也就是说，最后的那个盲人掌握了大象的各个部分的全部信息，并且那些信息都是准确无误的。试问：那个“全知的”盲人是否能形成对“大象”的正确认识？我认为不会。与之相反的是，我们远远地望见哪怕是很模糊的身影，就能认出大象来。即使我们没有去测量各种尺寸，没有去感受各种细节。

如果你要教孩子认识大象，一定是把他带到大象跟前说：“看，这就是大象。”实在不得已，也会指着大象图片这样教。而有了这个总体印象以后，再说鼻子、腿、耳朵等细节才有意义，这时，那些器官是作为“象的鼻子”“象的腿”“象的耳朵”被认识的。在教孩子认识大象的时候，没有人会从细节到整体——比如先盖住整个大象——一点一点地顺次介绍说：“看，这是腿;看，这是鼻子……”

这里，我们看到的以及你想向孩子呈现的都是一个东西：现象。从现象中，人的感官采集到了一个结构性的信息，大象的概念瞬间形成。教学就应该这样：给学生一个现象，学生通过自己的信息采集和加工形成认知。那样的知识就是实在的，也是可以牢固记忆的。

要特别说明的是，概念教学最初呈现的应该是正面例子，而不是反面例子。反面例子是用来辨析的，我以为，辨析必须在概念形成之后。就比如教孩子认识大象，先牵出一匹马说：“看，这不是大象。”——这是荒唐可笑的。但这恰恰又是从局部到整体的概念教学的常态，必须通过差异性识别、通过对比，来凸显自己所要的“本质属性”。而在整体原则之下，我们不可能这样做，这时就看出整体原则的好处了。

罗增儒教授说，“提供一类事物的不同例子，通过辨别，分化出各个例子的属性”，“再概括出各个例子的共同属性，进而提炼出本质属性”，我不认可。我认为罗教授所说的“不同例子”的最大作用在于形成整体印象，这是“整合”而不是“分化”。所提供的例子固然是不同的，但要照顾到它们的相同特征，从而容易归类。至于“各个例子的属性”，那是太多了，即使单就它们的公共部分来说，也是很多的。而对它们共有的“本质属性”的选择，首先需要一个“选择的标准”。但是，在概念建立起来之前，你的眼里是没有明确标准的，这时候，就必须要体验“类”的标准。就好像在满屋的美人中，你一眼就看到令你心动的那一位，说明她与你的审美标准最契合，如果你根本就没有审美标准，那看谁都一样。

六、概念教学设计

你看中国古代的数学书时不知道什么叫“圭窦”，但当别人说“就是抛物线”，便一下子明白了。同样地，“陶丘”就是双曲线。显然，从等价概念开始教学是最理想的（前提是有等价概念）。其次就是上位概念或平行概念，最次的是下位概念。孙子兵法云：“上计罚谋，其次伐交，再次伐兵，其下攻城。攻城之法为不得已。”对应来看，上位概念就是“谋”，平行概念就是“交”，下位概念就是“兵”和“城”。最幸运的情况是用等价概念进行教学，那就是“不战而屈人之兵”，属于“上之上者也”。

对于常态化的概念教学，按照优先次序列出的方案如表1所示。

对表中方案，有四点说明：（1）“最简单”和“最困难”是对同一个概念的学习而言的，不同的概念之间没有可比性。某一个概念，如果上位概念、等价概念、平行概念、下位概念都可以选，则通过等价概念来学习是最容易的，通过下位概念来学习是最困难的。（2）尽量找等价概念。很多概念没有等价概念，这时，要看看能否根据生活经验或直观感受临时建构一个，哪怕粗略地建构一个也行，如“椭圆就是压扁的圆”“等差数列就是这些（用手比画）差相等的数列”。不要害怕“不严谨”，因为几分钟后它就会严谨起来。教育形态本身就是一个生长的形态，而不是定型的形态。过程之中，就该给其生机、促其生长，这就是生态课堂的本质。（3）让学生通过归纳完成学习（比如用具体实例让学生发现“种差”或“种差之间的区别”）。归纳与演绎并用也是可以的，尽量避免纯演绎的方式，切忌“告知”。（4）用以归纳的“实例”一般不少于3个。有时可以让学生举例，有时则需要老师提供。通过一个例子就把意义提出来，那不是归纳，只能是老师告知、学生认可。

当然，并不是所有的概念学习都从上位概念或平行概念开始，因为还要考虑“两个概念间的心理距离”。有的概念，其最近的上位概念離它都很远，而某个下位概念却离它很近，用这个下位概念充当先行组织者就是合适的。

比如“任意角的三角函数”，它的上位概念是函数，但是不如“直角三角形中的三角函数”更近。

再如，“数列”概念的教学，怎样引入较好？用上位概念、下位概念还是平行概念？函数是它的上位概念，但是更抽象，距离有点远，不合适。再看看，“列”也是它的上位概念，用“列”来组织它就很好（“按次序排列的一列数”就等于说“数的列叫数列”）。“数”是它的下位概念，如果用其作为先行组织者也可以，但不如用“列”更直接。“列”揭示的是结构，数列恰需要从结构上来认识而不是从数上来认识。接下来，就要思考：什么叫“点列”？什么叫“函数列”？什么叫“三角形列”？——有了数列这个平行概念，再认识点列、函数列、三角形列就容易了。

一般说来，用偏正结构命名的概念，可以用上位概念引入，如正三角形、奇函数、等差数列等。但是，从上位概念学习下位概念，是从一般到特殊、从抽象到具体的推理，逻辑上是演绎的，这与“归纳式的教学路径”相反，怎么处理呢？有一个方法可以把演绎变为归纳。具体是这样的：“属”概念是学生已经掌握的，在这个前提下，学生需要完成意义建构的是“种差”，我们可以设计一种教学方式，让“种差”来自学生的归纳。这是完全可以做到的，而且“种差”的抽象度低于“属”概念，“种差”也比概念本身简单明了，其意义容易建构。这样的始自上位概念的教学，显然还是发现式教学。

七、概念教学的评价

在概念、原理、定理、方法、技巧等各项教学中，关于概念教学的评价是最被重视的，古今中外的论述也最多，在任何一本教学论专著中都可以找到，这里就不详细罗列了。下面谈两点自己的看法。

（一）严谨性的度

一个奇怪的现象是：在学习三角函数之前，学生会很自然地说出“周期性”这个词，如对太阳的运动、四季的更替、星期的周而复始等，他们会说那是“周期性重复的”。但是在学习了三角函数以后，学生反而不能自如地说出“周期性”这个词了。在提起“周期性”时，他们的头脑里闪现的就是“三角函数”及其周期公式T=2π/ω（正余弦）或T=π/ω（正切），而对于周期性本身失去了关注。

对小学生，如果你问长方形的面积是什么，他们会说“长乘宽”。三角形面积是“底乘高除以2”。而如果你拿来一个不规则图形（比如树叶），他们会说“这没有面积”。在学会了计算公式以后，他们已经把什么叫面积以及最初的“网格法估计面积”忘记了。

这是应该引起我们警惕的。爱因斯坦说：“概念是人类思维的自由创造。”怀特海说：“过分的严格化训练是有害的。”郑毓信说：“在教学中我们不应该提倡任何一种强制的统一，即，应当明确反对任何过分的规范或人为的约束。”

（二）最好的理解是形成直觉

概念的重要功能有两个：一是把一个对象以名词的形式固定下来。这个对象可能是一个具体的个体（个概念），也可能包含一类个体（类概念）。二是把一个思维过程凝聚成一个整体，在需要的时候能够整体再现。这里最重要的特征就是“整体性”。因此，概念的学习应当追求整体性认知，教学时最好从整体认知开始，到整体认知结束。最理想的教学，是讓学生形成对概念的直觉，使得在任何的环境中都能一眼就认出××或××类。如果遇到需要辨别的场合，还要去一项一项地分析条件，这样的学习是不合格的，它不可能带来流畅的思维。

也许你已经体会到了，概念学习的最高境界是形成对概念的直觉。

八、结语

概念教学应该始于学生的经验，遵循归纳的路径，但并不意味着只能从下位概念开始。让上位概念和平行概念充当先行组织者，实现对新概念的同化，倒是值得优先考虑的方法。而且，处理得好，可以不与归纳的路径相抵触。

所有学科，概念都是其中最重要的内容，概念教学是教学的重中之重，对它的研究永远没有终结之时。

参考文献：

[1] 罗增儒.数学概念的理解和教学[J].中学数学教学参考（上旬），2016（3）.

[2] 罗增儒.数学概念的理解和教学（续）[J].中学数学教学参考（上旬），2016（4）.

[3] 郑毓信.数学教育之动态[J].数学教育学报，2002（1）.

[4] 孙宝翠.智者的思路[M].上海：复旦大学出版社，1989.