概率统计在经济问题中的应用

张艳婷　姜永

摘   要：阐述了概率统计在经济问题中的应用原理和方法，运用实例介绍数学期望在求最大利润中的应用和De Movire-Laplace定理在抽样检查产品质量中的应用。希望能够让人们更深入地认识概率统计的本质，解决日常生活中的问题。

关键词：概率统计;数学期望;De Movire-Laplace定理;经济问题

概率统计作为研究随机现象数量规律的一门大学数学基础学科，在经济销售[1]、投资风险和管理决策[2]等方面都有所应用。如何把概率统计的理论知识应用到我们的实际生活中，是近几年的研究热点。

1    预备知识

1.1  概率的基本知识

1.1.1  概率的定义

实验中样本空间Ω只有有限个样本点数，并且每个样本点发生的可能性都相同[3]。若事件A出现的频率fn（A）随着试验次数n的增加稳定在某一常数P（0≤p≤1），则P为事件A发生的概率，记作P（A）=p。

它必须满足以下条件：

（1）规范性：P（Ω）=1;（2）非负性：对任意事件A都有P（A）≥0;（3）可列可加性：设Ak，k=1，2，…cos-1θ为互不相容事件，则

1.1.2  概率的意义

实验中是否发生随机事件是随机的，但随机性包含规律性：即随着实验次数的增加，随机事件发生的频率将越来越接近事件发生的概率。概率是定量反映随机事件发生概率的数学概念，是大量重复实验的统计规律。对于单个实验来说，不管是否发生随机事件，仍然是随机的。

1.2  数学期望的基本知识

1.2.1  数学期望的定义

定义1：设离散型随机变量X的概率分布为：，若级数绝对收敛，则称之為随机变量X的数学期望，记作：。

定义2：设连续型随机变量X的密度函数为f（x），若积分绝对收敛，则称之为随机变量X的数学期望，记为。

1.2.2  随机变量函数的数学期望

（1）若随机变量， Y=g（X），则。

（2）若随机变量X的密度函数为fX（x），Y=g（X），则。

（3）若随机变量（X，Y）～pij，Z=g（X，Y），则：

。

（4）若随机变量（X，Y）的联合密度函数为f（x，y），Z=g（X，Y），则

。

1.2.3  数学期望的性质

（1）线性：对任意a，b，c∈R及随机变量X，Y，若EX，EY存在，则：

E（aX+bY+c）=aEX+bEY+c

（2）若随机变量X与Y相互独立，且EX，EY存在，则EX（EY）=EX·EY。

1.2.4  数学期望的意义

研究随机变量总值的平均水平是概率统计中的一个重要数字特征，在实践中对抽象的数学模型进行分析，从而达到理解客观世界规律的目的，为进一步的决策分析提供准确的理论依据。

1.3  De Movire-Laplace定理及其意义

1.3.1  De Movire-Laplace定理

定理1：设随机变量ηn（n=1，2，…）服从参数为n，p（0

1.3.2  De Movire-Laplace定理的意义

De Movire-Laplace定理是中心极限定理的一种特殊形式。定理表明：当n→∞且p（0

2    概率统计在经济问题中的应用

2.1  数学期望在求最大利润中的应用

对于一个随机变量，如果我们知道它的概率分布，就可以对它进行全面分析。事实上，对于一些实际问题，对随机变量进行全面的描述是非常困难的。所以，有时候不需要知道随机变量的概率分布，只需通过一些数字特征就可以对问题进行考虑和分析。我们可以把研究的问题转换成计算数学期望值的简化问题，得到最优解。运用数学期望的思想和方法，巧妙地反映随机变量的一些重要数字特征，可以帮助我们从侧面分析计划，做出最佳策略。我们认为数学期望最大的策略为最佳策略，它可以帮助人们在复杂情况下从可能的解决问题的策略中做出选择和决策。因此，数学期望可以直接或间接地解决生活中的许多经济问题，成为人们作出经济策略时的重要依据。

在利用数学期望求解经济问题时，首先，要建立起问题要求的量与某一已知分布的随机变量之间的函数关系，这样就可以利用已知分布的量来求未知分布的量的数学期望，从而最终确定所求问题的解。接下来我们举例说明数学期望在求最大利润中的应用。

例1 ：假设某工厂生产正方体彩灯盒，该种正方体彩灯盒的边长X（mm）～N（μ，1），若边长X的范围为（150≤X≤152）是优质的彩灯盒，其余都为劣质的彩灯盒。已知销售利润Y（单位：元）与销售正方体彩灯盒的边长X有关，销售每个优质的彩灯盒获利30元，销售每个劣质的彩灯盒的亏损情况如下：

问：正方体彩灯盒的平均边长μ取何值时，销售一个该种正方体彩灯盒的平均利润最大？

解：由于X～N（μ，1），故X-μ～N（0，1），从而由题设条件知，平均利润为：

即：

化简得：

其中，Φ（x）为标准正态分布函数，设φ（x）为标准正态密度函数，则有：

即：

令，得到：

由此得

，此時。

所以当正方体彩灯盒的平均边长μ=μ0≈150.0 mm时，销售一个该种正方体彩灯盒的平均利润最大。

2.2  De Movire-Laplace定理在抽样检查产品质量的应用

抽样检查方式是国家在市场经济背景下对产品进行检查的主要方式。国家质检总局每年在对整个社会的经济形势做具体分析时，都采用抽样检查的方式对各行各业的发展情况进行调查，与对产品进行全面检查相比，抽样检查的方式具有准确度高、成本低、速度快、应用广泛等优点。产品质量抽样检查一般是指根据随机原理，从所有产品中抽取一部分产品，对产品质量问题进行检验，并用数理统计的思路和方法，通过产品选定部分的量化特征，对整个产品进行定量外推。

抽样方法的正确性是指抽样的代表性和随机性。代表性反映了所抽取的样品与全部产品质量的接近程度，而随机性则反映了要检查的所有产品中的某些单位产品被意外地抽取为样品，这是由随机因素决定的，想对全部产品质量状况有确切的了解。很明显，主观约束方式不能用来改善样本的表示，抽样应该是完全随机的 ，一般来说，只要不是有意识地提取出好的或坏的产品，而是尝试从全部产品的各个部分抽样，即可视为随机抽样。

经济问题需要运用概率统计的知识简化问题并对相关问题进行求解。De Movire-Laplace定理表明正态分布是二项分布的极限分布，当n充分大时，可以利用该定理来计算二项分布的概率。De Movire-Laplace定理为概率估计提供了极为有效的依据。在利用De Movire-Laplace定理求解经济问题的近似解时，二项分布X～B（n，p）可以看作是一个独立同分布Xi（i=0，1，2，…n）在0～1分布的和，即，其中：P（Xi=1）=p， P（Xi=0）=1-p。

例2：假设通过抽样的方式对某工厂生产的一批玩具质量进行检查，若抽查出来的不合格玩具数量超过5件则拒绝接受这批玩具。设这批玩具的不合格率为5%，问：至少应抽多少件玩具才能保证检查时拒绝接受这批玩具的概率达到95%？

解：设n为至少应抽的玩具数量，X为其中的不合格玩具数量，对独立同分布的Xi（i=0，1，2，…n），由De Movire-Laplace定理有：

即：

当n充分大时，，由题意知，即：

查表得，即n=50。

由分析可知，至少应抽样50件玩具才能保证检查时拒绝接受这批玩具的概率达到95%。

3    结语

从数学期望和De Movire-Laplace定理出发，详细介绍了概率统计在求最大利润和抽样检查产品质量中的应用。通过运用概率统计理论知识解决实际问题，体现了数学理论在现实生活中的重要性和有效性。

[参考文献]

[1]赵玉梅，梅   红，熊洪斌.概率论与数理统计在经济中的应用[J].合肥学院学报：综合版，2018（2）：123-126.

[2]龚友运.概率与统计在经济分析中的应用[J].大学教育，2016（10）：131-132.

[3]周概容.概率论与数理统计[M].南京：高等教育出版社，2009.

Application of probability statistics in economic problems

Zhang Yanting， Jiang Yong

（College of Computer and Information Sciences，  Fujian Agricultural and Forestry University， Fuzhou 350002， China）

Abstract：This paper expounds the principle and method of the application of probability statistics in economic problems， and introduces the application of mathematical expectation in finding the maximum profit and the application of De Movire-Laplace theorem in sampling inspection of product quality by using examples. It is hoped that people can understand the essence of probability statistics more deeply so as to solve the problems in daily life.

Key words：probability statistics; mathematical expectation; De Moire-Laplace theorem; economic problem