数学的奇偶性与勾股数

王建辉

我们先看这样一些数：3=4+5，3+4=5;5=12+13，5+12-=13。7=24+25，7+24=25……

不难发现，任何一个大于1的奇数的平方都可写成两个连续整数的和，则这三个数是一组勾股数.再如：9=40+41，且有9+40=41从而可得9、40、41是一组勾股数.

勾股数的这一性质是可以证明的。

证明：设给定的大于1的奇数为a，两个连续整数为n、n+1，且有a=n+（n+1），即a=2n+1.

∵（n+1）=n+2n+1=n+（2n+1）=n+a，即a+n=（n+1）.

∴a、n、n+1是一組勾股数.反之，若a、n、n+1是一组勾股数，则a=n+（n+1）.请同学们尝试证明此结论.

我们再看一些数：

……

不难发现，任何一个大于2的偶数的平方的一半都可写成两个相差2的整数的和，则这三个数是一组勾股数.再如：，且有10+24=26，从而可得10、24、26是一组勾股数.

勾股数的这一性质也可被证明.请同学们思考证明方法.

综上所述，对于任意大于2的整数（奇数成偶数）都可根据上述方法，很快得两个整数与之成为一组勾股数，这个任意大于2的整数通常作为三个整数中的最小一个.据此，我们可快速判断某个三角形是否是直角三角形，亦可由已知直角三角形的两边很快得出第三边.