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Lindley-Geometric分布相关性质的研究

2019-09-10田兵

田兵

摘 要:给出带有两个参数的混合分布—Lindley-Geometric分布(LG分布)的概率密度和失效率函数的单调性证明,同时给出了LG分布的Rényi熵和Shannon熵.

关键词:Lindley分布;Geometric分布;失效率函数;Rényi熵;Shannon熵

[中图分类号]0212.1   [文献标志码]J

The Researches about the Properties of LG Distribution

TIAN  Bing

(Faculty of Mathematics,Baotou Teachers College,Baotou 014030,China)

Abstract:The paper illustrates the prove of monotonicity about probability density and failure rate of LG distribution , presents its Rényi entropy and Shannon entropy.

Key words:Lindley distribution;Geometric distribution;failure rate;Rényi entropy; Shannon entropy

人们通常采用失效率研究对象寿命的概率分布. 王蓉华、徐晓岭、顾蓓青[1]介绍了失效率图形常见的特点. Adamidis K 和Loukas A S[2], Coskun Kus[3],Rasoo Tahmasbia 和 Sadegh Rezaeib[4]分别研究了EG 分布(指数-几何分布)、EP 分布(指数-泊松分布)和EL 分布(指数-对数几何分布). Ghitany等[5]研究Lindley分布诸多性质,并指出Lindley分布具有许多比指数分布还要灵活的性质.Hojjatollah Zakerzadeh, Eisa Mahmoudi[6]提出了一种新的带有两个参数的寿命分布——Lindley-Geometric分布(简记为LG分布),研究了其概率密度、矩、失效率函数、平均剩余寿命函数和Bonferroni and Lorenz 曲线以及概率加权矩等性质,给出了LG分布参数的极大似然估计的渐近方差——协方差阵.本文在文献[6]的基础上,给出了LG分布概率密度和失效率函数的单调性证明,同时给出了Rényi熵和Shannon熵.

1 LG分布的f(x,θ),h(x,θ)单调性

服从参数为p,β的LG分布的分布函数F(x)和概率密度分别为[6]

F(x,θ)=1-(1-p)[1+β x/(β+1)]eβ x-[1+β x/(β+1)]p,f(x,θ)=(1-p)β 2(x+1)eβ x(1+β)[eβ x-(1+β x/(β+1))p]2 .(1)

1.1 f(x,θ)单调性

对LG分布的f(x,θ)求导得

f′(x,θ)=(p-1)β 21+β·e β x[e β x(β x+β-1)+p(1+β 2(1+x)2)/(β+1)][e β x-(1+β x/(β+1))p]3.(2)

令M(x,θ)=e β x(β x+β-1)+p[1+β 2(1+x)2]/(β+1),有M′(x,θ)=β 2(1+x)[e β x+2p/(β+1)]>0,故A x∈[0,+∞),M(x,θ)严格单调递增. M(x,θ)=[(1+p)β 2+p-1]/(1+β).所以有:

若M(0,θ) ≥0,即β≥(1-p)/(1+p).由M′(x,θ)>0,M(+∞,θ)=+∞,故A x∈[0,+∞),M(x,θ) ≥0,进而可得f′(x,θ)<0,故此时f(x,θ)单调递减.

若M(0,θ) <0,即0<β<(1-p)/(1+p).此时M′(x,θ)>0,M(+∞,θ)=+∞,则

x0∈(+∞,θ),有M(x,θ) =0.可得A x∈[0,x0),有M(x,θ) <0,故f′(x,θ)≥0. A x∈[x0,+∞),有M(x,θ) ≥0,故f′(x,θ)<0.因此,f(x,θ)先单调递增后单调递减.

图1是LG分布在p=0.5;β=1/3,0.5,1,2时f(x,θ)的图形. 图1验证了上述结论.

1.2 LG分布的h(x,θ)的单调性

由(1)式可得LG分布的失效率函数及失效率函数的导数分别为

h(x,θ)=β 2e β x(1+x)[e β x-(1+βx/(β+1))p][β+1+β x].(3)

h′(x,θ)=β2e β x[e β x-p(1+β x/(β+1))(β 2(1+x)2+1)]/(β+1)2.(4)

令y1=e β x,y2=p[1+β x/(β+1)][β 2(1+x)2+1],N(x,θ)=y1-y2,则有:

A x∈[0,+∞),y1>0,y′1>0,y"1>0,y′2=pββ+1[1+β 2(1+x)2]+2β 2(1+x)1+β xβ+1>0,y2>0,y"2=p4β 3(x+1)β+1+2β 21+β xβ+1>0,limx→+∞y1y2=+∞,y1(0)=1,y2(0)=p(1+β 2).

所以A x∈[0,+∞),y1,y2均為严格单调递增且函数值恒为正的函数.当x趋于正无穷大,y1是比y2高阶无穷大.因此,可得如下结论:

(1)当y1(0)>y2(0),即0y2,N(x,θ)>0,h′(x,θ)>0.此时h(x,θ)严格单调递增.

(2)当y1(0)≤y2(0),即(1+β 2)-1≤p<1,则有c∈(0,+∞),N(c,θ)=y1(c)-y2(c)=0.因而A x∈[0,c),有y1

从图2可以发现:当(1+β 2)-1≤p<1, p=0.5,β=2;p=1/3;β=3时,h(x,θ)先单调递减之后单调递增.当0

2 Rényi和Shannon熵

Rényi和Shannon熵用来刻画随机变量X的不确定性、多样性.r阶Rényi熵的定义为

IR(r)=11-rlog∫+∞0fr(x)dx,r>0,r≠1.

LG分布的Rényi熵为

IR(r)=11-rlog∫+∞0(1-p)β 2β+1r(1+x)rdxeβ rx[1-(1+β x/(β+1))pe-β x]2r.(5)

由(1-z)-n=∑∞j=0Γ(n+j)zjΓ(n)j!,n≥1,z∈R,将(5)式的分母展开后代入得

IR(r)=11-rrlog(1-p)+log∑ri=0∑∞j=0∑jl=0

(2r+j-1)!CrjCjlβ2l+2r+i+1pj(i+l)!(2r-1)!(1+β)l+r(j+r)l+i+1j!.(6)

Shannon熵的定义为SEX=E[-log(f(X))]. LG分布的Shannon熵为

SEX=1n1+β(1-p)β 2-∑∞i=1(-1)i-1E(Xi)i-1-β E(X)+2∑∞j=1∑jl=0Cjlβl(1+β)-lpjj-1E(Xle-β jX).(7)

将E(Xk,θ)=∑∞n=1∑n-1i=0n(1-p)pn-1Cin-1[n(β+1)+k-i]Γ(n+k-i)(β+1)n-iβknn+k-i+1.

E(Xae-bX)=(1-p)∑∞j=0∑jl=0(j+1)Cljβ2+l(1+β)-l-1pj(a+l)![β(1+j)+b]a+l+11+a+l+1β(1+j)+b

代入(7)式可以计算LG分布的Shannon熵.

3 结论

当β≥(1-p)/(1+p)时,f(x,θ)单调递减;当0<β<(1-p)/(1+p)时,f(x,θ)先单调递增后单调递减. 当0<β<(1+β 2)-1,则h(x,θ)严格单调递增;当(1+β 2)-1≤p<1,则h(x,θ)先单调递减之后单调递增.  LG分布的Rényi,Shannon熵分别为公式(4)和公式(5).

参考文献

[1]王蓉华.一种新的寿命分布:三参数威布尔—泊松分布[J]. 统计与决策,2016(12):65-67.

[2]Adamidis K,LoukasA S. Lifetime distribution with decreasing failure rate[J]. Statistics Probability Letters,1998,39(1):35-42.

[3]Coskun Kus. A new lifetime distribution[J]. Computational Statistics Data Analysis,2007,51(9):4497-4509.

[4]Rasool Tahmasbia,Sadegh Rezaeib.A two-parameter lifetime distribution with decreasing failure rate[J]. Computational Statistics and Data Analysis,2008,52(8):3889-3901.

[5]Ghitany M E, Atieh B, Nadarajah S. Lindley Distribution and its Applications[J]. Mathematics and Computers in Simulation,2008(78):493-506.

[6]Hojjatollah Zakerzadeh, Eisa Mahmoudi. A new two parameter lifetime distribution: model and properties[J]. Computational Statistics and Data Analysis May,2014,10.

[7]趙文英,袁赫. 基于改进logistic模型的中国社会消费品零售总额预测[J]. 牡丹江师范学院学报:自然科学版,2018(4):15-18.

[8]胡文涛,张理,王子姣. 基于主成分分析法的中国进口贸易影响因素研究[J]. 牡丹江师范学院学报:自然科学版,2018(1):1-6.

编辑:吴楠