基于速度约束求导法补充加速度关系

摘 要：探讨采用速度约束求取加速度关系的方法，并给出其在典型题当中的应用.实践表明，该方法可以使问题得到一定简化，求解过程相对简单，不容易出错.

关键词：理论力学;刚体平面运动;动力学微分方程;速度约束

[中图分类号]O469    [文献标志码]A

Acceleration Equation Based on VelocityConstraint Derivative Method

LIU Yanbin

（School of Mechanics and Optoelectronic physics， Anhui University ofScience and Technology， Huainan  232001， China）

Abstract：Dynamics equation of rigid body in plane motion is the basic teaching Content of theoretical mechanics. For differential equation of the rigid body with constraints， the number of unknowns is more than the number of equations. Thus， it is need to supplement acceleration relation. Theoretical mechanics textbooks usually use the base point method to get the acceleration relationship. For points moving in a straight line， the method of calculating acceleration relation with velocity constraint is discussed and its application in typical problems is given. It is show that the method can simplify the problem to a certain extent， and the solving process is relatively simple， and it is not easy to make mistakes.

Key words：theoretical mechanics;planar motion of rigid body;dynamic differential equations;velocity constraints

剛体平面运动微分方程是理论力学课程中重点内容，亦是课程难点内容之一.做平面运动的刚体通常是受到理想约束，而理想约束反力是不能直接确定的，即刚体动力学微分方程的未知变量的个数超过方程的个数，需要补充加速度关系式.目前的教科书仅用基点法[1-3]补充加速度关系式.基点法的优点是物理概念清晰，通用性强，缺点是步骤复杂，需要列出投影方程.做平面运动的刚体均是具有速度约束的特殊质点系，对于做直线运动的点，加速度方向与速度方向均在一条直线上，故对速度约束方程求导可以直接得到加速度约束关系式.本文采用速度约束求一阶导数补充加速度关系式.对于一些理论力学习题，采用该方法会相对简单.

1 速度约束求取加速度

限制质点系速度的运动学条件称为速度约束.图1所示的平面运动刚体任意两点A和B均做直线运动，则每点的加速度和速度方向均在一条直线上，点A和B的速度关系式可以通过速度合成定理或者是速度瞬心等方法求出.

将点A和B的运动约束方程写为一般形式：f（νA，νb，θ，ω）.（1）

方程（1）只包含了点A和B的大小，不包含方向.当点A和B均做直线运动，即运动过程中点A和点B不存在法线加速度时，将方程（2）对时间t求导，可得：

fνA ν·A+fνB ν·B+fθ θ·+fω ω·=0.（2）

且aA=ν·A，aB=ν·B ，ω=θ·，α=ω·，所以（3）式可以写为：

fνA aA+fνB aB+fθ ω+fω α=0.（3）

（3）式即为做直线运动的点A和B的加速度约束方程.

2 应用举例

例1 如图2所示，长为l，质量为m的均匀质量杆AB，A端放在光滑的水平面上，B端系在绳索上.绳索为铅锤状态，系统初始时刻静止，杆AB与地面夹角为θ.若突然剪断绳索，求A端在瞬间所受到的地面约束反力.

问题分析 例题1是大多数教材的例题或者习题，在求解该例题时，教材均是采用基点法补充角加速度和质心加速度关系式.由动量守恒定理可知，质心C的运动轨迹始终垂直向下，故νC的速度向下，且νA的速度始终保持水平向右.所以在本题中，点A和点C均做直线运动，故满足本文所讨论的情况，可以采用速度约束求导法进行加速度分析.

解 杆AB的受力分析如图2（b） 所示.杆AB在水平方向不受力，由动量守恒定理可知，质心C的运动轨迹垂直向下，故νC的速度向下，且νA的速度水平向右，速度瞬心为P，如图所示.刚体平面运动的动力学微分方程为

ml212 α=FA2l.（4）

（a）（b）（c）图2 例1图示、受力分析及运动分析图

maC=mg-FA.（5）

式（4）和（5）有三个未知数，故需要补充加速度方程.由图2（c） 可知

ωABl2cosθ=νC（6）

由于A点和C点均做直线运动，对（6）式求导可得，

l2（ω·ABcos θ-ωABθ·sin θ）=ν·A.

（7）

且αAB=ω·AB，ωAB=-θ·.初始時刻ωAB=0，所以（7）式简化为

aA=l2αcosθ.（8）

由（4）（5）和（8）式可得：

FA=mg1+3cos2θ.（9）

讨论 从本题求解过程可以看出，加速度关系只需速度约束一步求导即可得到.教科书中通常需要画出加速度图，然后采用投影方程得到加速度关系，过程相对繁琐.

例2 如图3（a） 所示，匀质圆盘A的质量均为m，半径为r.绳的一端缠绕在圆盘A上，另一端固定，直线线段铅锤.不计摩擦求圆柱体A下落时的质心加速度.

问题分析 例题2在许多教材或习题集中出现.对于例题2，圆盘A的质心点始终做直线运动，故满足本文所讨论的情况，可以采用速度约束求导法进行加速度分析.

解 受力分析图如图3（b）所示.取圆盘A为研究对象，动力学微分方程为：

ma=mg-FT.（10）

Jα=FTr.（11）

在式（10）和（11）中，有3个未知数，故需要补充加速度方程.任一瞬时，速度约束满足：

ν=ω r.（12）

由于质心做直线运动，加速度与速度方向一致，对（12）式求导可得：

a=α r.（13）

a=2g3.（14）

讨论 目前许多教科书均是作为结论直接给出 （13）式，或是说采用基点法直接得到（13）式，没有详细过程.本文采用速度约束求导法得到（13）式，推导过程比较简单.

3 结论

对于做直线运动的点，速度约束求导法具有概念清晰、推导过程简洁的优点.与基点法相比，在刚体平面运动微分方程中，采用速度约束求导法补充的加速度关系，可以使问题得到一定简化，求解过程相对简单，不容易出错.利用速度约束求导法补充平面运动刚体的加速度关系会相对简单.

参考文献

[1]哈尔滨工业大学理论力学教研室. 理论力学（Ⅰ）[M].第8版. 北京：高等教育出版社，2016：276-279.

[2]洪嘉振，刘铸永，杨长俊. 理论力学[M].第4 版. 北京： 高等教育出版社，2015.235-237.

[3]陈奎孚. 理论力学精细辅导[M].北京：清华大学出版社，2018.302-312.

[4]刘延彬.非周期信号作用下非线性动力系统的响应[J].牡丹江师范学院学报：自然科学版，2018（2）：30-33.

[5]刘延彬，姜媛媛.求解强非线性振动方程的加权余量递推法[J].牡丹江师范学院学报：自然科学版，2017（3）：21-24.

编辑：吴楠