基于数学史的高中函数概念教学初探

李艳梅

摘要：传统的高中数学教材还是教学活动，都过分重视知识的呈现及逻辑的严密性而严重忽视了数学史的渗透和利用，以至“把火热的发明变成了冷冰冰的美丽”。这一现状随着新课改的深入推进已逐步得到改善，不仅新教材中各种形式的数学史材料亦丰富了很多，近些年基于数学史的高中数学教学亦日渐受到重视。文章基于作者的教学实践体会较为具体地探讨了基于数学史的高中函数概念教学，冀对相关教学工作者有所助益。

关键词：数学史;高中数学;函数概念教学;教学体会

本文拟结合笔者的教学实践体会，对基于数学史的高中函数概念教学进行较为具体的探讨，冀对相关教学工作者有所助益。

一、基于数学史进行函数概念教学的必要性简析

常言道：“读史使人明智。”数学概念的发展历史不仅有利于学生更容易、更精准和更深入地把握数学概念，更能向其揭示相关数学知识的产生、发展演变及其实际应用，从而为其带来多方面的启发，这在一定程度上是有利于其数学素养发展的。事实上，新课标对此亦有所强调，高中数学课程应能展现知识的发生、发展、形成和应用过程，教师的教学活动要能为学生提供深刻感受和体验的机会。因而在基于数学史的函数概念教学实施中，教师首先要能够通过查阅资料清晰简洁地呈现函数概念的发展演化过程，至少要做到心中有数。函数是十分抽象的概念，其产生产生至今已有数百年的历史，历经各代数学家的不断充分、改进和优化而日趋完善，但也正由于这种长期发展过程所带来的层次性以及天然的抽象性，使得学生不易全面深入地理解概念，以至缺乏用函数思想分析问题和解决问题的意识和能力，这就更突出了呈现函数概念发展过程即基于数学史教学的必要性。

二、基于数学史的高中函数教学基本步骤

（一）梳理清楚函数概念的发展演化过程

根据现有文献结果，十六世纪以前常量数学是数学研究领域的主体，具体的函数关系虽很常见，但尚无一般性的抽象概念。随着资本主义生产方式在欧洲的逐步确立，生产力科学技术快速发展，对数学的研究需求日益迫切。最早提出变量思想的是法国数学家笛卡尔，他在其《几何学》一文中称变量为“未知和未定的量”，并引入两个变量之间的相依关系，这可以说是函数概念的萌芽。

考证显示，函数这一名词最早由德国数学家莱布尼茨最先使用，时间大约是在十七世纪中期。但当时尚无一般性的函数定义，“函数”一词关系主要指一些具体的变量关系，这些关系都有其固定的表达式，且和曲线问题紧密相关，即表示任何一个随着曲线的点的变动而变化的量，直到该世纪下半叶一些数学家在此基础上经过一般化处理形成以下概念：“函数是这样一个量，它是从一些其他的量通过一系列代数运算而得到的。”

这样的函数概念虽已具备了一般性和抽象性，但实际上局限在了代数函数的范围，仍不具有普遍性。其后随着数学研究的广泛和深入，人们越来越多地接触到诸如指数函数、三角函数等代数函数范围以外的函数关系，于是数学家欧拉在原有基础上又提出了如下更为一般化的概念：“函数是指由一个变量与一些常量，通过任何方式（有限的或无限的）形成的解析表达式。”这一概念较原来为好，在十八世纪广为普及，但由于将概念局限在了解析表达式上，仍然不具有普遍性。直到十九世紀，人们开始摆脱解析表达式的限制，表述的重点逐渐往函数的本质属性靠近，其中以狄里克雷提出的函数概念最具代表性：“如果对于给定区间上的每一个x值都有唯一的一个y值与其对应，则y就是x的一个函数。”显而易见，这样的概念已接近于初中的函数概念。由于这一定义抓住了函数的本质属性，为理论研究和实际应用提供了便利，成为较为完善的真正具有现代意义上函数概念。

（二）结合实例由初中到高中逐步过渡

当函数概念的发展过程梳理到接近初中概念的阶段后，教师就可以很自然地引出初中函数的概念，再进一步过渡到高中函数概念，也就是最为“现代”函数概念。这样，就将函数概念发展与学生的认知起点有机结合起来，使学生从整体视角上了解函数概念的发展和演化，充分利用数学史帮助更好地掌握高中函数概念。

1、回顾初中函数概念

初中函数概念的形成基于在此之前的函数长期的发展和演化过程，这一点上文已有详细叙述，初中函数概念的表述侧重于突出变量观点，这是由学生在初中阶段的思维特征和认知水平所决定的，合乎于其从具体性形象性思维向抽象性逻辑性思维过渡的思维发展规律。初中函数概念的表述一般如下：在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定了一个x值，相应地就确定了唯一的一个y值，则我们就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。教师引导学生回顾初中函数概念时，可适当结合具体实例，如：“汽车进加油站加油，油价为7.19元/升，加油过程中，加油量和金额两个窗口的数字不断跳动，当加油量达到12升时停止跳动。如果设金额为y，加油量为x，则两者之间的数学关系式如何表示？”通过这样的一个简单而典型的实例，可以更好地使学生回忆并切实理解初中函数概念的内涵所在，同时也是一种思维预热，为接下来学习和掌握高中函数概念奠定有利基础。

2、引出高中函数概念

高中函数概念在初中概念的基础上引入了数集，突出“对应”，某种程度上更好地揭示了函数的本质。在回顾初中函数概念后，教师即接着结合简单而典型的案例引导学生分析和讨论两个案例的共同特点，

综上所述，本文基于笔者的教学实践体会，较为具体地探讨了基于数学史的高中函数概念教学。总而言之，要使学生的思维经历函数概念的发展演化过程，即从函数概念的最初产生到高中函数概念的自然引出，从而使学生的认知起点与函数概念发展有机结合，顺畅而切实深入地掌握函数概念的本质，这是基于数学史的函数概念教学的关键所在。

参考文献：

[1] 贾随军.函数概念的演变及其对高中函数教学的启示[J].课程.教材.教法，2018（7）：49-52.

[2] 何晓勤.基于数学史视角下“函数概念”的发展与教学启示[J].数学通讯，2017（24）：8-11.

（作者单位：南昌市洪都中学）