泰勒展开及其应用

王思鳗

摘 要：本篇论文首先介绍了泰勒公式的发展进程，再利用柯西中值定理对其进行验证，最后结合实际对其进行应用（如：近似估算函数值并估计误差，求待定式的极限，牛顿迭代法）

关键词：泰勒公式；柯西中值定理；牛顿迭代法；极限；函数

利用陌生的公式解答熟悉的题目，这是在数学中常见的现象。出于对简便的追求，人们发明各式各样的公式以更完美地解决疑难，泰勒公式则是为简化求极限、逼近函数应时而生的。那么这个伟大的公式是如何被发明、完善并且运用到实际的呢？

一、泰勒公式的发展

泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。早在1671年，詹姆斯·格雷高便发现它的特例——麦克劳林级数；1717年，泰勒以泰勒定理求解了数值方程；而后拉格朗日在1797年前最先提出带有余项的泰勒定理。

泰勒公式利用函数在某点信息来描述其附近的取值，即在函数平滑和已知某点的各阶导数值的条件下，用这些导数值构造多项式来近似表示函数在某点的邻域中的值，并能估算它与实际值的偏差。

二、泰勒公式的证明

定理：若函数 在包含 的某个闭区间 上具有 阶导数，且在开区间 上具有 阶导数，则对闭区间 上任意一点 ，成立下式：

，其中，等号后的多项式称为函数 在 处的泰勒展开式，剩余的 是泰勒公式的余项，其中 是 与 之间的某个值。

证明泰勒公式需要利用柯西中值定理，我们先对柯西中值定理进行说明并对其进行证明。

柯西微分中值定理是指若函数 和 在 上连续，在 內可导，且对于任意 都有 ，则在 内至少存在一点 ，使得 成立。

证明：令 。对 进行求导可以得到 。那么就有 。根据罗尔中值定理，也就是说在闭区间内，连续函数存在极值可以得到存在一点 使得 。整理式子可以得到 。即柯西中值定理得证。下面我们再来证明泰勒公式：

令 ]

则有 为泰勒公式的余项。

对t求导可得 。

再令 ， 。

又由柯西中值定理：

因此有

。

即 。自此泰勒定理得证。

事实上，我们可以看出来泰勒公式是对函数用多项式进行逼近。而对于数学而言，多项式的性质要比函数更容易探求，而通过泰勒开展之后，能够较好地用多项式拟合函数，从而获取一些函数的性质。

三、泰勒公式的应用

泰勒公式的应用主要有以下三种：

1.计算近似值并估计误差

在高中，我们学过自然对数e，但e的精确值是多少呢？人们又是如何得到的呢？众所周知，e是一个无限不循环小数，自然它的精确值无法求出，但我们可以运用泰勒公式无限逼近以得出它的估算值。

先对 进行泰勒展开 ，当 时 即 。

任意取一个n值，如取 时， ，

则误差 = ≈ 。

2.计算极限

对函数中的非线性函数进行泰勒展开，再代入自变量，即可逼近最值： 。

若使用洛必达法则： 。

当 时， 。

对比来看，后者求导次数多，运算较为复杂，并且每次需要确定洛必达法则的使用条件，虽说结果相同，但简易程度有目共睹。因此可以说，泰勒公式简化了极限的求法。

3.牛顿迭代法

牛顿迭代法是由牛顿提出的一种近似求解方程的方法，多數方程求精确根非常复杂，因此求近似根就显得极为重要。

而用牛顿迭代法解非线性方程，是把方程 线性化的方法。把 在 的某邻域内展开成泰勒级数，取其线性部分（泰勒展开前两项），令其等于0即 ，以此作为 的近似方程，解得 ，则可推出 。

四、总结

本文探究了泰勒公式，由代数学家精密推算，由种种公式原理严格推导，而由它衍生出的应用也不胜枚举。这使我明白：在数学里，每一次定律的发现都能带来飞跃般的发展，但每一项成果的取得都来之不易，这需要探索精神、理性思维和网技术手段的结合。因此，在生活中保持一颗善于观察、勇于探索、敢于坚持的心是至关重要的。

参考文献：

[1] 伍胜健. 北京大学数学教学系列丛书：数学分析（第一册）[M]. 北京大学出版社，2015.