一个有趣的概率问题

钱禹任

众所周知，概率论的起源是对赌博问题的研究.早在16世纪，就有人开始研究扔硬币，掷骰子等相关问题，经过多年来许多数学家的研究，使之逐步发展成一门严谨的学科.由于本人一直对概率论的相关问题非常感兴趣，利用课余时间，看了一些概率论相关的书籍，发现了一个有趣的問题，与大家分享。

一、问题提出

问题：下边有四颗骰子（图示为正方体的展开图），分别用A、B、C、D来表示。庄家让你先选择一颗你自己认为最好的骰子，然后庄家再从剩下的三颗骰子中选一个。抛掷各自所选的骰子后，谁掷出的数字大，谁就赢了。那么，你应该选哪颗骰子赢面会比较大呢？

二、问题分析

从直观上看，如果只投一次每个骰子都有赢的机会，所以我们要比较的不是投一次的结果，而是甲骰子能赢乙骰子的概率，如果大于1/2，我们就认为甲骰子比乙骰子强，那么问题就转化为是不是有一个骰子比其余三个都强呢？让我们分别来计算一下。

A与B：由于B的六个数都一样，而A有四个数比B大，所以A赢B的概率为2/3。

A与C：A想赢C必须A投出4（概率为2/3）的条件下C投出2（概率为2/3），A赢C的概率为4/9。

A与D：A想赢D必须A投出4（概率为2/3）的条件下D投出1（概率为1/2），A赢C的概率为1/3。

B与C：由于B的六个数都一样，而C有四个数比B小，所以B赢C的概率为2/3。

B与D：由于B的六个数都一样，而D有三个数比B小，所以B赢D的概率为1/2。

C与D：当C投出6，必然赢D（概率为1/3），当C投出2（概率为2/3），此时D投出1（概率为1/2），C才能赢，所以C赢D的概率为2/3。

如果我们用符号“>”来表示骰子的强弱，通过上述计算，我们可以发现两个“循环”结构（A-B-C与A-B-C-D）：

A>B， B>C， C>A，C>D， D>A

显然，无论我们挑选哪个骰子，你会发现都有别的骰子赢面比你选的骰子大，也就是说这四个骰子中并没有一个能赢过其它三个骰子，这个游戏怎么玩先选的一方都是会输的。

曾经在一次宴会上，股神巴菲特尝试和他的朋友玩这个游戏，而这位朋友正是比尔盖茨，后者察言观色觉得股神没安好心，仔细一算相互的概率发现果然有陷阱……结局是两人相视大笑。

三、数学原理

为什么会出现这种现象，我百思不得其解.因为在数学中，比较运算是有传递性的。如果两个实数A>B，且B>C，那么一定有A>C。经过与老师的交流和上网查询，发现这种现象被称为“非传递性骰子”，有点像我们经常玩的游戏“石头剪刀布”，可能会形成循环。

事实上在很多生活常识和数学概念中，传递性都是不成立的。

比如直线a和b共面，b和c共面，而a和c就不一定共面;

比如直线a和b垂直，b和c垂直，而a和c就不一定垂直;

比如生活中，甲认识乙，乙认识丙，甲也不一定认识丙;

上述这样的例子还有很多。

我们遇到的“非传递性骰子”现象正是一个不具有传递性的数学事实，我们只是计算了其中两个的胜负关系，用概率这一数字结果表现了出来，给人的感觉上好像有大小也就是传递关系，其实骰子A与B，B与C算出来的概率完全没有可比性，也就是说二者之间是有胜负关系，但是三个放在一起是没有必然的强弱关系的。

比如足球比赛也常常是这样.即使A队必胜B队，B队必胜C队，也不能由此推断A队就能必胜C队，因为这里也是一样，前面两个的胜负关系与第三场A与C的胜负是没有必然关系的。

四、等价关系

经过查阅相关书籍资料，我找到了一个与传递性有关的数学概念——等价关系。

定义：设是集合上的一个二元关系（记作“”），若满足：

自反性：.

对称性：.

传递性：.

則称是定义在上的一个等价关系。与中一个元素有关系的所有元素的集合叫做的等价类。

比如三角形的相似关系就是一个等价关系，与某一个给定三角形相似的所有三角形就构成了一个等价类;再比如，直线的平行关系就不是一个等价关系，因为自身和自身并不平行，所以不满足自反性，等价关系是数学中的一种特殊的关系，实际上由等价关系出发，可以将集合划分成很多互不相同的等价类，完成对集合的一种划分，这也是分类思想在数学中的具体体现。

比如我们可以将整数中所有用3除余数相同的数看成一类，也就是说，我们将等价关系定义成只要两个整数的差能被3整除，它们就是等价的。这样一来，整个整数集合可以被划分成3类，我们称为同余类。这三类中各有一个代表元：0，1，2.比如0所代表的这一类，也就是能被3整除的所有整数，由于传递性，它们不仅都和0是等价的，互相也是等价的。这样一来，所有能被3整除的整数可以看成是“一个”元素0。同理，1和2就代表了被3整除余数分别为1和2的另外两类所有整数。据说高斯在研究数论的时候就用了同余类，非常著名的中国剩余定理也和这个有关。

老师告诉我，由等价关系出发，近代数学里还研究了所谓群环域等概念，也就是更加复杂抽象的数学结构了……真的是学海无涯，这也有待我以后大学生涯的求索吧。

参考文献：

[1]叶军.《如此“有序”？——从“不可递”骰子说开去》[J].初中生数学学习，2004（04）.

[2]谈祥柏.《神奇的骰子》[J].初中生数学学习，1997（09）.

[3]维基百科.（词条：等价关系，等价类）