一类特殊数列通项模型的探究与应用

摘 要：函数可以作为了解事物变化规律的数学模型，而数列作为离散函数模型，《普通高中数学课程标准》指出，一方面，要培养学生从实际问题抽象出数列模型的能力，另一方面，特别指出“要体现数列是一种特殊的函数，通过列表、图像、通项公式表示数列，将数列融入函数中去”.学习数列可以培养学生的数学建模能力，另外其独特的递推关系又可以培养学生的数学抽象、直观想象与逻辑推理能力.人民教育出版社A版《普通高中课程标准实验教科书·數学5（必修）》（以下统称“教材”）对等差数列、等比数列通项模型做了很好的研究.教材中还有一些更复杂的递推数列，如二阶线性递推数列，其通项也有模型.下面文章先给出二阶线性递推数列的定义，然后由浅入深地探究二阶线性递推数列的通项模型，并进一步探究该模型的应用，最后指出二阶线性递推数列通项模型是一个通用模型，运用该模型可以将等差数列、等比数列前n项和，等差乘等比数列（以下简称等比差数列）前n项和，“an=pan-1+q”型数列、斐波那契数列通项一一表示出来.

关键词：递推数列;通项模型;应用

五、二阶线性递推数列通项模型探究的教学建议与思考

1.教学建议

数列通项问题是近年高考中的基本问题，具有较高的选拔与甄别功能，要求学生具有较强的运算求解能力和观察分析、抽象与概括、归纳与演绎等数学能力.通过前面讨论，等差数列、“an=pan-1+q（p，q≠0，n≥2）”型数列、斐波那契数列、等比差数列都是二阶线性递推数列;等比差数列前n项和是三阶线性递推数列.学生掌握该模型后，教师要引领学生用该模型对上述数列进行深入探究，要立足教材，探寻活水源头，充分挖掘教材中的素材.

另外，教师不能脱离学生的内心感受，让学生在追求知识的过程中获得丰富的情感体验.因此，在教学中，要创设一些教学情境，以教材中的斐波那契数列为例，先激发学生对二阶线性递推数列通项的学习兴趣，进而再创设一些由易到难的问题串，通过这些问题引导学生主动去发现、去探究一个具体的二阶线性递推数列通项的求法，最后将其推广到一般的二阶线性递推数列中去.在这个过程中，学生的地位得到了充分的发挥，极大提高了学习递推数列的兴趣，也提高了他们知识迁移能力和分析探究能力.

2.教学思考

教学中，教师不要把“二阶线性递推数列通项模型”作为一个解题武器直接抛给学生，而是通过一系列有梯度的问题串，由特殊到一般来引导学生探究该类数列通项的求法.这就使得虽然二阶线性递推数列模型比较巧妙和独特，但是这一方法并不是直接从天上掉下来的，而是通过合情推理和归纳得到的.

教师在教学中不仅要总结方法，更要总结通法.教师教会学生一些简单的数学问题以后，为解决更加复杂的问题，需要把一些问题高度抽象，建立一个通用的数学模型，使问题变得更加简单.而二阶线性递推数列通项模型就是一个通用模型，它是上述数列通项模型的纽带，它能够将等差数列、等比数列、等比差数列的通项表示出来，这也是探究二阶线性递推数列通项模型的重要原因之一.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]高成龙.等比差数列前n项和的探究与应用[J].中国数学教育，2018（10）：55-58.

[3]晁丰成.由斐波那契数列的通项公式说起[J].中国数学教育，2018（12）：46-48.

[4]高成龙.线性递推数列通项的探究[D].首都师范大学，2015.