函数思想在数列中的应用举例

夏婧

摘   要：在数列教学中渗透函数思想对于教学和实际生活应用意义重大，对函数思想在数列中的应用进行举例，方便学生加深对数列的理解和认识。

关键词：数列;函数思想;相互关系

数列是按一定次序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为自然数集N（或它的有限子集{1， 2…， n}）的函数f（n），當自变量n从1开始依次取自然数时，所对应的一列函数值f（1）， f（2），…，f（n）通常用an代替f（n）。于是数列的一般形式如a1， a2…，an，简记为{an}。其中an是数列{an}的第n项，也叫通项。因此数列是一种特殊的函数，我们经常求的数列的通项公式实际上即求数列{an}的第n项与项数n之间的函数关系式。

1    函数思想在等差数列中的应用

在等差数列中，已知任意两项，就可确定任何一项，例如已知a3=5，a5=9，求a10，最常用的方法就是解方程组，求出a1和d。这是因为等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d=dn+（a1-d）是关于n的一个不超过一次的函数。当d≠0时，an是关于n的一次函数，而一次函数，只需两个系数就可以确定，当d=0时，an=a1，an是关于n的一个常函数。另一方面，如果an=cn+d，则{an}一定是等差数列，因此等差数列是一系列分布在一条直线上的离散的点。等差数列的前n项和Sn=na1+=n，当d≠0时，此式可看作二次项系数为，常数项为0的二次函数，其图像为抛物线y=上离散的点，因此，由二次函数的性质可以求出Sn最大值（或最小值）。

2    函数思想在等比数列中的应用

等比数列的通项公式是an =aqn-1，由于它可以变形为，而中各项所表示的点离散地分布在第一象限或第四象限，当q>0时，这些点在曲线上，（即y=cqx，这里为不等于0的常数）。等比数列的前n项和，当q>0且q≠1时，{Sn}所表示的点在曲线y=b-bqn（这里为不等于0的常数）上，具有类似指数函数式的结构特征，很快能够得出：若一个数列{an}的前n项和Sn=b（1-qn），则{an}一定为等比数列。

3    函数思想在求数列最大、最小项中的应用

在数列{an}中，不等式an>an+1的解集是使数列{an}单调递减的n的取值范围，不等式an≥an-1的解集是使数列{an}单调递增的n的取值范围，因此an≥an+1且an≥an-1的解集是使an取最大值时n的值，因此，求数列的最大项或最小项通常利用函数单调性去求解。例3：已知数列{an}的通项公式，求此数列的最值。

4    函数思想在数列间相互关系中的体现

在研究某些数列的相互关系时，也经常用到函数的观点，尤其是将非等差、等比数列转化为等差、等比数列。

5    结语

函数思想在数列中有着广泛的应用，在平常教学中不断渗透函数思想，不仅使学生对数列本质有深刻的认识，也能进一步加深对函数的理解。