中点预不变凸函数是(0,1)∩Q－预不变凸的

陈丽娟 旷华武 杨光惠

摘 要：应用凸分析基本理论，在条件C之下，研究了中间点预不变凸函数的性质，证明了中间点预不变凸函数是（0，1）∩Q-预不变凸的。特别地，中点预不变凸函数是（0，1）∩Q-预不变凸的。最后，讨论了所获结果在多目标规划中的一些应用。

关键词：预不变凸函数; 中间点预不变凸函数; 近似凸集; 多目标优化

中图分类号：O221

文献标识码： A

集合与函数或映射的凸性或广义凸性在数学中有重要应用，例如：在最优化理论研究中，常常利用目标函数等的凸性或广义凸性获得最优解所满足的必要条件或者充分条件[1，2]。作为凸函数的推广，预不变凸函数是一类重要的广义凸函数，杨新民等在专著[2]中对其性质、判别准则、在优化中的应用等作了较详细的论述。事实上，1985年，用来定义预不变凸函数的不等式已经出现[3]。1988年，WEIR和MOND[4]采用Jeyakumar的建议将满足该不等式的函数正式命名为预不变凸函数。

受文献[5-8]的启发，本文提出并证明了中点预不变凸函数对应集合的一个新性质：中点预不变凸函数是（0，1）∩Q-预不变凸的。最后，讨论所获结果在极小化问题和多目标规划问题中的应用。

定义1[3] 设η：Rn×Rn→Rn，SRn，如果y+λη（x，y）∈S，x，y∈S，λ∈[0，1]，称S是不变凸集。

定义2[3，4] 设SRn是不变凸集，f：S→R1，如果对x，y∈S，λ∈[0，1]，成立f（y+λη（x，y））≤λf（x）+（1-λ）f（y），称f（x）是预不变凸函数。

当η（x，y）=x-y时，不变凸集就是凸集，预不变凸函数就是凸函数。

注意到对凸集与凸函数，如果存在α∈（0，1）使：

fy+α（x-y）≤αf（x）+（1-α）f（y），x，y∈S。

那么由文献[5]知（0，1）∩QTc（Q为有理数集）， 其中：

Tc={t∈（0，1）fy+t（x-y）

≤tf（x）+（1-t）f（y），x，y∈S}。

本文主要目的就是证明以上结果对预不变凸函数也是成立的，即，如果S是Rn中的不变凸集，f：S→R1，且存在α∈（0，1）使：

fy+αη（x，y）≤αf（x）+（1-α）f（y），x，y∈S。

那么本文将证明（0，1）∩QT，其中：

T=t∈（0，1）fy+tη（x，y）≤tf（x）+（1-t）f（y），x，y∈S。

1 主要结果

除非特别说明， 以下总设S是Rn中的不变凸集， η：Rn×Rn→Rn，f：S→R1，T与Tc如上述所定义。

研究中发现，用来证明（0，1）∩QTc的方法不能类比到预不变凸函数的情形。 这主要是因为凸集与不变凸集的几何性质等有许多不同之处，例如： 当S是凸集时，对S中的点x与y及任意λ∈（0，1），凸组合y+λ（x-y）可表示为x+（1-λ）y-x，具有某种对称性。但是S是不变凸集时，y+λη（x，y）不一定可表示为x+（1-λ）η（y，x）。事实上，若相等， 令λ→1-， 必有η（x，y）=x-y，S实际上是凸集。再如：当S是凸集时，任一系数是有理数的凸组合nmx+m-nmy（m>n， 互质，正整数）可转化成m个点{x，x，…，x，y，…，y}的“算术平均”组合，即：

nmx+m-nmy=1mx+1mx+…+1mx+1my+…+1my。

但是当S是不变凸集时，组合形式y+nmη（x，y）不具有类似的表达式。

基于以上原因，为了证明（0，1）∩QT，本文将采取一些新的方法：结合文献[6]中一些新结果，即T集合对应的函数具有对称性和中点凸性，对T中的有限个点，作若干技巧性较高的组合运算，使其运算结果仍在T中，由此完成对（0，1）∩QT的证明。

定义3[7] 设SRn，如果α∈（0，1），使得对x，y∈S，成立αx+（1-α）y∈S，则称S是近似凸集。

条件C[2，8] 设η：Rn×Rn→Rn，称η满足条件C，如果x，y∈S，λ∈[0，1]，以下两个恒等式成立：

C1 ηy，y+λη（x，y）=-λη（x，y）， C2 ηx，y+λη（x，y）=（1-λ）η（x，y）。

由條件C，可以证明下式成立（见[2]定理5.2.4， [9]性质2.2.1，或者根据[10]中定理2的方法，还可参阅[11，12]）：

η（y+λ1η（x，y），y+λ2η（x，y））=（λ1-λ2）η（x，y），x，y∈S，λ1，λ2∈[0，1]。

引理1 设η满足条件C，T≠， 则：

（1） T是近似凸集;

（2）λ∈T，有1-λ∈T;

（3）λ1∈T，λ2∈T，有λ1λ2∈T;

（4）k2n∈T，1≤k≤2n-1，n=1，2，3，……

证明：结论（1）见参考文献[6]，结论（2）见参考文献[13]。

结论（3）λ1，λ2∈T， 由条件C，

f（y+λ1λ2η（x，y））=f（y+λ1η（y+λ2η（x，y），y））

≤λ1fy+λ2η（x，y）+1-λ1f（y）

≤λ1λ2f（x）+λ1（1-λ2）f（y）+（1-λ1）f（y）

=λ1λ2f（x）+1-λ1λ2f（y）。

因此，得到λ1λ2∈T。

结论（4）由[6]中定理3知12∈T，由已证明的结论（3）知12·12=14∈T，类推12n∈T，n=1，2，…。下面用数学归纳法证明k2n∈T，k=1，2，…，2n-1，n=1，2，3…。

当n=1时，由[6]知12∈T;

当n=2时，由14∈T，应用结论（2）得34=1-14∈T，从而14，24，34∈T;

假设n=m时，结论成立， 即12m，22m，32m，……，2m-12m∈T。

下证k2m+1∈T，1≤k≤2m+1-1。事实上，当k=1时，由前证显然12m+1∈T;当1≤k≤2m-1时，根据已经证明的结论（3）以及归纳假设，有k2m+1=12×k2m∈T; 当2m-1<k≤2m+1-1时，因为1-k2m+1=2m+1-k2m+1，且此时1<2m+1-k≤2m-1，所以可得到2m+1-k2m+1∈T。再根据结论（2）知k2m+1=1-（1-k2m+1）∈T，因此k2m+1∈T，1≤k≤2m+1-1。

引理2 设η满足条件C，T≠，则

k=λ3λ2λ3λ2+1-λ31-λ1∈T，λ1，λ2，λ3∈T。

证明：显然k∈（0，1）且满足，

λ1k+λ3k+1-kλ2-λ1k=k。

x，y∈S，由[6]中引理1知f（y+η（x，y））≤f（x）。注意到λ1，λ2，λ3∈T，得到：

f（y+kη（x，y））

=f（y+（λ1k+λ3（（k+λ2（1-k））-λ1k））η（x，y））

=f（y+λ1kη（x，y）+λ3η（y+（k+λ2（1-k））η（x，y），y+λ1kη（x，y）））

≤λ3f（y+（k+λ2（1-k））η（x，y））+（1-λ3）f（y+λ1kη（x，y））

=λ3f（y+kη（x，y）+λ2η（y+η（x，y），y+kη（x，y）））+（1-λ3）f（y+λ1η（y+kη（x，y），y））

≤λ3（λ2f（y+η（x，y））+（1-λ2）f（y+kη（x，y）））+（1-λ3）（λ1f（y+kη（x，y））+（1-λ1）f（y））

≤λ2λ3f（x）+（λ3（1-λ2）+（1-λ3）λ1）f（y+kη（x，y））+（1-λ1）（1-λ3）f（y）

=λ2λ3f（x）+λ3（1-λ2）f（y+kη（x，y））+（1-λ3）λ1f（y+kη（x，y））+（1-λ1）（1-λ3）f（y），因此，得到：

（λ2λ3+（1-λ1）（1-λ3））f（y+kη（x，y））≤λ2λ3f（x）+（1-λ1）（1-λ3）f（y）。

即，

f（y+kη（x，y））≤λ2λ3λ2λ3+（1-λ1）（1-λ3）f（x）+（1-λ1）（1-λ3）λ2λ3+（1-λ1）（1-λ3）f（y），

也就是f（y+kη（x，y））≤kf（x）+（1-k）f（y），這说明k=λ3λ2λ3λ2+（1-λ3）（1-λ1）∈T。

定理1 设η满足条件C，T≠，则（0，1）∩QT。

证明： 由引理1与引理2，当λ3=12∈T时，k=λ2λ2+1-λ1∈T，λ1，λ2∈T。对任意nm∈Q∩（0，1），不妨设正整数m，n互质。取λ2=n2p，λ1=2p-m-n2p，其中正整数p充分大，比如p=m+n，则λ1∈T，λ2∈T，λ2λ2+1-λ1=n2pn2p+m-n2p=nm∈T。 因此， Q∩（0，1）T。

根据参考文献[9]，若存在α∈（0，1），使：

fy+αη（x，y）≤αf（x）+（1-α）f（y），x，y∈S，

则称f（x）在S上关于η是α-预不变凸的，简称f（x）是中间点预不变凸的。当α=12， 简称f（x）是中点预不变凸的。由引理1，中间点预不变凸函数一定是中点预不变凸的。因此本文的主要结果可以简述为： 中点预不变凸函数是（0，1）∩Q-预不变凸的。

下例表明： 当η不满足条件C时，T≠不能保证（0，1）∩QT。因此，条件C是保证（0，1）∩QT的一个必要条件。

例1 设S=-12，12，定义η：S×S→R（已限制在S×S）为：

η（x，y）=-3y，x∈-12，12，y∈-14，14， 0，x∈-12，12，y∈-12，-14∪14，12。

定义f：S→R1为：

f（x）=12，x∈-14，0∪0，14，-12，x∈-12，-14∪14，12∪{0}。

则13∈T，23T。

证明：

由定义知S关于η是不变凸集，由η-14，-14=34≠0知条件C不成立。

注意到：

y+13η（x，y）

=0，x∈-12，12，y∈-14，14，y，x∈-12，12，y∈-12，-14∪14，12。

易知13∈T。

取x=0，y=-18，得到f y+23η（x，y）=f 18=12>-16=23f（x）+13f（y）， 因此23T。

在引理2中，考虑了T中的三个点，应用相似方法，考虑T中的n个点，可以得到下面的定理2。注意到：定理1表明当η满足条件C时，只要存在一个α∈T，不管α是无理数还是有理数，那么必定成立（0，1）∩QT。定理2表明，当α是无理数时，不仅（0，1）∩QT，而且T中还有某些特殊形式的无理数。因此，定理2既不是引理2，也不是定理1的重复叙述或推论。

定理2 设η满足条件C，s1，s2，…，sn∈T，则t1，t2，…，tn∈T，其中，

ti=∑nj=is1s2…sj∏n-jk=11-sk+j∏nk=11-sk+∑nj=1s1s2…sj∏n-jk=11-sk+j∈T，i=1，2，…n。

即，

t1=s11-s21-s3…1-sn+s1s21-s3…1-sn+……+s1s2s3…sn1-s11-s21-s3…1-sn+s1（1-s2）1-s3…1-sn+……+s1s2s3…sn，t2=s1s21-s3…1-sn+s1s2s31-s4…1-sn+……+s1s2s3…sn1-s11-s21-s3…1-sn+s1（1-s2）1-s3…1-sn+……+s1s2s3…sn，……tn=s1s2s3…sn1-s11-s21-s3…1-sn+s1（1-s2）1-s3…1-sn+……+s1s2s3…sn。

证明：

首先，由t1，t2，…，tn表达式知（i）：

t1=s1+（1-s1）t2，

ti=siti-1+（1-si）ti+1，i=2，3，…，n-1，

tn=sntn-1.

（i）

将（i）改写成（ii）：

t1=t2+s1（1-t2），

ti=ti+1+si（ti-1-ti+1），i=2，3，…，n-1，

tn=0+sn（tn-1-0）.（ii）

fy+t1η（x，y）≤s1f（x）+1-s1fy+t2η（x，y），fy+t2η（x，y）≤s2fy+t1η（x，y）+1-s2fy+t3η（x，y），fy+t3η（x，y）≤s3fy+t2η（x，y）+1-s3fy+t4η（x，y），……fy+tn-2η（x，y）≤sn-2fy+tn-3η（x，y）+1-sn-2fy+tn-1η（x，y），fy+tn-1η（x，y）≤sn-1fy+tn-2η（x，y）+1-sn-1fy+tnη（x，y），fy+tnη（x，y）≤snfy+tn-1η（x，y）+1-snf（y）. （iii）

其次，利用y+tiη（x，y）=y+ti+1η（x，y）+siηy+ti-1η（x，y），y+ti+1η（x，y），得到（iii）：

最后，证明f（y+tiη（x，y））≤tif（x）+（1-ti）f（y）， 从而ti∈T，i=1，2，…，n。

事实上，将（iii）中不等式依次称第1，第2，……，第n不等式。将第n不等式，即：

f（y+tnη（x，y））≤snf（y+tn-1η（x，y））+（1-sn）f（y）。

代入第n-1不等式，得到：

fy+tn-1η（x，y）≤sn-1fy+tn-2η（x，y）+1-sn-1snfy+tn-1η（x，y）+1-snf（y）。化简后，有：

（sn-1sn+sn-1（1-sn）+（1-sn-1）（1-sn））f（y+tn-1η（x，y））≤（sn-1sn+sn-1（1-sn））f（y+tn-2η（x，y））+（1-sn-1）（1-sn）f（y）。

利用此不等式及第（n-2）不等式，得：

（sn-2sn-1sn+sn-2sn-1（1-sn）+sn-2（1-sn-1）（1-sn）+（1-sn-2）（1-sn-1）（1-sn））f（y+tn-2η（x，y））

≤（sn-2sn-1sn+sn-2sn-1（1-sn）+sn-2（1-sn-1）（1-sn））f（y+tn-3η（x，y））+（1-sn-2）（1-sn-1）（1-sn）f（y）。

記：

An=sn，An-1=sn-1sn+sn-11-sn，An-2=sn-2sn-1sn+sn-2sn-11-sn+sn-21-sn-11-sn，……A2=s2s3…sn+s2s3…sn-11-sn+s2s3…sn-21-sn-11-sn+…+s2（1-s3）（1-s4）…（1-sn），A1=s1s2s3…sn+s1s2…sn-11-sn+s1s2…sn-21-sn-11-sn+…+s1（1-s2）（1-s3）（1-s4）…（1-sn）。

应用（iii）中的n个不等式，像上面那样作倒序迭代，有：

fy+tnη（x，y）≤Anfy+tn-1η（x，y）+1-snf（y），An-1+1-sn-11-snfy+tn-1η（x，y）≤An-1fy+tn-2η（x，y）+1-sn-11-snf（y），An-2+1-sn-21-sn-11-snfy+tn-2η（x，y）≤An-2fy+tn-3η（x，y）

+1-sn-2 1-sn-1

1-snf（y），

……A2+1-s21-s3…1-snfy+t2η（x，y）≤A2fy+t1η（x，y）+1-s21-s3

……1-snf（y），A1+1-s11-s2…1-snfy+t1η（x，y）≤A1f（x）+1-s11-s2……1-snf（y）。（ⅳ）

因为：

A1=s1（1-s2）（1-s3）…（1-sn）+s1s2（1-s3）…（1-sn）+…+s1s2…sn，

所以A1就是t1表达式的分子。A=A1+1-s11-s2…1-sn是ti表达式的分母。利用（ⅳ）中最后一个不等式，有：

fy+t1η（x，y）≤t1f（x）+1-t1f（y），

即知t1∈T，且t1=A1A。

进一步，由（ⅳ）中与A2相关的不等式，成立：

（A2+（1-s2）（1-s3）……（1-sn））f（y+t2η（x，y））

≤A2（A1Af（x）+（1-A1A）f（y））+（1-s2）（1-s3）……（1-sn）f（y）。

将A1=s1（A2+（1-s2）（1-s3）……（1-sn））代入，得到：

fy+t2η（x，y）≤A2s1Af（x）+1-A2s1Af（y）。

因为A2=s2（1-s3）…（1-sn）+s2s3（1-s4）…（1-sn）+…+s2s3…sn，所以A2s1A=t2且

f（y+t2η（x，y））≤t2f（x）+（1-t2）f（y）。

则t2∈T，且t2=s1A2A。

类似地，成立t3=s1s2A3A，t4=s1s2s3A4A，……，tn-1=s1s2…sn-2An-1A，且

fy+tiη（x，y）≤tif（x）+1-tif（y），i=1，2，……，n-1，

可知ti∈T，i=1，2，……，n-1。

最后一步，由（ⅳ）中第1个不等式知：

fy+tnη（x，y）≤

sntn-1f（x）+（1-tn-1）f（y）+1-snf（y）

=sntn-1f（x）+1-sntn-1f（y）

=sns1s2…sn-2sn-1Af（x）

+1-sns1s2…sn-2sn-1Af（y）

=tnf（x）+1-tnf（y）

因此tn∈T，且tn=s1s2…sn-2sn-1AnA。

2 應用

由定理1知Q∩（0，1）T且Q∩（0，1）稠密于0，1，所以有以下的一个推论：

推论1[2，9，13，14] 设η满足条件C，且T≠，则T在0，1中稠密。

推论1可以应用于建立预不变凸函数的判别准则，参考[2，9，14]等，例如：当η满足条件C，T≠且f下半连续时，则f是预不变凸函数。因为η（x，y）=x-y时，不变凸集就是凸集，预不变凸函数就是凸函数，所以推论1也可以应用于建立凸函数的判别准则[2]。

现在，讨论所获结果在极小化问题和多目标规划问题中的应用。

定理3

设η满足条件C，且T≠，则f的每一个局部极小点是全局极小点。

证明：

由定理1知（0，1）∩QT。设x0∈S是f的一个局部极小点，即ε>0，x∈Bεx0∩S，fx0≤f（x）。任取y∈S，由S是关于η的不变凸集，则α∈（0，1），x0+αηy，x0∈S。取充分小的有理数α∈（0，1）∩QT使得x0+αηy，x0∈Bεx0∩S，此时成立：

fx0≤fx0+αηy，x0≤αf（y）+（1-α）fx0，

由此得到fx0≤f（y）。由y∈S任意性知x0是f的全局极小点。

考虑多目标规划问题（MP）：

minF（x）=f1（x），…，fm（x）T，x∈S，

其中fi：S→R1（i=1，2，…，m），F：S→Rm是向量值函数，集合SRn是关于η：Rn×Rn→Rn的不变凸集。 记：

Rm+={λ=λ1，…，λm∈Rm：λi0，i=1，…，m}，

Rm++={λ=λ1，…，λm∈Rm：λi>0，i=1，…，m}，

Ti={t∈（0，1）|fiy+tη（x，y）≤tfi（x）+（1-t）fi（y），x，y∈S}，i=1，2，…m。

根据[2]中定义5.4.4和定义5.4.5知：

（1）点x-∈S称为问题（MP）的全局有效解，如果不存在任何点y∈S，使得F（y）∈Fx--Rm+＼0。

（2）点x-∈S称为问题（MP）的局部有效解，如果存在x-的邻域Nx-，使得不存在任何点y∈S∩Nx-，满足F（y）∈Fx--Rm+＼0。

（3）点x-∈S称为问题（MP）的全局弱有效解，如果不存在任何点y∈S，使得F（y）∈F（x-）-Rm++。

（4）点x-∈S称为问题（MP）的局部弱有效解，如果存在x-的邻域Nx-，使得不存在任何点y∈S∩Nx-，满足F（y）∈Fx--Rm++。

定理4

设η满足条件C且Ti≠（i=1，2，…m），则问题（MP）的任何局部有效解是它的全局有效解。

证明：

设x0是问题（MP）的局部有效解，则存在一个邻域Bεx0，不存在x∈Bεx0∩S使fi（x）≤fix0，i=1，2，…，m，且至少存在一个1≤j≤m使fj（x）<fjx0。假设x0不是全局有效解，则存在x*∈S，使得fix*≤fix0，i=1，…，m，且至少存在一个1≤j≤m使fjx*<fjx0。由Ti≠以及定理1知（0，1）∩QTi。取充分小的有理数α∈（0，1）∩QTi，使得x0+αηx*，x0∈Bεx0∩S，则：

fix0+αηx*，x0≤αfix*+（1-α）fix0≤fix0，i=1，2，…，m。

且fjx0+αηx*，x0≤αfjx*+（1-α）fjx0<fjx0，

这与x0是问题（MP）的局部有效解相矛盾.因此，问题（MP）的任何局部有效解一定是全局有效解。

定理4的特殊情形（m=1）是定理3，定理3推广了[2]中定理5.2.1。类似分析知文献[15]中的定理1可以改进为以下定理。

定理5

设η满足条件C且Ti≠（i=1，2，…m），则问题（MP）的任何局部弱有效解是它的全局弱有效解。

定理3-5表明：为了获得函数的局部-全局性质[2]，只需函数具有中间点凸性或中间点预不变凸性。由定理1，只需要函数具有中点凸性或中点预不变凸性。也就是说，函数的中点凸性或中点预不变凸性这种局部性质会影响函数的全局性质。

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（责任编辑：于慧梅）

The Midpoint Preinvex Functions

are（0，1）∩Q-Preinvex Functions

CHEN Lijuan， KUANG Huawu*， YANG Guanghui

（College of Mathematics and Statistics， Guizhou University， Guiyang 550025， China）

Abstract：

Applying the basic theory of convex analysis， under the condition C， the properties of the intermediate point preinvex functions are studied， and it is proved that the intermediate point preinvex functions are （0，1）∩Q-preinvex functions. In particular， the midpoint preinvex functions are （0，1）∩Q-preivex functions. Finally， some applications of these results in multi￣objective programming are discussed.

Key words：

preinvex function; midpoint preinvex function; nearly convex set; multiobjective optimization