巧用摩擦角，妙解高考题

范良兰

摘 要：摩擦角在高中的教学中并没有要求，但是在解高考题中的应用，相对于常规解法，利用摩擦角可以有事半功倍的的效果，也更能体现本学科的学科素养。

关键词：摩擦角;解题

一、试题出处：2012年高考全国新课标理综卷24题

原题：拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具（如图）。设拖把头的质量为m，拖杆质量可以忽略;拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数μ，重力加速度为g，某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ。

（1）若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小。

（2）设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为λ。已知存在一临界角θ0，若θ≤θ0，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动。求这一临界角的正切tanθ0。

二、讲解过程

1、审题

就是教学生的审题方法。审题实质上还是理解能力，理解题目所涉及的物理现象和物理过程，明确题目中所提供的条件和要求。

（1）、抓住关键字眼，突出物理状态。

（2）、分析已知条件、挖掘题目隐含条件。

拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具（如图）。设拖把头的质量为m，拖杆质量可以忽略;拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数μ，重力加速度为g，某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ。

（1）若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小。

（2）设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为λ。已知存在一临界角θ0，若θ≤θ0，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动。求这一临界角的正切tanθ0。

2、解题

（1）拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小

对拖把受力分析，画出受力示意图：由于匀速移动，由共点力平衡条件可得：

水平方向：Fsinθ=ff=μN竖直方向：N=mg+Fcosθ

解得：F=方法1：把在地板上從静止刚好开始运动的水平推力即F水平=fm

依题意有：λ==

不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动则应满足：Fsinθ≤fm

fm=λNN=mg+Fcosθ

三式联立得：Fsinθ≤λ（mg+Fcosθ）

即（sinθ-λcosθ）≤λmg/F

不管沿拖杆方向的推力多大，此式恒成立，即F趋于无穷大时，（sinθ-λcosθ）≤0

解得：tanθ≤λ故tanθ0=λ

方法2：用摩擦角来解决这一问题

令地板对拖把的正压力N与最大静摩擦f的合力为R，物理学中将此合力称为全反力，此合力与正压力N之间的夹角α称为摩擦角，由图可得：tanα==λ即α角的大小由λ决定。当外力F与正压力之间夹角为θ时，则使物体运动的动力

Fx=Fytanθfm=Ntanα=（mg+Fy）tanα

比较两式可得：若θ≤α时，无论外力F多大都有Fx≤fm，（即满足题中不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动（这就是生活中遇到的自锁现象）。故临界角的正切tanθ0=λ

三、试题拓展及试题的意义

1.试题拓展：

变式：针对本题的第一问后，还可设置一问：用沿拖杆施加一拉力F，使拖把在地板上匀速移动，则拖杆与竖直方向的夹角θ取何值时，拉拖把的力的最小，最小的拉力多大？

方法1（利用配角公式求解极值）：

由于匀速：Fsinθ=ff=μN=μ（mg-Fcosθ）

两式联立得：F==

当θ+Ф=90o即θ=90o-arctanμ时，F有最小值Fmin=

方法2：（利用摩擦角来解决）

如右图，用全反力（正压力N与摩擦力f的合力）代替摩擦力与支持力，即可将四力平衡问题转化为三力平衡。而全反力方向恒定，在矢量三角形中进行动态分析得：

Fmin=mgsinɑ

对于摩擦角有：tanɑ=μ，此时θ=90o-ɑ

2.试题的意义

此题背景来源于现实生活，能很好地体现物理学的应用性与实践性。对于平时比较有参与拖地的又善于思考同学会得到生活经验的启发，此试题对倡导学生热爱劳动、将物理与生活联系起来有很好的导向作用。

力学中常遇到物体运动状态的判断和极值的求解，（如：2010年高考新课标理综卷第18题、2013年高考山东卷22题第二问等。）常涉及到函数的配方、三角函数、配角公式等繁杂的数学知识的应用。学生在这方面总显得力不从心。通过这个题目讲解把摩擦角引入教学中，指导学生利用摩擦角结合图示分析求解就不仅可避开复杂的数学运算使解题更简捷、直观，更能让学生理解这些现象的物理本质，有利于培养学生的学科素养。