知其然，还须知其所以然

吴秋桂

摘要：教师可以通过错误这样一个特定的视角来了解学生掌握知识的过程，发现真实问题，从而采取相应的补救措施;错误对于学生来说也是不可或缺的，是学生在学习过程中对所学知识不断尝试的结果。

关键词：错误;粗心;错因探微

在学习过程中，错误的出现是一件常见的事。与“错误”相关度比较高的一个词是“粗心”。我们常常听到这样的话：“怎么又错了？真粗心！”“如果不是因为粗心的话，这回应该考100分！”……“粗心”属于学习态度范畴，粗心大意当然是错误形成的一个原因，但“细心”了就一定能避免错误吗？把错因笼统地归结为“粗心”，不作具体分析，其结果只会“粗心”照犯，错误不断，掩盖了真正的原因。因此，对错误进行系统研究就显得非常重要：首先教师可以通过错误这样一个特定的视角来了解学生掌握知识的过程，发现真实问题，从而采取相应的补救措施;其次错误对于学生来说也是不可或缺的，是学生在学习过程中对所学知识不断尝试的结果。本文将以长方形的面积计算为例，试图回答：什么是错误？学生会出现哪些错误？这些错误的原因是什么？特别地，对于长方形面积计算来说，为什么学生会经常混淆周长和面积的计算公式应用？

正因为对错误的界定丰富多样，所以对于错误的分类与分析也莫衷一是。在各种错误中，学生作业中的错误因其留下了书面痕迹，便于做进一步的研究。

对学生作业中的错误，国内外学者已作了许多有益的工作，至今仍方兴未艾.特别是随着建构主义数学观的兴起，对学生的数学错误又有了新的认识。因此，如何诊断学生的错误自然引起人们极大的兴趣。要想得到正确的解答，必须扫清一系列障碍，其中的任何失误均会影响解题的进程，导致最后解题的失败。在此意义下，从解题过程角度提出错误的层级，将其分为5个水平：阅读、理解、转换、处理、编码。其中，理解错误指的是没有掌握问题中所有信息的意義;处理错误指的是与算法有关的错误;编码错误指的是书写错误，如笔误等。分为问题形式、问题阅读、问题理解、策略选择、技能选择、技能操作等6个层级，可以用来分析多步数学文字题中发生的错误。另外，还有一种较为流行的错误分类方法是戴再平先生给出的，他把解题错误分为知识性错误、逻辑性错误、策略性错误、心理性错误。

这些错误的分类方法从不同角度揭示了错误形成的原因和结果。下面是笔者根据长方形面积计算这一学习内容所作的错误分类分析，尽管在分类的逻辑性上存在着一些问题，但从实践的角度大致涵盖了学生的基本错误情况。

根据40位学生的课堂作业本、练习卷等120份，分析发现常见的错误主要有：

错误

类型 序号 错误分析 错误示例 备注

概念性错误 ① 单位写错 长方形面积：7×9=63米（单位写错） 浙教版第6册P78

② 周长、面积计算方法混淆 一个长方形的菜地长12米，宽20米，在它周围围上篱笆，篱笆至少要多长？（错解：12×20=240平方米）

给一块长30厘米、宽20厘米的玻璃配一个木框，至少需要（错解：600）厘米长，玻璃的面积是（100平方厘米）。 浙教版第6册P79

方法性错误 ③ 数学原型用错。

原型：周长一定，（四边形中）正方形面积最大。

误型：三边总长一定（一边靠墙），正方形面积最大。 用48米长的栅栏围成一个长方形花坛（长、宽都是整厘米数）其中一面利用围墙，怎样围才能使长方形花坛的面积最大？最大的面积是多少平方分米？

错1：48÷4=12dm 12×12=144dm2

错2：48÷3=16dm 16×16=256 dm2 【浙教版单元复习】

④ 未能形成明确的方法，当第一步完成后难以为继。 一个长方形的长和宽都增长5厘米后，形成了一个新的长方形，它比原来的面积增加125平方厘米。原来长方形的周长是多少厘米？

125-5×5=100平方厘米 100×4=400厘米 【浙教版单元复习卷】

直觉性错误 ⑤ 面积的均分误以为周长也同样均分。 一个长方形的周长是24分米，把它平分后，正好是两个面积相等的正方形。每个正方形的面积是多少？

24÷2=12分米 12÷4=3分米

3×3=9平方分米 浙教版第6册P79

⑥ 在用面积包含关系的方法求解时习惯性将问题中的数据用尽。 一条便道长15米，宽24米，用边长3分米的方砖铺满这条便道，需要这样的方砖多少块？

15米=150分米

150×24÷3=1200块 【浙教版单元复习】（文字有改动）

记忆性错误 ⑦ 正方形面积公式用错 受某些数据影响，正方形面积计算公式特别容易用错：

填表：正方形边长25厘米，面积是（ ）。25×4=100平方厘米 【浙教版单元复习】

感知性错误 ⑧ 单位没有统一就直接计算 一张长方形桌子，长2米，宽8分米，桌面面积是多少？

2×8=16平方分米 【浙教版单元复习】

上面笔者分析了一些作业的错误，在分析的时候常常被学生的错误所惑，说实在的，这些问题在笔者和笔者同事的每届学生都会碰到――特别是面积和周长公式学生经常要用错。著名小学数学教育专家顾汝佐先生在其《名师授课录》中曾叹：“长方形面积计算是小学数学教材中的一个传统内容，推导出它的面积公式，并不太困难，学生也容易理解。问题往往出在这节课以后一是周长和面积的单位名称常常用错，二是周长和面积的意义不易区分清楚。”顾先生的话一语中的，综观历年来的教学设计，教学的重点都放在如何让学生发现公式，这当然是必要的，有助于公式的意义理解。在前文中我们把面积和周长公式用错归结为概念性错误，也是从这个角度说明对于公式意义理解的重要性。

综上，本文对长方形面积计算中的错误进行了归因，虽然未能全面、科学，但也大致上涵盖了主要问题。我们常常说 “错误是一种资源”，如果会分析错误的原因，就能有针对性地帮助学生或者改进我们的教学，错误就是师生成长的资源;不能分析原因，就难以吸取教训，徒增烦恼而己。

参考文献：

[1] 王锦飞.解题中错误的基本类型及改错策略[J].中学数学教学参考，1994.

[2] 薛冰.初中学生数学解题错误分析[J].数学通报，1995（06）.

[3] 戴再平.数学习题理论[J].上海教育出版社，1996（10）.

（作者单位：浙江省庆元县城东小学）