“问题导学”下的高三复习解题思维训练

林兴旺

摘 要：”问题导学式”教学模式以问题解决为中心，通过发现问题、分析问题、创造性的解决问题等步骤去掌握知识、培养创造能力和创新精神。让“学”于生，导“学”于师，切实把“时间”还给学生，把“思维导”给学生，才能真正实现师生共进步，同成长。高三数学解题思维训练是高三复习中的重中之重，学生思维的广度与深度决定了学生在高三复习的质量，本文章旨在通过“问题导学”的教学方式对学生的解题思维做个精确引导。

关键词：问题导学;解题;思维训练

一、精巧设问，引导思维方向，提高思维品质

例1：已知函数f（x）=e-x+ax，a∈R

（1）试讨论函数f（x）的最值;（2）若a=0，求证：.

解析提问：

师问：若要求函数的最值，该怎么办？

学生：求导，看函数单调性。

师问：，怎么讨论单调性？

学生：①讨论方程f'（x）=0有没有解？②讨论f'（x）=0有根的话，有几个根，根谁大谁小？

师问1：明显要对参数a进行讨论，应该怎么讨论？

同学1答：令f'（x）=0，则aex-1=0，则，所以

同学2答：未必有解，若a=0或a<0，则f'（x）=0无解.

师答：回答的非常好，方程f'（x）=0有没有解是我们经常讨论的一个方向，那么该题讨论方向明确后，我们怎么书写呢？

同学3：（1）.①若a≤0，则f'（x）<0在R上恒成立，所以函数f（x）在R上单调递减，没有最值.②若a>0，则令f'（x）=0，则aex-1=0，则，所以

所以，当时，f'（x）<0，当时，f'（x）>0，所以，函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，f（x）取到最小值a-alna，没有最大值.

师：非常好，书写格式规范简单自然！

师：很自然的思路：设现在该怎么去证明g（x）的最小值都恒大于0呢？思路延伸：求导，g'（x）=-e-x+x，依然还是很自然的思路，该方程有没有解，发现解不出来，怎么办？

生答1：再求导，学生书写如下：

设k（x）=g'（x）=-e-x+x，则k'（x）=ex+1>0恒成立，所以k（x）在R上单调递增。

所以k（x）=g'（x）=0有唯一解，不妨设为x0，则g'（x）=-e-x0+x0=0

所以，

问：怎么确定x0

答：因为g'（0）=-1<0，，所以x0∈（0，1）

且x∈（-∞，x0）时，g'（x）<0，x∈（x0，+∞）时，g'（x）>0，

所以，函数g（x）在（-∞，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，

所以，x=x0时，g（x）取到最小值，

又因为x0∈（0，1），所以.

问：你完美证明了吗？

答：还没有证明好（羞涩），但是解题思路我感觉是对的，怎么会出错了呢？

问：为什么最后是大于而不是大于0，怎么来的.

答：我是把0代入得到的，有没有可能不是0代入，而是其他值代入，那就意味着零点范围可以再缩小？

问：怎么缩小？

答：可以用二分法（惊喜），如果零点不是在（0，1），那么縮小之后的范围只可能是或者，所以只需看下的符号啦。

通过计算发现，所以，

那么，，，至此，不等式得证！

有的时候一道题目的讨论经常追求热闹，顾左右而言他，这无疑会浪费课堂时间，使得课堂拖沓，繁冗，所以题目的追问设计要精简，思维的引导要一击即中，让学生在讨论中沉迷其中不可自拔，不知不觉提高思维品质.

二、以教师为主导设问，学生为主体讨论，引导学生多向思维发展

问题导学模式也就是以问题解决为主干，在解决问题的过程中去习得知识，问题的解决构成了主要的学习过程，自主学习、合作学习、展示探究为其主要的学习方式。在教师指导下，学生“自主、合作、探究”，把课堂的空间与时间尽可能还给学生，提高学生的能力素质。

当时，函数取得最大值，求的值.

问题1：函数f（x）的最大值为多少？求得最大值时，x是什么状态？

问题2：三角函数怎么化简？

1.学生审题，分组讨论学生间自主学习思考讨论后，展示交流.

2.学生板演并回答问题

学生讨论过后，教师选取两组进行板演并说明：

学生板演1：（其中）

因为时，函数取得最大值

即，所以

那么

学生板演2：所以函数最大值为

因为时，函数取得最大值

教师总结：从两组学生讨论后板演情况来看，情况令人欣喜，第一组从最大值入手，经过三角恒等变换，得到答案，公式熟练，概念清晰，第二组从辅助角公式入手，挖掘出要使得取到最大值必须要让，从而，进而得到，思维之精妙令人惊叹！问题导学下的高三复习题解题，教师引导学生解决问题，学生讨论解决该问题，思维方法也许不是最佳解决办法，但是学生的思维发展可能性多种多样，学生的思维广度更广！

三、以变式问题为引，引导学生思维深度转化

例3.（2017全国1）已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1，1），P2（0，1），，中恰有三点在椭圆C上.

（1）求C的方程;

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.

做完这道题，学生普遍反应第一步没有问题，第二步问题较大，特别是条件的转化到结论证明之间不敢下笔，不能计算，不会思维！

学生问：由斜率之和等于-1，能得到什么，它和直线过定点有关系吗？完全没有办法预料，如果花了时间得不了分，那不是亏大了吗？

老师思考学生的问题：是什么问题导致学生信心不足，裹足不前不敢算，不敢下笔呢？终究还是思维的开拓性不够，深度转化力不强，为了解决这个问题，笔者拿出成题进行思维变式转化训练。

变式1：（2018全国1）设椭圆的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）.

（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程;

（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.

问题1：本题第二问中，要证明的∠OMA=∠OMB怎么转化的，你是怎么想的？

学生经过审题小组讨论后回答：∠OMA=∠OMB等价于kMA+kMB=0

问题2：能否简略说出第二问的完整命题？

学生回答：若过定点F的直线l与C交于A、B两点，则kMA+kMB=0

答：转化的非常好，至此，往下计算就很常规啦

接着大家继续来看，

问题3：那例题3中第二问的命题是怎么样的？

答：若直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.且，则l过定点.

问3：发现什么了吗？

答：这两道题目简直就是命题中的互逆关系？

问：那会不会做啦？

答：试一下，应该没问题。

变式2：已知动圆C过定点F（1，0），且与定直线x=1相切

（1）求动圆圆心C的轨迹E的方程;

（2）过点F（-2，0）的任一条直线l与轨迹E交于不同的两点P、Q，试探究在x轴上是否存在定点N（异于点M），使得∠QNM+∠PNM=π？，若存在，求点N的坐标;若不存在，请说明理由.

老师问：当解决了变式1第二问中的思维转化问题和计算问题，那么大家对第2问有没有信心

学生答：至少比原来有信心多了，原来高考题就是转变一种条件和思维方向啊，看起来也不是很难嘛？

总结：教师利用知识间的迁移转化规律，用连续小问把思维慢慢引导转化，让学生对同类知识进行对比，获得新知，进一步来说，训练学生思维能力的课型时均可采用此问题引导变形转化的方式来处置，比如，立体几何中的定点变成动点，以程序框图为载体的多种知识交融的问题等！数学教学的有效增长点是教学活动本身的组织结构水平和科学程度，以问题为导学使教学活动结构更能直奔重点，让学生成为学习的主人，让他们在主動的积极探索中实现创新、突破，展示自己的才华智慧，提高数学核心素养。