“热水喷泉”的理论和实验研究

李越　戴长婷　兰晓岩　任恒峰　王清亮

摘要：以流体力学及液体热学性质为理论基础，从喷水过程中流体的连续性定理以及功能原理出发，巧妙地避开了使用伯努利方程时的限制条件，进一步推导出了热水喷泉喷射高度的理论公式，并据此关系式从理论上分析了影响最大喷射高度的因素.实验上研究了莫尔吸量管吸入部分热水后产生喷泉的最大喷射高度与吸入热水温度、吸量管规格以及吸入热水高度之间的作用关系，得出：莫尔吸量管产生喷泉的最大喷射高度随热水温度的升高而增大，随吸量管管身直径的增大而增大，随吸入热水量的增加先减小后增大.

关键词：热水喷泉;莫尔吸量管;连续性定理;功能原理;最大喷射高度

中图分类号：O4-33  文献标识码：A  文章编号：1673-260X（2019）09-0015-04

目前，国内外对热水喷泉现象定量研究的报道较少，对热水喷泉现象的研究大多集中在对实验现象的研究，而对其所适用的物理规律、物理公式的讨论甚少，以致热水喷泉现象的理论依据较为缺乏[1-3].有一些物理学家曾利用伯努利方程来讨论该现象，但由于伯努利方程只适用于定常流动问题的处理，而热水喷泉现象并非属于理想的定常流动，因此这样处理问题存在一定的不妥之处[4-8].最新的研究表明，从热水喷泉喷水过程中的热水量守恒以及动能定理出发，可以建立一个既适用于定常流动又适用于非定常流动的更为普遍的理论模型，并且实验验证得出，测量结果和理论模型的数值计算结果符合得较好[9，10].在此基础上，我们将对理论进行进一步地分析，提出适用于“热水喷泉”现象的新理论模型，即利用流体的连续性定理以及功能原理等理论分析此现象，在进行具体实验之后，将实验与理论进行对比，从而深入探讨热水喷泉的物理机制.

1 “热水喷泉”现象

“热水喷泉”现象是指在莫尔吸量管中吸入部分热水，将其上端堵住并倒置，使吸量管小孔朝上，此时可以观察到从小孔中喷出的水像喷泉一样.产生“热水喷泉”现象的理论基础是：莫尔吸量管内部空气受热膨胀，导致内部大气压高于外界，从而使管内的热水喷出来.在受热时，物体会发生膨胀;受冷时，物体发生一定程度的收缩，这种现象被称为热胀冷缩.而产生这一现象的原因为：组成物质的大量粒子，它们的运动情况随所处环境的温度而发生变化，当环境温度升高时，粒子的震动程度变得较为剧烈，使得物体发生膨胀;但当环境温度降低时，粒子的震动程度就会下降，从而使得物体发生一定程度的收缩.

“热水喷泉”现象属于非定常流动现象[8-10]，若对热水喷泉现象使用伯努利方程进行讨论，则是过于粗糙和理想化的处理，因为伯努利方程只适合定常流动问题的研究.为了较为精确地解释该现象，我们将喷水过程中流体的连续性定理以及功能原理相结合，建立起一个既适用于定常流动又适用于非定常流动的普适理论模型.

2 “热水喷泉”的理论机制

建立如图1所示的热水喷泉装置的示意图，莫尔吸量管全长为L，小孔口径的一半为r，面积为S1;管身口径的一半为R，面积为S2;起初加入热水的高度为L0，热水的温度为T，热水的密度为？籽.封闭在莫尔吸量管中的气体在被热水充分预热后的平衡温度为T1，压强为P1.外界大气压为P0，外界环境的温度为T0.

由于实验时只在莫尔吸量管中吸入了部分热水，所以管中会密闭有一部分的气体，在吸量管未倒置之前并不会出现喷泉现象;但将吸量管旋转 即倒置后，便会产生喷泉现象.之所以如此，其原因是在未倒置时，热水和管内气体的接触面积只有管的一个切平面大小，热量不能很好地传递给管内空气;而在旋转180°的过程中，由于重力的作用，管内热水会沿着靠下的管壁迅速流下，这时管中气体与热水的接触面积增加;在旋转至180°时，热水甚至会沿着靠下的管壁流到管的底部，这样会使整个管中气体与热水的接触面积大大增加，整个管内气体便会迅速膨胀，给在上面还未流下的水一股强大的向上推力，从而形成了喷泉现象.

整个喷泉过程中，气体可当作理想气体来处理，满足物态方程

在刚装入热水时与莫尔吸量管旋转180°且气体和热水达到热平衡时，两种状态下被密闭气体的物态方程满足关系式

在装入热水到发生喷泉现象前的这段过程中，密闭气体的体积保持不变，即为等容过程.

现假设T1与热水——环境温差（T-T0）的关系为

式中，c是一个与初始时加入的热水量、热水——环境温差（T-T0）以及吸量管规格有关的一个量[8].将式（3）代入式（2），并移项可得

选择开始发生喷泉现象的时刻为初始时刻，记为t0=0;此后在任意时刻t，各部分热水柱的长度分别为l（t）、L1（t），如图1所示.

设P（t）、V（t）分别为发生喷泉现象时的任意时刻管中气体的压强和体积，由于喷射过程较为短暂，则可将此阶段管中气体经历的过程近似地视为绝热过程，根据绝热过程的物态方程可以得到，

进而有

利用流体的连续性定理表明，当流体连续不断而稳定地流过一个粗细不等的管子时，由于管中任何一部分的流体都不能中断或挤压起来，因此在同一时间内，流进任意切面的流体质量和从另一切面流出的流体质量应该相等，从而可得

S1（L0+l（t））′=S2（L0-L1（t））′

即

S1l′（t）=-S2L1′（t）   （7）

根据喷水过程中的功能原理，可知在t～t+dt时间段内，管中热水柱重力势能与动能的增量等于管中气柱对热水柱的推力以及外界大气压对热水柱的阻力所做的总功

且在喷水过程中有

L1（t）=L0-nl（t）  （9）

式中参量n为莫尔吸量管的小孔横截面积与管身横截面积之比，即n=，现将式（6）（7）和（9）代入式（8）中，并在兩边同时除以dt，可得

由喷射过程中流体的连续性定理、功能原理、密闭气体经过等容和绝热过程等理论公式推出“热水喷泉”现象满足（10）式，此式描述了热水喷泉喷射高度与喷射时间之间所满足的微分关系.

3 “热水喷泉”的实验研究

3.1 参数c的测量

为了能用（10）式的理论结果与实验结果进行比较，需知道参量c，而参量c是在理论建模过程中引入的一个与初始时加入的热水量、热水——环境温差（T-T0）以及吸量管规格有关的量，这个量很难从理论上得出，但可以由多次实验测出c值：取两根规格不一的莫尔吸量管，用其中一根莫尔吸量管在多组不同的热水——环境温差和吸水高度情况下，保证吸入热水至将吸量管倒置的这一过程时间足够长，以致管中的气体能被充分预热并与热水达到热平衡，在气体与热水达到热平衡后立即使用测量吸量管中气体温度的电子温度计测出此时气体的平衡温度T1，将其代入式（3），从而计算出此种规格莫尔吸量管的c值，同理由可得另一种规格莫尔吸量管的c值，分别见表1和表2.

3.2 最大喷射高度与热水温度的关系

采用控制变量的方法，保持吸水高度、莫尔吸量管的规格不变，改变吸入热水的温度.取初始时规格1莫尔吸量管中吸入的热水高度为10.9cm，测得外界环境温度为24.5℃，根据实验数据可得图2.

由图2可以看出，喷泉的最大喷射高度随着热水温度的升高而快速的增大，由此易得吸入热水的温度是决定喷泉最大喷射高度的一个重要因素.产生这一现象的原因在于：一方面，当填装的热水温度升高时，被密闭气体的温度也会随之升高到较高温度，而温度越高气体分子的运动速度也就越快，即气体的压强越大或者说气体对热水柱的推力越大，那么被加热气体对外做功的能力也就越强，喷射的水柱高度就越高.另一方面，通过传热学相关知识可知，随着热水温度的升高，莫尔吸量管内气体与热水的传热速度加快，传热效率提高，在相同時间内，被加热到可以喷射出吸量管的热水量增多，喷泉到达吸量管管嘴处的初速度变大，因此，根据能量守恒定律，在忽略空气阻力的情况下，喷泉所能达到的最大喷射高度也就随之增大.

3.3 最大喷射高度与莫尔吸量管规格的关系

控制变量时，保持吸水高度、吸入热水的温度不变，改变莫尔吸量管的规格.取初始时规格1和规格2两莫尔吸量管中吸入的热水高度均为8.6cm，测得外界环境温度为24.5℃，实验数据如图3所示，图中蓝色线为规格1莫尔吸量管产生喷泉的最大喷射高度随热水温度变化的实验曲线;红色线为规格2莫尔吸量管产生喷泉的最大喷射高度随热水温度变化的实验曲线.

由图3可知，莫尔吸量管直径越大，产生喷泉的最大喷射高度就越高.在莫尔吸量管直径保持不变的情况下，吸入热水的温度越高，产生喷泉的最大喷射高度也就越高;在吸入热水温度相同的情况下，莫尔吸量管的直径越大，产生喷泉的最大喷射高度就会随之变高.

3.4 最大喷射高度与吸入热水高度的关系

保持莫尔吸量管规格、吸入热水的温度不变，改变吸入热水的高度.取初始时规格2莫尔吸量管中吸入的热水温度恒为71℃，测得外界环境温度为24.5℃，实验数据及变化曲线如图4所示.

从图4可知，莫尔吸量管产生喷泉的最大喷射高度随吸入热水高度的增加先减小后增大.而产生这一现象的原因：一方面，当吸入热水量较少时，热水与密封气体的平衡温度较低，以致气体对外做功的能力较小;但同时热水量较少时，其自身的重力也较小，从而对吸量管中气体的阻力就较小.另一方面，当吸入热水量较多时，可以保证热水与气体快速地达到热平衡，气体在预热结束后的温度就会较高，对外做功的能力就较大;但热水量多便会导致其自身重力大，使得吸量管中气体受到的阻力增大.

4 结束语

本文先考虑到“热水喷泉”现象属于非定常流动，继而利用流体的连续性定理和功能原理建立一个既适用于定常流动又适用于非定常流动的理论模型.这样的建模巧妙地避免了前人使用伯努利方程来解决此问题的不合理之处，因为只有定常流动的问题才能使用伯努利方程进行分析，而针对“热水喷泉”这种非定常流动的问题，应该避免使用伯努利方程.通过多组实验探究莫尔吸量管产生喷泉的最大喷射高度与诸因素之间的关系，总结得出：莫尔吸量管产生喷泉的最大喷射高度随吸入热水温度的升高而快速地增大，这说明吸入热水的温度是决定喷射高度的关键性因素;在吸量管小孔直径不变的情况下，最大喷射高度随吸量管管身直径的增大而增大;在一定的吸入热水量范围内，吸量管产生喷泉的最大喷射高度随吸入热水量的增加先减小后增大.

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参考文献：

〔1〕漆安慎，杜婵英.力学[M].北京：高等教育出版社，2012.

〔2〕李复.可压缩流体的伯努利方程[J].大学物理，2008，27（8）：15-18.

〔3〕严导淦.流体力学中的总流伯努利方程[J].物理与工程，2014，24（4）：47-53.

〔4〕刘建晓，郑永春，史宫会，等.热水喷泉现象的理论研究[J].物理实验，2016，36（4）：23-26.

〔5〕付伟娟，聂云汉，房振全，等.莫尔吸量管热水喷泉现象的研究[J].物理实验，2017，37（6）：38-42.

〔6〕李强，覃志远，陈聪，等.热水喷泉现象及其理论研究[J].物理与工程，2017，27（6）：1-6.