小学生数学思维品质发展的心理研究及其对教学的启示

韩钰颖 喻平

摘要：心理学领域对与小学数学应用题解决有关的同型问题、样例学习、元认知作用、编拟题目等开展了比较深入的研究。将这些研究中的实验干预因素或结论应用于数学教学，可以得到的教学策略有：恰当组织同型问题，合理设计样例变式，加强训练自我监控，适时介入自主编题。

关键词：应用题解决同型问题样例学习元认知自编题目

应用题是中、小学数学中一类重要题型，其价值不仅在于培养学生对数学的应用意识，还能使学生将所学的数学知识迁移到新的情境中，加深学生对知识的理解，更重要的是，能够培养学生分析问题和解决问题的能力。

小学生解决应用题时有怎样的认知特点，又存在哪些问题？小学生解决应用题的表现受哪些因素影响？心理学中的研究部分地解答了这些问题。本文撷取几项研究加以介绍，并讨论如何将这些研究的成果用于教学。

一、心理学对小学数学应用题解决的几项研究

（一）同型应用题解决

学生解决应用题时，有一个步骤是对应用题的模式进行识别和归类。现代心理学研究表明，能否正确解决问题在很大程度上取决于能否正确识别问题类型。阴国恩研究发现，数学“学优生”和“学困生”在对应用题的分类上存在显著差异;随着年级的升高，学生越来越倾向于按照题目的深层结构分类，而非按照表层特征（比如字面意思）。Rudnitsky等研究证明，通过培养三、四年级学生对应用题的分类能力，可以提高学生对应用题深层结构的认识，以及解决应用题的能力。施铁如通过识别问题类型的训练，提高了学生的解题能力。

对于如何提高学生对应用题的分类能力，学者们也给出了一些答案。Reed研究发现，对同型问题的比较有利于增强学生对应用题的分类能力和迁移能力。同型问题是指两个问题的文字题材不同，但解答方法和解题步骤完全相同。显然，当解题者面对一个问题时，如果能找到同型问题，即进行有效的模式识别，那么就能比较容易地解决问题。对同型问题的比较有助于学生深入理解这一类型问题的数量关系和结构，在解决新问题时，可以快速地识别这种问题模型。廖运章在研究中发现，对同型问题的比较有助于新问题的解答，因此，他建议，在应用题教学中采用不同的情境展现同一结构关系，帮助学生识别应用题的类型，而不被情境所迷惑。

（二）应用题样例学习

样例（workedexample），即例题、例子，包括对问题的陈述、解决问题的过程以及问题的答案。在应用题教学中，样例应选择具有典型性的例题。样例可以使同样的规律性信息在学习者的加工记录中反复出现，便于学习者察觉规律，消除无关信息和环节，提高自动化加工能力，形成解题的图式，促进迁移的产生。样例学习是从具有详细步骤的事例中归纳出隐含的抽象知识来解决问题的学习。样例学习是心理学研究的重要领域。

张奇和赵弘的研究表明，样例学习明显提升了小学生解决应用题的迁移能力。Pass等研究发现，样例学习有利于降低学生学习时的认知负荷。朱新明等通过实验得出结论：只要选例恰当，样例学习能使学生较快、较好地掌握有关知识——学生不仅能学会解决问题，而且能从中总结出某些解题策略和啟发式原则，并能调动新建立的启发式规则指导解题。

在发现样例学习的价值后，学者们开始研究样例学习的影响因素，即如何设计样例以提高学习效率。张奇和林洪新在对小学生样例学习的研究中发现，所需样例的数量与学习内容的难度有关：学习内容的难度越大，所需要的样例数量越多，反之亦然。朱新明等提出了样例演练教学法，其学习材料是根据以下原则设计的：（1）以“有解的例题+问题+小结”为基本单元组织学习材料，使学生通过考察例题和解决问题获取产生式规则，并在小结中用语言陈述所学的规则;（2）每个例题提供一个产生式规则的实例，并在答案中进行解释;（3）问题是成组安排的，一般是在一个问题后紧接着一个子问题，并在子问题中引导学生对前一个问题的求解过程进行解释，将学生的注意力集中于产生式的条件部分;（4）在问题和小结的旁边都附有标准答案，使学生能够对自己的解答得到即时的反馈。

（三）解题的元认知作用

元认知是美国心理学家Flavell在1979年正式提出的，其核心是个体对自己认知过程的自我察觉、自我评价和自我调节，一般包括元认知知识和元认知监控。很多研究发现，元认知训练和问题表征存在着联系，可以通过元认知练习提高学生解决问题的能力。

张庆林等分析了小学生应用题表征中的元认知能力，发现我国小学生应用题表征的元认知监控能力较低;学生成绩越好，元认知监控和元认知控制的得分越高，说明元认知监控是“学优生”经常使用的认知策略。他们通过实验发现，采用“读题—撤走题目—复述题目—列式—反馈”的方式，可以提高小学生的元认知能力，从而提高小学生分析和解决问题的能力。路海东和董妍发现，可以通过对表征策略进行元认知训练来提高不成功解题者的解题能力，但是“请注意理解这道题的意思”这样简单的提示不能改变不成功解题者对问题的表征。陈英和等发现，随着年级的升高，“学困生”主观上会逐渐认识到应该使用更高级的问题模型策略来解决问题，但是由于他们在元认知上的困难，这种认识未能转化为行为，他们还是更多地使用直接转换策略。

（四）学生自编应用题

自编应用题指的是学生综合运用已有知识、经验，用具有一定逻辑性的语言来描述生活中的一些数量或数量之间的关系，并提出、解决相应的有价值的数学问题。学生的这种能力就是自编应用题的能力。

思维发展心理学认为，儿童自编应用题体现了独立性、发散性、新颖性等思维特征，是创造性思维的一种表现;提高学生自编应用题的能力可以促进学生对应用题数量关系和结构的理解，有利于提升学生解决应用题的能力。肖前瑛分析了小学低年级学生解决应用题的思维活动，建议教师在教学中多让学生接触思考性应用题，并且加强自编应用题的训练。林崇德在研究小学儿童思维的智力品质时，将自编各类应用题的数量作为小学儿童在数学运算中思维活动独创性的指标。其研究发现，自编应用题的训练有利于学生思维的发展和应用题的解决。

二、对小学数学应用题教学的启示

（一）恰当组织同型问题

研究显示，对同型问题的比较可以提高学生对应用题的分类能力和迁移能力，让学生更好地掌握应用题的内部结构。因此，在教学中，可以将不同情境、不同文本类型的同型题目编排在一起，难度由低到高，要求学生不仅能正确地解决问题，而且能总结出题目的数量关系和结构，最终目的是帮助学生在解答一个问题时，能够将该问题与自己已经解答过的某些同型问题联系起来，促进新问题的解答。

以下为几道“按比例分配”类问题的同型题。通过这些题目的讲解以及练习，学生能够掌握这类应用题的内部逻辑结构，形成解决这类问题的图式。

例1六年级一班共有48名学生，其中男、女生的比例为3∶5，请问六年级一班有男、女生各多少人？

例2用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3∶4∶5，则三条边的长各是多少厘米？

例3一间房间的地面由两种颜色的地砖铺成（如图1）。

（1）你能写出这两种地砖铺地面积的比吗？

（2）量得房间总面积是15平方米，那么这两种地砖的铺地面积分别是多少平方米？

例4某运输公司现有840吨货物，准备分给两个运输队运出去。甲队拥有12辆载重5吨的汽车，乙队拥有15辆载重3吨的汽车。公司需要按照两个运输队的运输能力分配，请问甲、乙两队各应该运货多少吨？

教学过程：解答完例题后，教师带领学生总结四道例题的共同点，从已知条件、所求、数量关系等方面着手，加深学生对这类问题的理解，形成关系模型。

设计意图：前两道题目都直接给出了各部分比例和总体，比较简单，目的是让学生建立比例问题的模型。如例1中，全班同学是总体，男生和女生都是其中的部分，题目的意思即将全班（48）分成了8份，其中男生占3份，女生占5份，要求出3份、5份各是多少。后两道题目需要学生自己找出比例关系。尤其是例4，比例关系不能直接得出，但易知840吨货物是总体，那么部分就是分给甲队和乙队的货物，需根据两队的运输能力求出比例关系。总之，虽然四道例题在情境上各不相同，但都是按照比例分配的应用题类型，都可以建立如图2所示的图式。这也是设计这四道题目的最终目的。

（二）合理设计样例变式

数学样例教学是指教师借助各类型数学样例，引导学生把握数学对象本质的教与学的双边活动，旨在促进学生理解，降低认知负荷，提高教学效率。有学者认为，如果考虑到样例的呈现方式是教师一边讲解一边板书出来，那么这种样例学习就是由教师讲解的样例学习，可以理解为样例教学。由于样例的选择和呈现方式的不同，样例教学有多种形式和组织方式，其中“样例+变式”的组合形式是一种有效的教学方式，变式的目的在于促进学生对学习对象本质的深刻把握。

例如，学习了长方形、正方形、平行四边形等的周长与面积公式后，有必要通过应用题让学生体会这些知识在生活中的应用，并加深对这些图形概念的理解。在综合性比较强的问题中，一个合适的案例可以打开学生的思维，变式则可以帮助学生实现知识的迁移。

例5张木匠共有32米长的木材，他想要设计一个花圃，并且用这些木材在花圃周围做围栏。他设计了几种花圃的造型，如下页图3所示。请问：张木匠现有的木材可以满足哪些造型？

设计意图：问题的难点有二：一是理解题目的含义，即木材不一定能够满足任意一种造型;二是认识图3中的A、C两个复杂图形。教师通过讲解题意，以及对复杂图形的分解，能够帮助学生认识到分析这类问题的基本方法，以及这一问题涉及哪些数学知识。

变式1通过上述讨论，我们知道了哪些造型是满足要求的，但现在张木匠只能选择其中一种造型，他希望所选的造型可以使得花圃的面积最大。请问：他应该选择哪一种造型？

设计意图：原题只涉及周长问题，这里加入了面积的考量。基于对原题的学习，学生能够将思想方法进行迁移，对图形进行分解，从而求得面积。在这个过程中，解题策略得以巩固。

变式2除了上述造型，你能设计出满足木材条件并且面积更大的新的花圃造型吗？

设计意图：在此前的两问中，学生认识了更加复杂的图形，对于图形的形状与周长、面积的关系有了一个初步的了解。变式2的设计实际上要求学生进一步找到一种规律，即怎样的形状能够有最大的面积。这一问题已经超越了思想方法的层面，上升到了学科思维的水平。通过对学科思维的训练，学生能够逐渐体会、形成对此类开放性应用题的探索模式。

（三）加强训练自我监控

张庆林建议教师在教学中加强元认知练习。他认为应用题的理解和分析能力的元认知训练主要包括两个方面：元认知知识的传授和元认知监控的练习。元认知知识的传授，一方面可以通过实际体验让学生认识到自己的认知缺陷（比如短时记忆容量有限），另一方面可以传授一些有用的认知策略（比如绘制示意图帮助理解题目结构）。元认知监控的练习，主要是创造机会，使学生产生元认知体验，进而实施元认知监视与控制。教师可以采用非标准习题，比如条件不足、情节多余、叙事不清的问题等，或者通过“叙述理由”、师生互问、学生互问、自我提问等方式。例如，每次分析題目时都可以问自己这三个问题：①我读懂每个句子了吗？②我把握所有条件了吗？（特别是定性条件和隐形条件）③我把握题目的整体结构了吗？（有必要画一个图吗？）

例6一段路程由徒弟开车需要12小时才能完成，由师父开车则需要8小时。现师父开5小时后，剩下的由徒弟接着开，他还需要开几小时？

例7一段路程由徒弟开车需要12小时才能完成，大概耗油48升;由师父开车则需要8小时，大概耗油30升。现师父开5小时后，剩下的由徒弟接着开，他还需要开几小时？

例8一段路程由徒弟开车需要12小时才能完成，现在由师父和徒弟合作开。师父开5小时后，剩下的由徒弟接着开，徒弟还需要开几小时？

例9在忙碌了一个月的工作后，师父决定带着徒弟自驾游玩几天。他们发现这段路程如果师父一个人开车，需要8个小时;如果徒弟单独开，则需要12个小时。但是如果让一个人开全程，容易造成疲劳驾驶，违反交通规则。所以，他们决定分工，在服务区交换驾驶。他们计划先让师父开5个小时，然后让徒弟开剩下的路程，那么这种情况下，徒弟要开多久呢？

设计意图：例6表面上是行程问题，实际上是工程问题;例7加入了油耗这个多余条件;例8缺少了师父开完全程要多长时间这一条件，无法解答;例9加入细节描写，增加了学生读题和回忆题目的负担。对于例8，教师可以在最后讲解的过程中，请学生发挥创造力，将条件补充完整，然后解答。这四道题目的设计主要有三个目的：一是让学生实际进行元认知监控（通过对问题的回忆）;二是了解学生应用题解决的元认知监控能力和表征策略，以便更有针对性地教学;三是让学生接触非标准题目，体会掌握问题模型策略的必要性。这一组问题的教学，关键是在学生解题的过程中，引导他们不断地自我提问，训练元认知能力。

（四）适时介入自主编题

自编应用题是根据各种应用题的情况自己选择材料、组织条件、提出问题的过程，是分析问题的一种重要思维形式。指导学生自编应用题，不仅是指导他们突破应用题难点，进一步理解数量之间相依关系的有效办法，也是提高他们思维独创性的重要途径。自编应用题的形式多种多样，大致可以分为：①通过图画或演示编题;②选择条件或问题编题;③依照课本例题编题;④给不完整的应用题填写数量、条件或问题;⑤在实践活动中编题;⑥改编原有题目;⑦根据算式或算法改编题目。此外，编制新问题的过程也依赖于元认知的参与。

教师指导学生自编应用题时要注意对学生的要求由浅入深，让学生经历从半独立到独立的过程。小学生自编应用题的能力要落后于解决应用题的能力，教师在组织教学时要注意这两种能力的落差。根据小学生善于模仿的特点，可以按照“根据情境提出问题—补充缺少的条件—改编应用题—根据算式编制应用题”的形式组织教学。实际教学中，可以采取小组教学的方式：一个小组的学生编出来的题目，由另一个小组的学生完成，并评价所编题目的好坏，形成竞争。

例10表1是红叶服装厂三个生产小组今年二月份生产情况的统计（二月份共生产22天）。请问：第一小组比第二小组平均每天多生产多少件？

小组第一小组第二小组第三小组生产服装（件）690861606776教学过程：先请学生完成这道应用题;接着请学生根据表格中的数据，仿照原问题，提出新的问题。新的问题由下一小组的学生完成，并评价所提问题的质量。

例11甲、乙两地相距480千米，哥哥、弟弟分别从甲、乙两地同时出发。已知哥哥每小时行驶50千米，请问：哥哥和弟弟经过几小时会相遇？

教学过程：先请学生完成这道应用题;当学生发现这道题目缺少条件时，要求学生补上缺少的条件，交由下一组学生回答。如果学生直接给出弟弟的速度，可以提醒学生：“如果不直接给出弟弟的速度，可不可以呢？比如，弟弟每小时比哥哥多行驶5千米。”在这一过程中，教师可以调节班级气氛，引导学生开展头脑风暴。

例12一本科技书 13.5元，一本故事书比一本科技书贵 0.8 元，那么一本故事书多少钱？

教学过程：先请学生完成这道应用题;接着要求学生改编这道题目（只要不改变科技书和故事书的单价即可）。教师可以举例“一本科技书13.5元，一本故事书比一本科技书贵0.8元，那么买一本科技书和一本故事书总共要多少钱？”，鼓励学生从增加条件、提出不同问题等角度出发改编题目。

例13请根据“22÷5=4……2”这个式子编一道应用题。

教学过程：首先请学生观察和理解这个式子，注意到这是一个有余除法算式;接着让学生设计情境编写应用题。

此外，在教学过程中，教师要注意给学生机会反思自己编制的应用题，如应用题的情境符不符合实际等。

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