逐步抽象：数学概念教学的应然

纪永海

摘要：在小学阶段，数学概念的抽象无法简单地一蹴而就，也不应该是一个“硬着陆”的过程，教师需要在直观（操作）到抽象（概念）之间架起一座桥梁，让学生经历基于直观逐步抽象的过程，实现对数学概念的建构和理解。具体可以：建立概念表象，让抽象过程“看得见”;借助数学语言，让抽象方式“摸得着”;沟通知识联系，让抽象本质“站得高”。

关键词：数学抽象数学概念小数意义

抽象是数学概念的基本特征——史宁中教授说：“抽象、推理、模型是数学基本思想的三个核心要素。”根据皮亚杰的认知发展理论，小学阶段（7—11岁），学生的思维处于具体运算阶段，认知还离不开具体事物的支持。小学阶段是学生由具体形象思维向抽象逻辑思维发展的重要时期。在这一阶段，数学概念的抽象无法简单地一蹴而就，也不应该是一个“硬着陆”的过程，教师需要在直观（操作）到抽象（概念）之间架起一座桥梁，让学生经历基于直观逐步抽象的过程，实现对数学概念的建构和理解。下面，以苏教版小学数学五年级上册《小数的意义》的教学为例进行说明。

一、建立概念表象：让抽象过程“看得见”

美国著名教育学家布鲁纳认为，儿童的理解需要经历三种表征：从动作表征到映像表征，最后是符号表征。基于這一认识，布鲁纳具体研究了数学学习过程，认为：应该按照儿童理解力的发展程度来组织数学学习，帮助儿童找到抽象概念的直观基础;根据儿童认知的具体情况，循序渐进地将直观的认识抽象化，逐步形成儿童头脑中的表象，进而形成抽象的数学知识。所谓表象，是以物理属性、几何属性为基础的表征。心理学家认为，表象以形象的形式存储，这种形象表征的求知方式往往是由具体进入抽象的开始。

《小数的意义》一课，可以把抽象的小数意义与具体、直观的刻度尺和长度单位联系起来，有效降低学习的难度：引导学生依托常见的米尺（实物或图示），结合米和分米、厘米、毫米的关系，分别用分数、小数表示多少米，从而淡化单位的作用，建立小数与分数的联系，明确形式上不同的分数和小数表示实质上相同的长度，以及小数的意义是以十、百、千……为分母的分数（即以十分之一、百分之一、千分之一……为计算单位的分数）。这里，具体、直观的刻度尺和长度单位能给学生视觉记忆刺激，让学生的体验更充分、更深刻。进而，通过知觉的理解作用，超越具体、直观的事物（动作），在思维中产生想象（映像）表征，在头脑中建立概念表象，从而将思维水平、认识层次逐渐推向“数学化”“抽象化”（即各种一般化）。

例如，在分享交流时，有学生总结道：“我发现，因为1米=100厘米，就是把1米平均分成100份，所以几厘米就表示一百分之几米，也就是零点零几米。”这里，借助由具体、直观事物建立的概念表象，学生不需要把所有不同的厘米数都试一遍，就获得了一般性的认识。

二、借助数学语言：让抽象方式“摸得着”

英国教育家迪恩斯认为，数学概念的学习是以递进的方式进行的——学习过程中，为了寻找一个共同的性质，学生往往需要在实例之间进行“转化”或“翻译”;接着，进一步陈述多种具有这种性质的实例，从而加深对共同性质的理解和掌握;最后，需要用恰当的语言描述发现的性质。在概念表象的基础上，需要对已有经验进行概括，才能形成抽象的数学概念。这时，就需要借助必要的数学语言（包括文字、图像和符号语言等）对已有经验进行刻画，沟通具体、直观与抽象、普遍。

《小数的意义》一课，学生借助常见的米尺，结合米和分米、厘米、毫米的关系，写出对应的分数与小数后，教师要引导学生把具体、直观的几何特性，如5分米=510米=0.5米，9厘米=9100米=0.09米，3毫米=31000米=0.003米，“翻译”成更为抽象、普遍的代数特性，如（）10米就是零点几米，（）100米就是零点零几米，（）1000米就是零点零零几米，从而发现小数共同的特征：分母是10、100、1000……的分数才能写成小数。

当然，这个发现还不完善，教师有必要引导学生继续横向、纵向仔细观察、比较图1所示的分数和小数，思考、描述小数的意义，

1分米=110米=0.1米1厘米=1100米=0.01米1毫米=11000米=0.001米

7分米=710米=0.7米9厘米=9100米=0.09米3毫米=31000米=0.003米

9角=910元=0.9元47厘米=47100米=0.47米999千克=9991000吨=0.999吨

……7平方分米=7100平方米=0.07平方米……

图1如十分之几表示一位小数，百分之几表示两位小数，千分之几表示三位小数……这样形成的小数的意义，不是死记硬背的教条，也不是简单机械的模仿，而是真实观察、反思后的成果。

三、沟通知识联系：让抽象本质“站得高”

《义务教育数学课程标准（2011年版）》强调：“数学知识的教学，应注重学生对所学知识的理解，体会数学知识之间的关联。……数学知识的教学，要注重知识的‘生长点’与‘延伸点’，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构与体系，处理好局部与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解。”用语言描述的数学概念，在学生的认知结构中只是一个节点，还需与其他节点建立联系，才能真正融入已有的认知结构中，才算完成建构与理解——这是最高层次的抽象。

《小数的意义》一课，学生认识了具体情境中的小数，那这个小数到底表示什么意思呢？这节课学习的小数和三年级学习的小数有什么区别呢？小数意义的建构与理解，需要进一步经历联系新、旧知识的环节，充分、深刻认识小数和分数究竟是什么关系。为此，可以设计如下“意义升华”的教学环节：

1.谈话：刚才借助很多计量单位认识了小数，我们还可以借助图形来研究。

提问：（出示图2）每个图形都表示整数“1”，你会用分数和小数把涂色部分表示出来吗？

学生独立完成，教师指名核对。

追问：这和刚才大家的发现一致吗？

追问：谁知道空白部分用什么小数来表示吗？

2.提问：如果没有计量单位、没有图形，你能说出这些小数表示什么意思吗？

预设：0.3是把整数“1”平均分成10份，表示这样的3份。0.57是把整数“1”平均分成100份，表示这样的57份。0.991是把整数“1”平均分成1000份，表示这样的991份。

710（0.7）43100（0.43）91000（0.009）图2数形结合以及进一步去掉实际背景，帮助学生在更为抽象的层面上理解小数与十进分数之间的关系，将小数的意义从具体的量上升到更抽象的数，获得更加丰富、深刻的理解，更为牢固的记忆，为后续“小数的计数单位”“数位顺序”“四则计算”等内容的学习奠定基础。

在数学概念逐步抽象的过程中，学生能够用与他们认知特征相适合的形象表征方式进行探索，用自己的数学眼光发现其中的空间形式或数量关系，用自己的数学语言概括其中的数学本质;在对问题的解释、判断与推理中，在师生、生生之间的对话、交流中，将数学与现实以及新、旧知识融合在一起，真正达到对数学抽象的认识和理解。