核心素养导向的小学数学教学原则

任卫兵

摘要：以核心素养为导向的小学数学教学，需确立从抽象化走向情境化、从零散化到结构化、从验证式到探究式、从细小步骤分解到完整问题解决等教学原则。这些教学原则既是对数学学习各要素关系的把握，也是对“三会”的一种诠释与回应。

关键词：数学核心素养情境结构探究问题解决

《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出：“提升学生的数学素养，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界。”这“三会”被视为“概括数学学科核心素养的精髓”。“三会”的提出给小学数学教育带来了哪些启示？核心素养导向的小学数学教学应该遵循哪些原则？本文结合对学习理论的学习与理解以及对小学数学课堂教学的观察与实践，提出一些想法，供大家评鉴。

一、从抽象化走向情境化

史宁中教授认为，数学抽象就是从现实世界进入数学内部，让学生学会用数学的眼睛看。作为高中数学六大学科核心素养之一的“数学抽象”，理应在日常的高中数学教学中得到落实。然而，根据小学生的年龄、心理特征以及以“兴趣”为主的学习特点，单纯地对数学学习内容作“抽象化”处理，是不利于小学生数学能力的发展的。唯有创设有价值的问题情境，把数学知识融入情境之中，方有助于形成新知识的固着点，增进小学生对数学知识的理解和建构，促进对数学知识的运用和发展，发展关键能力和必备品格。在一定的问题情境中，学生能认识到数学知识的作用，利用数学知识理解、表征、分析、解决问题，提升思维能力，不断感悟数学的科学价值、应用价值和文化价值。

【案例1】人教版小学数学六年级上册“神奇的单位‘1’”教学片段

（课件播放“抢运石灰”的故事——一天，工地上空突然乌云密布，眼看一场暴风雨就要来了。小猪盼盼想起刚买的18吨石灰还堆在山脚下，便急忙让小熊力力派车运送。“可是……大车都出去了！现在只剩下一辆小车了。”力力面露难色。“若用这辆小车运，得运多少次？”“12次。”“这可不行！你快去调一辆大车。”“用大车运也要4次。”“那就大车小车一起运，怎么样？”力力想了想，有些犹豫：“不行，不行，我只用大车运！大车小车一起运，反倒耽误事。” ）

师故事听到这儿，你有什么想说的？

生力力的想法肯定是错误的，两辆车一起运，肯定比一辆车运的次数少。

生两辆车一起运，相当于用一辆更大的车运，肯定运得快！

师估一估，需要多少次？

生小车12次运完，而大车4次运完，说明大车运1次，小车要运3次。一起运应该比4次少。

生我觉得应该是3次。大车运1次的货物，小车正好要运3次，所以，应该是3次。

师其他同学是怎样想的？

生我是通过计算的。

师这里的数据比较特殊，正好可以推理。究竟对不对呢？我们还是要通过计算来解决问题。

上述案例中，教师通过创设“抢运石灰”的故事情境，一方面降低了学生的认知起点，使学生能自觉应用已有的知识、经验对故事情境中的问题提出自己的想法;另一方面寓数学问题于比较复杂的故事情境，需要学生分析、评价和创造，而不是简单地记忆、理解和应用，培养了学生的高阶思维。而且，在后续的教学中，还可利用这一故事情境，通过“改编故事，引发猜想”（把石灰的总数变成36吨、50吨等）、“再编故事，建立模型”（根据算式“1÷14+112”编一个故事）等环节，不断提高学生综合运用知识解决问题的能力。数学核心素养是在学生与问题情境持续有效的互动中生成的。

经合组织（OECD）对核心素养特征的描述是：“多功能的、跨社会领域的、蕴含对生活的行动、反思和责任的高阶心智复杂性的……”它强调素养的形成与发展只能在真实的情境之中。“情境是学生认知的桥梁，也是知识转化为素养的桥梁”。情境中没有嵌入对知识结构的深度理解只会导致肤浅的体验;而不依托情境的知识学习则会因为缺乏情境体验或体验过程有缺省，只能获得无法迁移的惰性知识。因而，对于小学数学教学来说，不仅要让学生学习如何数学化、抽象化，也要让学生有大量的机会去体会如何解释、如何猜测、如何变式、如何拓展——这才是真实、完整的数学学习生活。

二、从零散化走向结构化

知识结构化是现代学习理论极其强调的一个学习特征。为什么结构对学习如此重要？这是因为人的大脑天生就是建构结构、建构模式的器官。散乱的知识不利于记忆、理解、迁移。卓越的学习者，其头脑中的知识组织是结构化的。约翰·D.布兰思福特认为，专家比新手更有可能识别有意义的信息模式;因为能够识别有意义的信息模式，专家可以在“更高的层面”上开始解决问题。模式识别是增强信息理解能力的重要策略。越是能建构出模式，理解能力就越高，认知水平就越高。小学数学教学应该尽量降低知识零散化倾向，使学生有时间进行有意义的知识组织，学会提炼数学知识结构，这对于学生为未来学习和工作做准备能力的培养是十分有利的。要切实减轻学生的数学学习负担，就要设法帮助学生建立起数学知识间的联系，提炼出合理的知识结构。

【案例2】人教版小学数学四年级下册“数学广角——鸡兔同笼”教学片段

教师引导学生探究得到“鸡兔同笼”的两种解法（列表和假设）之后——

1.算法比较。

（1）反思对比：刚才交流的两种方法，各有什么特点？（引导学生发现，第一种方法是先满足一个条件，第二种方法是把两个未知量假设成一个未知量。）

（2）优化算法：通过比較，你们更喜欢哪种算法？

（3）尝试解答：现在你们能独自解答《孙子算经》中的“鸡兔同笼”原题了吗？（组织学生展示解答过程，汇报交流。）

2.完善模型。

（1）资源链接：不仅我们中国，其他一些国家也曾专门研究过“鸡兔同笼”问题。（课件依次出示——日本的“龟鹤问题”：有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共112条，龟和鹤各有几只？美国民谣：一个老酒鬼，名叫巴特恩，吃排骨和肉片，共用钱九角四分。每块排骨一角一，每片肉价只七分，排骨带肉片吃了整十个，问问你：我们的巴特恩吃了几块排骨、几片肉？）

（2）问题迁移：日本“龟鹤问题”中的“龟”相当于“鸡兔同笼”问题中的什么？鹤呢？……

（3）完善模型：古今中外这些“鸡兔同笼”问题，都有一些什么特点？（引导学生提炼出：都有两个未知量，而且满足两个条件。）基本的解题方法是怎样的？（引导学生提炼出：把两个未知量假设成一个未知量。）

上述案例中，教师通过比较中外“鸡兔同笼”问题以及生活中一些相关问题的特点，使学生发现这些数学问题都有共同的本质特征（即都有两个未知量，而且满足两个条件）;同时，通过比较解决这类问题的不同方法（哪些方法具有普遍性，哪些方法具有内在的联系），使学生逐步建立数学模型（即把两个未知量假设成一个未知量），从而提升学生解决问题的能力。

当然，学生提炼数学知识结构的过程不是自发的，而是需要教师有意识引导的。教师除了在日常教学中注意呈现完整的数学知识结构之外，还可引导学生在单元学习前先整体把握一下整个单元的知识结构，在课堂练习时先尝试把习题分一分类并反思一下习题所涉及的具体知识点，在单元学习后尝试用图、表的形式梳理、沟通所学的内容等。通过交流、评析、调整、优化等手段，帮助学生逐步学会剥离具体的经验，概括出知识的本质。只有多经历这样提炼知识结构的过程，并形成一定的个体经验，学生才能真正地从零散的知识丛林中“站起身来，环顾四周”，达到更高的理解层次。如果能够达成对数学知识的整体把握及灵活应用，他们就将进入一种智慧的状态。

三、从验证式到探究式

无论数学，还是其他学科，其内在建构的路径都大致经历了从问题研究到研究领域再到基本研究范畴的演化，但是学科一旦建立起来，则遮蔽了知识创生时的“火热的思考”，而呈现出知识创生后的“冰冷的美丽”。因此，知识教学需要遵循知识创生的时序性，让知识学习成为发现之旅，变外在的“冰冷的美丽”为内在的“火热的思考”。只有让知识学习的过程变成主动探索的过程，学生所学的知识才能与自身的经验与体悟对接、贯通起来，才能成为他们自己观察事物、思考问题的认知框架。这一过程最佳的教学方式就是自主、合作、探究。其基本路径则是教师逻辑地重组、再现知识的发展脉络，将学生导入其中进行各种猜想与尝试的“做中学”与“悟中学”，通过分析、思考、质疑、批判，“重新发现”知识。

【案例3】人教版小学数学四年级下册 “三角形内角和”教学片段

师回忆一下，我们是怎样研究三角形的内角和的？

生我们是用量、拼、折等方法来验证三角形的内角和是180°的。

师300多年前，一个名叫帕斯卡的法国男孩独自发现了任何一个三角形的内角和都是两直角。想知道他是怎样发现的吗？

（课件播放展示资料——有一天帕斯卡问父亲：“什么是几何？”父亲很简单地回答说：“几何就是教人在画图时能作出正确又美观的图。”于是帕斯卡就拿了粉笔在地上画起各种图形来。画着画着，12岁的帕斯卡发现任何一个三角形的内角和都是两直角，也就是180°。以下便是帕斯卡的推想过程——从直角三角形的内角和到长方形的内角和，如图1;从锐角、钝角三角形的内角和到直角三角形的内角和，如图2。）

图1图2

师你们知道帕斯卡是怎样通过长方形的内角和推想出直角三角形的内角和的吗？他又是怎样推想出任意三角形的内角和的呢？请大家先独自想一想，再小组交流。

生因为任何两个完全一样的直角三角形都可以拼成一个长方形，长方形的内角和是360°（4个直角），所以每个直角三角形的内角和是180°（2个直角）。

生因为钝角三角形可以分成两个直角三角形，两个直角三角形的内角和是180°×2=360°，其中两个直角正好拼成一个平角（180°），所以钝角三角形的内角和是360°-180°=180°。

生不管钝角三角形，还是锐角三角形，都可以分成两个直角三角形。因为每个直角三角形的两个锐角的和都是1个直角，钝角三角形或锐角三角形的内角和包括两个直角三角形的所有锐角，所以无论哪种三角形的内角和，都是2个直角，也就是180°。

师为什么要把两个直角三角形拼成长方形，把钝角或锐角三角形分成两个直角三角形呢？

生这是把未知的知识转化成已经知道的知识。

师把未知转化成已知是一种很重要的数学思想。再来看看当年12岁的帕斯卡的推想过程……

上述案例中，教师变“实验验证三角形的内角和是180°”为“推理探究三角形的内角和是多少”，通过再现12岁的帕斯卡发现三角形内角和的故事，激起学生的探究欲望;通过方法引领、自主推想、质疑问难、补充完善，使得学生的数学思考、理性思维“恣意”生长，从中感悟“转化”的数学思想。学生发现，无论三角形内角和的规律，还是平面图形面积的推导，都是建立在“转化”这一数学思想基础上的。而這种数学思想统领下的知识建构正是一种高观点下的知识建构。教学中，教师不仅关注了显性的事实或概念性知识，更关注了“如何知”（探索推想的方法）与“为何知”（体会转化的价值），使本课知识呈现一种由显性的事实性知识与隐性的方法性知识、价值性知识相融合的层级结构。

从验证式走向探究式，用学科思想或价值观引领小学教学，教师要把握以下操作要义：一是整体备课，一方面梳理出有哪些大观念、大概念，另一方面思考其中哪些是值得学生深入理解的内容，其教育价值是什么，哪些内容会让学生觉得有意思、有意义、有意蕴。二是从学科思想或价值观的角度设计问题。尽管这样的教学具有一定的挑战性和开放性，但是其更利于学生将外在的知识转化为自己的素养。

四、从细小步骤分解到完整问题解决

素养是旨在达成特定领域有效的、具身的人类活动而由知识、技能、理解、价值、态度和期望所构成的复杂联合体。素养的特性要求素养的发展必须有体之于身的实践意义。因此，指向核心素养发展的数学教学应当让学生直面复杂情境中的数学问题，通过自主探究、合作交流，梳理出解决问题的路径，确定好时序性（先解决什么问题，再解决什么问题），并能够说清楚来龙去脉，利用有“长度”的教学达成“有深度”的教学，让学生真正经历完整的问题解决过程。当前的小学数学教学更多采用的是一种路线学习而非地图学习。路线学习，顾名思义是按照指定的路线开展的学习活动，特点是精确性较高，但是开放性不足;而地图学习则是尽量让学生获得一种总体印象，经历一种真实的问题解决过程，具有复杂性及个性化的特点。考虑到班级授课制的实际情况，一味地摒弃路线学习，崇尚地图学习是不现实的。我们主张在保持路线学习精确、简约特点的同时，为学生多提供一些地图学习的机会。

【案例4】人教版小学数学五年级上册“游戏的公平性”教学片段

教师出示问题：“小巧和小胖约定，如果掷出2个骰子的点数和是5、6、7或8，就算小巧赢，否则，就算小胖赢。你觉得这个游戏规则公平吗？为什么？”让学生独立解答。大多数学生在2分钟时间内都给出了正确的解答：4+5+6+5=20，36-20=16，20>16，所以这个游戏规则不公平。

为什么学生会有如此“惊人”的表现呢？原来，教师在让学生解答这道题之前，已经带着学生依次解决了三个子问题：（1）同时掷出2个骰子，可能出现几种点数和？（2）每种点数和出现的可能性各有多少？（3）5、6、7和8出现的可能性总计多少？其他点数和出现的可能性总计多少？

上述案例中，教师根据“游戏公平性”的总问题，细致地分解出子问题3、子问题2和子问题1，并调整顺序让学生逐一解决。这一教学方式是典型的路线学习模式：学生沿着教师所规划、设计的路线一路学习下去。这样的学习经历对于学生数学核心素养的发展是不利的。教师应该让学生直面“游戏公平性”的总问题，通过自主探究、合作交流，梳理出需要解决的子问题，确定好解决顺序，说清楚来龙去脉。这样的地图学习较之路线学习可能难度大、耗时多，但能突破问题的表层，让学生体会、领悟问题解决背后的综合分析法及化归思想。

总之，以核心素养为导向的小学数学教学，需要建立数学学习各要素之间的联系。从抽象化走向情境化，即理清情境与知识之间的关系，寻求情境体验与知识理解之间的平衡;从零散化到结构化，即把握知识与核心知识、模型（结构）之间的关系，达成对知识的整体把握和灵活应用;从验证式到探索式，即融通事实性知识、方法性知识与价值性知识之间的关系，实施最佳的自主、合作与探究教学方式;从细小步骤分解到完整问题解决，即辩证地处理好路线学习与地图学习之间的关系，充分促进深度学习……以上教学原则不仅是对数学学习各要素关系的把握，而且是对“三会”的一种诠释与回应。

參考文献：

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[2] 安桂清.基于核心素养的课程整合：特征、形态与维度[J]. 课程·教材·教法，2018（9）.

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