基于“问题解决”的小学数学深度学习

朱红伟

摘要：深度学习是可以通过问题解决得以实现的。在梳理小学数学教学中“问题解决”内涵的基础上，提出基于“问题解决”的小学数学深度学习方式——发现问题：创设真实情境，生成非良构问题;提出问题：明确目标指引，以评价提高问题质量;分析问题：建立操作序列，深度理解和组织信息;解决问题：深化内在联系，从方法到思想进阶。

关键词：问题解决深度学习小学数学

深度学习是指学习者在理解学习的基础上，批判性地学习新的思想和事实，将它们纳入原有的认知结构中，并且能够联系不同的内容，将已有的知识迁移到新的情境中，做出决策和解决问题的学习。深度学习是一种理念，更是一种方式。从学习目标的角度来看，布卢姆将认知过程目标分为知道、理解、应用、分析、综合、评价六个层次，其中，“知道”和“理解”这两个层次主要要求学生记住所学知识并能用自己的语言进行转述，属于浅层学习范畴;而“应用”“分析”“综合”和“评价”这四个层次则要求学生具有将所学知识应用于新的情境，对知识进行分解和重组，解决现实问题，以及依据一定的标准对事物进行价值判断的能力，这就属于深度学习的范畴。

“深度学习强调对知识的深层加工、深度理解及长期保持，善于自主建构且能够迁移应用并在真实情境中解决复杂问题”说明深度学习是可以通过问题解决得以实现的。对小学数学教学来说，“问题解决”是联系数学知识与现实世界的桥梁，是一种体现深度学习理念的学习方式。

一、小学数学教学中“问题解决”的内涵

小学数学教学中的“问题解决”包括从数学的角度发现、提出、分析和解决问题四个方面，它有着丰富的内涵。

第一，“问题解决”是应用数学的过程。美国数学指导委员会（NCSM）在《21世纪的数学基础》中指出：“问题解决是把前面学到的知识运用到新的和不熟悉的情境中的过程。”

第二，“问题解决”是应用数学的能力。英国的考克罗夫特（W.H.Cockcroft）等人称：“那种把数学用于各種情况的能力，我们叫作问题解决。”

第三，“问题解决”是数学学习的目的。美国学者西尔弗（E.A.Silver）指出：“20世纪80年代以来，世界上几乎所有的国家，都把提高学生的问题解决能力作为数学教学的主要目的之一。”《义务教育数学课程标准（2011 年版）》中的课程总目标便包括了“问题解决”的方面：“初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。”

第四，“问题解决”是一种基于主动探究的认知方式。作为获取知识的问题解决，就是将概念、定理的生成转化为问题解决的过程，使得所学的知识不仅仅停留于“知道”的层面，而是在“理解”“分析”“综合”“应用”的循环过程中批判性地接受并进行深入的思考。在加涅最初提出的学习等级分类中，这种认知方式的优势在于能够有效地促进知识的理解和意义的建构。

第五，“从数学的角度”很重要。数学教学应该创设各种情境，让学生观察、思考，使他们在面对各种现象时都有机会“从数学的角度发现和提出问题”——不是数学习题那种专门为复习和训练而设计的问题，也不是仅仅依靠记忆题型和套用程式就能解决的问题，而是展开数学教学的和应用数学解决的“问题”，它往往与生活、生产实际相联系，能够增强应用意识，提高实践能力。

第六，解决别人提出的问题固然重要，但是，自己发现和提出新的问题更加重要。这是因为创新始于问题的发现与提出：在分析问题和解决问题时，其中的“已知”和“未知”都是清楚的，需要的是利用已有的概念、性质、定理、公式、模型，采用恰当的思路和方法得到问题的答案;但是，对于发现和提出问题而言，其中的“已知”和“未知”都是不明晰的，所以难度更大。发现问题，需要运用多方面、多角度的数学思维，从表面上看起来没有关系的现象中找到数量或空间方面的某些联系或矛盾，并把这些联系或矛盾提炼出来。而提出问题，需要在已经发现的问题的基础上，把找到的联系或矛盾用数学语言集中地以“问题”的形态表述出来。

二、基于“问题解决”的小学数学深度学习方式

从“问题解决”的四个方面加以考量，创设真实而复杂的问题情境，有利于产生非良构的数学问题。其没有固定的解决方式，通常需要综合运用各类学科知识，从而使数学学习进入深度学习范畴;引导学生提出有价值的问题，进而形成一定的分析问题和解决问题的能力，使学生批判性地建构新知识，将所学的知识迁移运用到新情境中，有利于促进学生的深度学习。

（一）发现问题：创设真实情境，生成非良构问题

深度学习是一种主动的、带有批判性思维性质的建构主义学习过程，其目的不是单纯地、被动地记忆和理解所学知识，而是能够将新知识与已有知识有效地联系起来，并且能够应用所学知识在真实复杂的情境中解决现实存在的问题。那么，以真实复杂的问题情境取代传统教学中相对封闭的问题情境，便是实现展开深度学习的第一步。

依据结构性的不同，乔纳森将问题分为良构的和非良构的。良构问题一般有规范、明确的已知条件，至少一套完整的解决方法或规则，且存在有限的正确答案。相反，非良构问题通常与具体情境联系紧密，只有模糊的已知条件，没有明确的解决方法或规则，且答案多呈开放性。在现实生活中，我们常常面临很多非良构问题。这就要求我们将学习深度化，利用所学知识，结合具体情境，探索一种全新、合适的解决问题的路径。

比如，教学“经过时间”时，教师可以链接生活实际，给出如图1所示的从苏州到北京的列车时刻信息，提供真实的学习素材。其中有丰富的数学信息、突出的学习主题，教师可以根据需要遮挡、显现某些信息，引导学生发现问题、提出问题。

图1

（二）提出问题：明确目标指引，以评价提高问题质量

“提出问题”是指基于特定情境（问题情境）形成（或再形成）和表达（或再表达）问题（或任务）的活动。如此，传统数学课堂中，教师出示几个条件，让学生由此提出一些数学问题，并不是深度学习意义上的“提出问题”。再者，课始，教师出示课题，让学生由此提出一些想要了解的问题，也不是课程目标意义上的“提出问题”。

蔡金法教授等通过中美学生的对比发现，中国学生相比美国学生在解决问题方面表现出很大的优势，但在提出问题方面的表现却没有优势，甚至是劣势。对此，教师是否给予了学生更多的提出问题的机会，是否有比较恰当的引导提问的方法，是否能通过评价提高学生提出问题的质量，是几个值得关注的教学要素。教师唯有增强教学活动中的“问题意识”，方能引导学生“在数学领域和之外，在不同的广泛情境下提出有趣的数学问题”。

1.适当留白，引导学生提出问题。

提问时适当留白，可以让学生在提出问题时有所参照。例如，“百分数”实际问题：

动物摄影师尚·巴提历经一年的考察，拍摄了许多成年企鹅和企鵝宝宝的照片。他对不同企鹅族群的数量增长特别感兴趣。

他发现，正常情况下，一对企鹅夫妇每年产两只蛋。通常只有从较大的蛋中孵出的企鹅宝宝能够存活。对于跳岩企鹅来说，第一个蛋的重量约为78 g，第二个蛋的重量约为110 g。

问题1：第一个蛋的重量是第二个蛋的百分之多少？

问题2：第二个蛋约比第一个蛋重百分之多少？

问题3：你还能提出什么问题？

学生根据前两个问题能进一步提出：第二个蛋的重量是第一个蛋的百分之多少？第一个蛋约比第二个蛋轻百分之多少？虽然看似相差无几，但是计算方法与结果都完全不同，有助于学生进一步理解和认识百分数的意义及计算。

2.抓住机会，引导学生质疑问难。

在学习过程中，由思维碰撞产生的问题指向性明确，具有批判性和独立性，能够引领学生的思维走向深处。例如，长方体和正方体的表面积计算问题：

如下页图2，将一个棱长为3厘米的正方体切分成27个棱长为1厘米的小正方体，表面积比原来增加了多少？

图2

学生最容易想到的方法是，求出原来正方体的表面积和27个小正方体的表面积，再求差。此时，可以展示不同的解答思路，如3×3×6×2，让学生进行提问。学生会提出以下问题：（1）为什么要用大正方体一个面的面积乘6？对此，引导学生理解“切了6次”。（2）最后的“×2”算的什么？对此，引导学生认识到：切1次增加了2个面的面积。

（三）分析问题：建立操作序列，深度理解和组织信息

“问题解决”不是一蹴而就的，它是一个复杂、动态的过程，需要由一系列的心理操作来完成。这些心理操作具有序列性和系统性，由不同的操作序列形成的解决问题的方法和途径都各不相同。这样的操作序列体现在分析问题的过程中。

从解决问题的步骤来看，收集和理解信息是第一步，需要学生有较强的信息解读能力和从“实际问题”中抽出“数学问题”的能力。准确地获取信息，正确理解信息与信息、信息与问题之间的关系，有利于学生表征问题，顺利实现问题的转化。

1.信息分散：指导学生全面分析。

对于如图3所示的图文结合的实际问题，要引导学生有序地读题，既看文字中的条件，也看图片中的条件，并将文字中的条件和图片中的条件相对应，理清解答思路。

图3

2.信息量大：指导学生运用方法。

对于如图4所示的信息量非常大的实际问题，在解答第（1）小问时，可以引导学生先只关注东、西部的耕地情况，根据问题收集、整理相关的信息，必要时进行圈画、连线或列表等辅助操作。

4. 下表是我国东、西部地区各类土地资源面积分别占全国同类土地资源总面积的百分数。

（1） 我国的耕地大部分在东部地区还是西部地区？林地呢？

（2） 写出东部地区和西部地区耕地面积的比。

（3） 从表中还能获得哪些信息？你还能提出哪些问题？

图4

3.信息抽象：指导学生借助直观。

对于如图5所示的比较抽象的行程问题，学生将所有信息在头脑中进行想象和组织有一定的困难，教师应该引导学生有意识地通过画示意图、模拟操作等将信息直观化，从而弄清条件信息中的数量关系。

图5

（四）解决问题：深化内在联系，从方法到思想进阶

“问题解决”是在一定的认知成分基础上展开的。从纷繁复杂的实际问题中筛选出有用的信息并抽象成数学问题，这是第一个转化;分析数量关系，用数学方法求解并在实际中检验，这是第二个转化。掌握解决问题的方法、形成一定的解题策略、感悟数学思想方法，是提升解决问题能力的重要方面。

1.方法：从“举三反一”到“举一反三”。

“举三反一”就是追求解决问题的“结构化”。借助“结构化”，学生能将模型应用于新的问题情境中，达到举一反三的目的。例如：

原型王老师买了5套《童话故事》，每套75元，又买了3套《科幻故事》，每套95元。一共要付多少元钱？

数量变换李老师买了3个足球，每个68元，还买了7个篮球，每个46元。一共要付多少元钱？

情境变换张大伯种梨树和苹果树各4行，梨树每行30棵，苹果树每行26棵。一共种了多少棵树？

两积之和的数量关系a×n+b×m=c是小学数学中应用范围相当广泛的一个数学模型。当两个积中各有一个因数相等时，设n=m=x，ax+bx=c就是它的一个典型变式。因此，“两积之和”是必须“有限覆盖”并且给予重点关注的数量关系。

2.思想：从“舍本逐末”到“逐本舍末”。

教学“探索规律”和“解决问题的策略”这两部分内容时，常有教师囿于各式各样的习题，认为每道题都是一种不同的方法，每道题都需要讲解，于是情境频繁更换，规律无法形成，策略得不到提升。

实际上，数学思想蕴含在数学内容形成、发展和应用的过程中，起着关键和核心作用，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，是对数学事实与理论的本质认识。数学思想具有“潜在性”和“持久性”。教师应该引导学生通过对知识本源的探寻和追溯来感悟和体验数学思想，从感性的教学素材中抓取理性的数学本质，通过抽象、分类、归纳、演绎、模型等，使数学知识和方法升华为数学思想，最终达到“以一抵百”的教学效度。

例如，教学“搭配问题”时，首先创设一个衣服配裤子的生活情境。对此，学生是有经验的并且是“可感”的。随后，让学生想办法表述出自己的搭配方法。这时，由于学生的思维水平不同，就会出现多种表达：有的用文字叙述，有的用“黄”“红”等简单的汉字表示衣服、裤子后连线表示，有的直接用符号来表示。事实上，表示问题的连线图已经摆脱了生活背景，抽象为两类事物搭配的一种模型了。在教师有目的的分层展示过程中，学生经历抽象的简约阶段和符号阶段。这时，教师再通过增加1条裤子或1件衣服，来使一个自变量不变，另一个自变量变化，引起因变量变化，促使学生离开实物操作，借助相对抽象的连线图，发现数量之间的关系，学生很快就能将这种关系与乘法模型建立联系。以此为基础，将多个实例进行同类对比，就能去除该类问题的非本质属性，推而广之，归纳出更为一般化的“乘法原理”，达到抽象的普适阶段。

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