“九连环”里有“大学问”

姚从昌

摘要：我尝试着从数学中“数”的角度来研究“九连环”，每练习一次，就用笔记录下来……一位同学感慨地说：“老师，我发现刚才我们用到了寻找数规律的方法，还用到了时间单位的转换，最后还运用了估算，小小的“九连环”里面真是藏着‘大学问’哪！”

关键词：益智器具;九连环;解环;上环

正文：益智器具，顾名思义，是指有益于开发心智的小玩具。就拿小小的“九连环”来说，要想玩转它，亦需动手烧脑，颇费一番周折呢。但玩在其中，学在其中，也乐在其中，所以，益智器具“九连环”课程在我们班级一推出，就受到了学生的极大欢迎。课堂上，同学们凝神屏气，巧手翻飞，收获着探索的快乐和成功的喜悦。

教学相长，授之以鱼，莫若授之以渔。作为一名数学老师，又是学校“九连环”益智器具课的主教老师，我巧妙地把数学思维引入教学中，提前钻研，一遍遍地练习推算，把“九连环”的解法彻底吃透摸清，终于成功实现了用最少步骤进行解环和上环。

我尝试着从数学中“数”的角度来研究“九连环”，每练习一次，就用笔记录下来，几次统计后，我惊奇地发现“九连环”解环成功都需要256步。我查阅了有关资料进行验证，发现传统的算法都是341步。85步之差，问题到底出在哪里？通过反复比较，我发现传统的算法是把第一环和第二环同时拆装看做两步;而我则是把第一环和第二环同时解下看做一步。原来殊途同归，原理相同，仅在计算方法上存在差异。

紧接着，我对每一个解环过程做了进一步的推算，竟然发现小小的“九连环”深藏着有趣的规律性。从奇数连环入手，我发现解一连环需1步，解三连环需4步，解五连环需16步，解7连环需64步，而解九连环需256步，即每增加两连环步数需要乘4。如果是偶数个连环，解二连环需1步，解4连环需7步，解6连环需31步，解8连环需127步，每增加两连环步数乘4加3。如图：

如此，就可轻易地推导出解每个环的步数公式。即解一连环为2的0次方，三连环为2的2次方，解五连环为2的4次方，解七连环为2的6次方，解九连环为2的8次方，用公式表示为：S=  （n为奇数）;偶数个连环时，解的步数为上一级奇数连环环的步数除以2减1，是下一级奇数连环的步数乘2减1，我们可以用公式来表示：S=  -1  （n为偶数）。

后來，我又经过深思熟虑从其他角度，又可推演出新的计算公式：S=  （n为奇数），S=2 -1  （n为偶数） 。

推导出以上两种公式，心中豁然开朗，小小的“九连环”原来和数学有着如此密切又深远的联系。但面对小学六年级的学生，对完全平方数理理解尚不深不透，如何把此间的关系明白透彻地教给学生，引导他们合理推算，积极探索，享受发现的快乐，而不是“填鸭式”地硬塞硬灌，又是教学方式上面临的一个问题。

我决定利用学生熟知的统计表寻找规律的方式灵活进行教学。当我们统计出解下五连环的步数是16时，学生很快就推算出：七连环的解下步数是五连环步数的4倍，即16×4=64，九连环的解下步数是七连环的解下步数的4倍，即64×4=256。在算六连环，八连环的解下步数时，学生遇到了一些困难，但是也能推算出来六连环的解下步数是解五连环步数的2倍减1，即：16×2-1=31，八连环的解下步数是解七连环步数的2倍减1，即：64×2-1=127。

举一反三，紧接着，我引导学生尝试推算，解下“十连环”最少需要的步数。学生们立刻计算出来：256×2-1=511，接着追问，解下“十一连环”最少需要多少步？学生也能计算出：256×4=1024……解下“十五连环”最少需要多少步？256×4×4×4=16384……解下“十九连环”最少需要多少步？16384×4×4=262114，当学生算出后，面对如此大的数字，禁不住连连惊叹。

我进一步引导学生，按照班里学生最快的速度——田佳欣用时4分23秒（比吉尼斯世界纪录3分57秒仅慢30秒），解“十九连环”需用多长时间？学生马上开始算起来：4分23秒等于263秒，263秒完成256步，大约1秒解下1步。一共用时：262114÷60÷60≈73（时），不吃不喝不休息，手以最快的速度，还不出现错误的前提下，比3天的时间还要长……当学生算出来以后，像发现了新大陆似的，教室内瞬间气氛爆棚，学生的情绪完全被点燃，每个人都沉浸在探索的快乐中。

总结发言时，一位同学感慨地说：“老师，我发现刚才我们用到了寻找数规律的方法，还用到了时间单位的转换，最后还运用了估算，小小的“九连环”里面真是藏着‘大学问’哪！”

是啊，岂止小小的“九连环”里面有“大学问”，其他益智器具里面也有“大文章”，只要我们善于观察，勤于动脑，就能发现益智器具与数学的结合点，就能发现益智器具里面数学的奥秘，最终实现学生智力和思维能力提高的目的。

本文为聊城市教育科学规划课题《基于中国传统益智器具教学的小学数学思考力培养的实践研究》（课题立项编号为：LJ1901015 ）的阶段性研究成果。