注重挖掘“题根”，理解数学内涵

何 勇

(江苏省无锡市太湖格致中学 江苏 无锡 214000)

数学课本中的例题具有示范性、典型性和探究性，是课本的精髓．浏览近几年全国各地的中考数学试卷，很多试题来源于课本，“题在书外，根在书内”.因此，在平常学习过程中充分重视和挖掘课本中例题的潜在功能，适当加以拓展延伸，可以达到事半功倍的效果．现以苏教版九年级上册课本上的一道例题为例，对它的一些变式进行探究，来解决相似图形变化中的一些重点问题.

1.原题呈现

原题(苏科版教材九下第72 页例2)

如图，AF是△ABC的高，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC,DE交AF于点G，设DE=6，BC=10，GF=5，求点A到DE、BC的距离．

2.例题改编

变式1、有一块三角形的余料ABC，要把它加工成矩形的零件，已知：BC=8cm，高AD=12cm，矩形EFGH的边EF在BC边上，G、H分别在AC、AB上，设HE的长为ycm、EF的长为xcm

(1)写出y与x的函数关系式．

(2)当x取多少时，EFGH是正方形？

【思路点拨】 (1)先由BC=8cm，高AD=12cm，HE的长为ycm、EF的长为xcm，可知，AK=(12﹣y)cm，HG=EF=xcm，再根据HG∥BC可知，△AHG∽△ABC，由相似三角形的对应边成比例即可得出y与x的函数关系式；

(2)根据正方形的性质可知y=x，再代入(1)中所求的代数式即可得出结论．

【说明】本题难点是将相似的性质和一次函数相结合，根据相似三角形对应高的比等于相似比，找出相似三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．

变式2、一块三角形废料如图所示，∠A=30°，∠C=90°，AB=12．用这块废料剪出一个矩形CDEF，其中，点D、E、F分别在AC、AB、BC上．要使剪出的矩形CDEF面积最大，点E应选在何处？

【思路点拨】首先在Rt△ABC中利用∠A=30°、AB=12，求得BC、AC的长，然后根据四边形CDEF是矩形得到EF∥AC从而得到△BEF∽△BAC，设AE=x，则BE=12﹣x．利用相似三角形成比例表示出EF、DE，然后表示出有关x的二次函数，最后求二次函数的最值即可．

【说明】本题难点在于利用相似三角形的性质得到矩形CDEF面积表达式，解题的关键是从几何问题中整理出二次函数模型，并利用二次函数的知识求最值，从而确定点E的位置。

3.改编思考

3.1 注重挖掘“题根”，加强同类题目之间的关联。试题设计，通常先有一个“题根”，“题根”可来源于典型试题，也可来源于教材，从形式上看，“题根”本身也是一个数学题目.既然考题是由“题根”演变而来，那么解答时的关键就是要能找到“题根”，并且找出它们之间的关联.郑毓信教授曾说过：“数学知识教学时，不是求全，重要的是求联”，这里的“联”就是关联、联系之意.不少中考试题来源于教材，根植于教材，但又高于教材.因此我们在日常教学过程中要重视研究教材，善于发现“题根”，挖掘和研究“题根”，紧扣问题实质，通过题组和变式教学加强知识和题目之间的联系，做到融会贯通，以达到事半功倍的学习效果。

3.2 关注“数学本质”，注重学生思维能力的考查。“数学本质”是数学的核心，题目所包含的数学知识、数学模型和数学方法等都属于“数学本质”的范畴.命题应立足数学本质，本文以图形变化之图形相似为视角，向同学们传递一个信息：很多中考题源于课本，它们是由课本的例题、习题进行变式、迁移、整合、扩展而成．所以，同学们在平时学习的过程中认真研究课本典型例题，对其进行挖掘引申，有助于我们总结一类题的解题经验、规律及思想方法，揭示数学知识间的内在联系，开拓思路，促成思维的广阔性、深刻性、灵活性。