高温作业专用服装设计模型研究

2019-09-10严梓奇赵汝文

企业科技与发展 2019年8期

严梓奇赵汝文

【摘要】文章提出一种工业高温作业服装设计，提高工人高温作业的安全性和生产效率。建立一维稳态热传导方程，通过将边界条件代入模型，将模型优化，依据微元和隔离分析思想，建立差分热传导方程，得到最优解并对模型进行检验。文章建立目标函数的多变量优化方程，温度函数升至四维。在采用有限元法基础上，结合控制变量思想，建立迭代算法，把问题转化为多元函数的极值问题，使用拉格朗日乘子法进行求解。根据极值的性质，利用迭代法建立检验算法，对模型进行检验。

【关键词】微元;隔离分析;优化方程;有限元法;拉格朗日乘子法

【中图分类号】TS941.2 【文献标识码】A 【文章编号】1674-0688（2019）08-0087-03

在高温环境下工作时，人们需要穿着专用服装以避免灼伤。专用服装通常由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ层织物材料构成。其中，Ⅰ层与外界环境接触，Ⅲ层与皮肤之间还存在空隙，将此空隙记为Ⅳ层。文章利用数学模型来确定假人皮肤外侧的温度变化情况，并解决服装厚度问题（详见2018年全国大学生数学建模A题[1]）。

在高温环境下，建立一维稳态热传导方程[2][3]，在较小的时间间隔内作业服各层热传导达到稳态[4]。随后将模型优化，建立差分热传导方程[5][6]。对于不同的环境温度，建立一维热传导微分方程，得到最优解[7]。对于高温工作时间的改变，建立目标函数的多变量优化方程，温度函数升至四维。文章采用有限元法，结合控制变量思想，建立迭代算法，把问题转化为多元函数的极值问题，使用拉格朗日乘子法进行求解。

1 一维稳态热传导模型

该问题是典型的热传导问题，将人体看成圆柱体后，衣服即可认为是环状，形状如图1所示。

由此，文章即可实现对温度函数关系的降维处理，由原来的T（x，y，z，t）降为T（x，t）或者T（y，t），此时只需要用水平面去截圆柱，求出任意一条与坐标轴平行的半径上各个点的温度即可，只需要求出T（x，t），其中x在0到R上进行变化。借鉴双层玻璃窗功效的评价模型[1]，文章将模型简化为图2形式。

对于第一层织物来说，它的能量主要来自于外界空气的热传导，能量消耗主要用于自身温度的上升及对第二层织物热传导。文章认为当时间间隔足够小时，温度变化量较小，因此可以忽略自身温度的变化，即达到双层玻璃模型中的稳态，我们把时间间隔设为1 s，因此本文研究高温作业服每秒的温度情况，实现将连续问题离散化，根据稳态时的平衡条件可得公式（1）。

其中，Q为热量的损失量，ki为第i层织物的热传导率，Ti为Xi处的温度值，Tin为人体皮肤外侧的温度，Tout为环境温度。

2 差分热传导模型

为了将温度函数继续降维，文章只研究各层织物特定点的温度情况，特定点的选取与原模型相同。由于需要知道每个点的温度，因此文章采用隔离法对每个点的情况进行分析。

通过对x1点处能量变化情况分析可知，x1处的能量主要由外界热传导提供，而该部分能量最终只有两部分去处：第一为自身吸收，提高自身温度;第二为传导到温度更低的地方。因此，根据能量守恒可得到公式（2）。

为了使方程近似于真实解，依据微元思想，文章将d和h取得尽量小，此时文章选择d和h均为0.1 mm。热传导实际上是一个动态过程，即使在1 s内，热量传输的速度实际上是在不断变化的，而传输速度主要取决于温差，本文将问题离散化，因此1 s内热量传输速度应为定值，为了使文章的计算结果更接近真实值，本文取1 s内的平均时间。由于1 s内温差是由大到小的，即热量传输速度由快到慢，因此取平均速度较为合理，具体公式如式（5）。

3 一维非稳态热传导方程

此外，如果想要求解出最优厚度，就需要知道空间中各点温度在确定时刻的温度，而该温度的因变量应包含d2（即第二层的厚度）。为了简化模型，便于计算热传导方程，文章将三维立体空间降为一维，由于该方程为偏微分方程，文章可以用数值解代替解析解，然后通过迭代思想求解优化方程。

建立优化方程，需要知道温度的表达式，通过模型一的分析可以发现，在假设成立的条件下，可以将三维热传导模型降为一维，具体情况如图4所示。

其中，假人皮肤外侧处为坐标零点。

通过查阅资料[7]，建立一维非稳态热传导方程，Q1为t1到t2自V流出的热量，具体公式即推导过程如下：

上面模型的误差主要来源于两部分：第一部分是求解热传导方程时造成的误差，由于高温作业服各个时刻及各个位置的真实温度值未知，因此无法具体求出其误差值。第二部分误差主要来源于曲线拟合时造成的误差，这部分的误差可以计算得出，因此文章主要研究该部分的误差，通过这部分误差来衡量模型的优劣程度。

描述曲线拟合程度的常用量是R2，因此文章使用R2作为评价指标。具体公式如下。

R2分布区间为（0，1），R2越小说明拟合得越差，R2越大说明拟合得越好，实际测的值是yi，拟合曲线计算出的值是Yi。

4 单变量优化模型

考虑到使用者的使用体验，本文认为高温作业服的体积应该越小越好，就像穿一件T恤会比穿羽绒服运动起来更舒服一样。由于使用者不是静止的，因此除去隔热效果外，体积的大小是评价高温作业服的一个重要指标，由此建立如下優化方程：

其中，T（x，t，d2，d4）表示在第二层和第四层厚度分别为d2，d4时，x处在t秒的温度Ra为假人中心到作业服最外层的距离，具体含义如图5所示。

其中，红色表示第一层，蓝色表示假人皮肤外层。通过合理的构造目标函数后，由原来的双变量优化问题转化为单变量优化问题;由于约束式中同样存在偏微分方程，且相对模型二的维度又多了一维，因此很难解出解析解，故求解思想仍与模型二的求解思想类似，采用有限元法，在此基础上结合控制变量思想，求解优化方程。通过该算法即可得到一组t0和d2，d4的离散数据及一组T0和d2，d4的离散数据，其中d2，d4为自变量，而t0和T0为因变量;两个因变量关于自变量的函数均为多元函数，可以使用多元回归对函数进行拟合，通过拟合文章可以得到F（d2，d4）=t0，G（d2，d4）=T0，优化函数的优化解会在边界处取得，因此F（d2，d4）=25 min，G（d2，d4）=47 ℃，该问题转化为求解多元函数的极值问题，可使用拉格朗日乘子法进行计算，具体公式如下：

通过上述方程组可以得到一组极值解，记为d1（d2，d4），f1（d2，d4），同理可解出当边界条件为G（d2，d4）=47 ℃时的极值解，记为d2（d2，d4）。

此时可以通过两个方面对模型进行检验：一方面，由于该模型同样用到曲线拟合，故可以使用R2来刻画模型的优劣程度，计算公式同模型二中的一样;另一方面，可以通过试值法确定其是否为最优解。根据极小值的定义可知，在该点的一个领域内，其目标函数值应是最小的，因此可以按确定步长进行迭代，即验证最优解附近的目标函数值是否为最小。

5 结语

本文不仅可以使用建立的差分模型来解热传导方程，还可以解其他类似的偏微分方程。对于其他防高温设备，可以采用相同的方法和思路，求解其他保温设备的设计。

参考文献

[1]全国大学生数学建模竞赛组委会.2018年全国大学生数学建模竞赛A题[EB/OL].http：//www.mcm.edu.cn/

html_cn/node/7cec7725b9a0ea07b4dfd175e8042c33.html，2018-09-13.

[2]陈大伟，斯小琴.一维热传导过程的计算模拟[J].沈阳大学学报（自然科学版），2018（4）：338-341.

[3]潘斌，于晶贤，衣娜.数学建模教程[M].北京：北京工业出版社，2017，68-73.

[4]周方方，马和平.多边形区域上热传导方程的Legendre-

Chebyshev谱元法[J].应用数学与计算数学学报，2018，

32（2）：402-408.

[5]张忠卫，陈杰.二维材料中的热传导[J].中国材料进展，

2017，36（2）：141-148.