应用二元一次方程组

冷晓冰

教材分析：本节课是北师版八年级上册第五章第三节，是应用二元一次方程组解决实际问题的第一节课。根据北师大版本教材的编写意图，教材当中，连续三节课的内容都是二元一次方程组的应用，按照难易程度区分。本节课是应用二元一次方程组的第一节课，要求学生能够分析简单问题中的数量关系，并通过建立方程组解决问题。

教学目标：1.知识与技能：能分析简单实际问题中的数量关系；能根据得到的数量关系建立方程（组），解决问题；体会方程（组）是刻画现实世界数量关系的有效数学模型，发展模型思想和应用意识；2.过程与方法：本节课以游戏引入，让学生分析简单的实际问题中的数量关系；以《九章算术》《算法统宗》等著作中的题目贯穿于教学中，用不断传授给学生“武功秘籍”的方法鼓励学生，使不同层次的学生都能够得到最大的提升；通过“稀有残卷”的研讨将整个课程的思维高度推向高潮；3.情感态度及价值观：本节课引用的所有题目均出自中国古典数学文献，并在学案（秘籍）中清晰注明，希望学生能够通过这样的方式了解中国的数学文化，以中国的数学文化为骄傲。并且，鼓励学生，中国数学的崛起不仅要依靠先辈的智慧结晶，此时此刻的不懈努力更为重要。

教学过程：

一、引入新闻热点

以新闻热点作为引入，激起学生兴趣。以感受数学世界的武侠情怀为主线，从学生兴趣出发开展游戏。

游戏目标：通过游戏，使学生能够体会数量关系，会列简单的二元一次方程。再通过小组合作，学会列二元一次方程组。

设计意图：活泼轻松的情景引入让孩子更加迅速地进入了愉快的课堂氛围中，体现出绿色课堂学科生活化、生活学科化的理念。

【游戏情景一】（武侠剧當中闭关修炼的情景）男孩修炼时需要双脚站立，女孩修炼时需四脚着地，打开密室需要20只脚同时踩到机关，不能多，也不能少。

教师：请问，需要几位男同学、几位女同学共同开启密室之门？

学生们随意列举，列举的过程中

教师追问：你是怎样确定一共有20只脚的？

连续找三名学生作答。

教师：老师发现，每一位回答问题的同学都列举出了一种可以开启练功密室的方案，一共有多少种开启密室的方案呢？这些方案都是什么？请小组讨论后报告。

教师提问：你们小组是怎样得到这样的结论？

预设回答：数数得到的。

教师补充提问：在数数的过程当中，你能发现男生人数、女生人数与20之间有什么数量关系吗？

学生：男生人数乘以2加上女生人数乘以4等于20。

此处板书：男生人数×2+女生人数×4=20。

设计意图：得出表格后，如果情况合适，教师可以提一句：我们列举发现，随着男生人数的增加，女生人数就要减少。

【游戏情景二】进入密室后，我们发现这门武功只能7个人同时修炼，这时，请问方案中还有哪些是可行的？

学生：一共去4名男生、3名女生。教师：只剩这一种组合方案了吗？学生：是。教师：为什么？学生：因为男生人数、女生人数要满足：男生人数×2+女生人数×4=20。

此处板书：此外，还要满足： 男生人数+女生人数=7。

设计意图：此处让学生自主感受并表达。由于本节课是应用二元一次方程组的第一节课，可以在此处适当补充解释本题与普通二元一次方程的差别，例如为什么本题的二元一次方程不是无数组解等等。

此处板书，规范步骤。

教师引导：只规定男生人数与女生人数一个数量关系时，发现有多个组合方案满足数量关系，但用两个数量关系进行约束时，满足条件的组合方案就只有一组。你想到了什么？

二、深化新知

情景引导：

教师：可以看出大家闭关修炼十分认真，接下来看看大家能否顺利出关，探索更深层次的知识。

出关检验：

教师：《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书，有一道和闭关修炼的题目极为相近的问题。题目为：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？如果学生理解困难，教师可问：本题关键性条件是什么？（本题意在规范解题步骤。）

设计意图：简单分析后，由学生在练本上独立完成过程中，可观察学生，找典型的例子，让学生到黑板上演示，比如步骤规范、完全正确的学生；应用一元一次方程解题的学生；用脱式计算解题的学生。然后讨论哪种方法更好，进而得到结论：没有最好的方法，只有针对这个问题最适合的方法。

此处总结，板书题目。

衔接语：恭喜孩子们顺利出关，接下来，我们就可以修炼武功秘籍了。

说明：完成每一本秘籍，出关检测后，就可以学习更高的层次的秘籍，并且为每个层次的孩子都准备相应的闭关攻略。

初级武功闭关攻略：冷老师邀请小鸡、小兔到家中做游戏，若将全部小鸡平均分成三队，则每队小鸡比小兔多五只，若将全部小鸡平均分成四队，则每队小鸡比小兔多一只，请问，冷老师分别邀请了多少只小鸡和小兔到家中做游戏？

处理方法：通过简单的问题设置，让学生得到重要的数量关系，通过ppt互动、研讨，从而解决问题：（1）本题如何设置未知数？______________________。（2）将小鸡平均分成3队，每队小鸡只数为_____。根据每队小鸡比小兔多5只，可列方程：__________。（3）将小鸡平均分成4队，每队小鸡只数为_____。根据每队小鸡比小兔多1只，可列方程：__________；

设计意图：此处设计意图是为了给孩子们铺设台阶，教给孩子自主学习的方法，学会用“渔”解“鱼”。

答：冷老师邀请了48只小鸡、11只小兔。

初级武功检测题：我国古算题以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺，绳长井深各几何？

设计意图：通过比较两道题的微小差异，让学生对这种学习方法产生了兴趣，使其在后续内容当中喜欢上这种能够挖掘自身潜力、全身心投入思考、自主解决问题的过程。

处理方法：跟孩子直接分析这道题与上一题的关系，得到结论：题目完全相同，进而直接展示答案。

衔接语：说明这一环节的规则，完成秘籍当中的第一页高级武功出关检测，再到第三页的答案当中订正，如果无误，即可冲击“绝世秘籍”。如果遇到困难，请到第二页当中参考高级武功闭关攻略，“绝世秘籍”的修炼方法与高级武功相同。

三、高效練习

高级武功检测题：我国古算题大意为：5头牛、2只羊共价值10两“金”，2头牛、5只羊共价值8两金，每头牛、每只羊各价值多少金？

高级武功攻略篇：冷老师邀请一部分小鸡、小兔到家里做客，如果邀请五只小兔、两只小鸡，需要为它们准备10个萝卜作为午餐，如果邀请两只小兔、五只小鸡，需要为它们准备8个萝卜作为午餐，问：午餐时，每只小兔和小鸡各需要多少萝卜作为午餐？

完整攻略：（1）设午餐时，小兔吃x个萝卜，__________。（2）五只小兔吃萝卜__________个，两只小鸡吃萝卜__________个，五只小兔、两只小鸡共吃了10个萝卜，可列方程为：__________。（3）两只小兔吃萝卜__________个，五只小鸡吃萝卜__________个，两只小兔、五只小鸡共吃了8个萝卜，可列方程为：__________。

绝世秘籍检测题：《算法统宗》中记载了一个问题，大意是：100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分1个馒头，问：大小和尚各有多少人？

设计意图：基于对生命的尊重，所以教师做了这两种类型的攻略设计，期望每一个孩子都能根据自己的实际情况找到自己真正需要的梯子，爬到成功的高处。基本攻略主要服务于寻找等量关系有困难的学生，完整攻略主要服务于对方程有畏难情绪、无从下手的学生。

绝世秘籍攻略篇：冷老师为即将来家里做客的100只小鸡、小兔准备了100个萝卜，已知每只小兔子吃3个萝卜，3只小鸡吃1个萝卜，冷老师分别邀请了多少只小鸡和小兔来家里做客呢？

基本攻略：（1）小鸡和小兔的总数是__________只。（2）如何表示小兔吃掉的萝卜总数？__________。（3）怎样表示小鸡吃掉的萝卜总数？__________。（4）小鸡和小兔吃掉的萝卜总数是__________个。

完整攻略：设小鸡有x只，小兔有y只。（1）小鸡、小兔总数量为100只，可列方程为：__________。（2）小兔吃掉的萝卜总数为：__________。（3）小鸡吃掉的萝卜总数为：__________。（4）小鸡和小兔吃掉的萝卜总数为100个，可列方程为：__________。（5）将两个关于x和y的方程联立方程组为：__________。

四、拓展提升

情景引导：

教师：以《红楼梦》为例，说明残缺的美引人无数遐想，今天，我们也在武功秘籍中兜兜转转找到一副《稀有残卷》，在这里跟大家分享。

稀有残卷：

根据《九章算术》大意改编：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；_________残卷丢失部分__________，问有多少人？该物品价值多少钱？

小组讨论方向：

所填内容是否唯一？

所填内容是否任意？

总结讨论并引导：这类问题不能任意填写，是因为受到了某些因素的限制，那为何不从受限制的因素出发，进行逆向思考呢？先给出合理的解，再填写缺失条件。

设计意图：本题全面考查学生对数学模型的掌握，体现了检验方程组的解的必要性，如果条件设置不当，可能导致解出现分数，而在实际问题当中不符合题意，所以不能随意在丢失的部分增添条件，需仔细思考。因此，会有一部分逆向思维比较活跃的孩子从解入手去思考，先给出合理的解，然后倒推增加合适的条件，从而全方位感受到方程模型。

五、总结升华

教师：今天大家在一本本武功秘籍中看到的题目都出自千百年前中国的数学名著，比如《孙子算经》《九章算术》等等。同学们，你们作为学生，老师作为一名数学人，我们应该为中华数学的历史感到骄傲和自豪，在未来，为中华数学创造更为辉煌的历史，兴我中华数学深厚文化，这样的重任，谁来承担？

学生：我们。

设计意图：此处设计是个人一直以来比较执着的情感升华环节，我们培养孩子拥有全面能力、综合素养的目的就是为了让学生具备这种社会责任和家国情怀。

（责编 唐琳娜）