数学教学设计的依据与评价研究

【摘 要】数学教学设计的主要依据是，对数学知识结构呈现序列的理解;对学生生成数学知识的心理环节序列的把握;整合数学知识序列与学生知识发生的心理环节序列，使知识序列的发生适应于学生的心理活动环节序列。从这几项依据出发，我们可以获得评价数学教学设计优劣的标准：结构性标准与适应性标准。

【关键词】数学教学设计;适应性;知识结构;心理环节

为实现数学教育目标，发挥数学知识的育人价值，教师要为每一个知识点做好教学设计。设计方案的优化需要教师创造性地运用教学策略，或创造性地通过自己的解释把数学内容呈现给学生，把不易理解的数学内容转化为学生容易理解的语言。要做到这步不仅需要教师的智慧，更需要教师专注地思考与反思自己的教學实践。本文主要研究数学教学设计的主要依据与评价教学设计优劣的标准。

一、数学教学设计的主要依据

数学教学所要传授的知识相对固定，它的最低限度是载入课程标准中有据可查的知识点;0但是通过何种手段来传授已经设定的知识，是数学教学设计要重点考虑的问题。数学教学设计的主要依据体现在三个方面：对数学知识结构呈现序列的理解;对学生生成数学知识的心理环节序列的把握;通过创造性工作对前面二者的联系设计出合适的教学过程，即整合数学知识序列与学生知识发生的心理环节序列，使具体的知识结构环节序列的发生适应于学生的心理活动环节序列（如图1）[1]。

1.分析数学知识结构呈现的环节

提起数学知识结构，许多人会将其理解为知识的逻辑结构，这一理解比较狭窄。逻辑结构更多的是与数学解题教学相联系，比如数学定义及其应用：首先类比原型，其次建构判断标准，最后应用这一标准进行判断。其中建构判断标准不是环环紧扣的逻辑过程，更多的是心理过程的体现。因为只有选择具体的标准做判断，这一环节的主体部分才是逻辑过程。当然，数学知识的逻辑结构是数学知识结构中最为重要的结构之一。一般说来，研究数学知识结构可以分为三个层次：微观结构、中观结构与宏观结构。

数学知识的微观结构是指某一个知识点自身内涵要素的组合或排列方式。分析知识的微观结构是对知识内涵的研究，重在揭示某一知识点内含的元素，探究相关元素组织方式的规律性，并从规律中获得发生知识心理活动的动力及其产生的心理程式，最后设法从这种心理程式中找到某一种或几种可以在课堂教学过程中有效执行的操作手段。具体知识点的微观分析可以分为三个方面：其一，分析规范性表达;其二，从规范性表达中析出核心思想;其三，揣摩从核心思想到规范性表达中获得启发性要素[2]，从而为启发学生发生认识找到途径创造条件。

数学知识的中观结构是指与某一知识点的联系比较接近的，在小范围内组成的数学知识结构。它重在体现某个知识点及其紧邻知识点之间的转承关系。事实上，教师在教学设计中，比较容易把握某一知识点的下位知识。一般情况下，由于每一个知识点的下位知识可能很多，因此教学设计的重点在于，教师要特别注意学生知识发生的心理环节，选择合适的下位知识，并设法设计出合适的心理铺垫，诱发学生探究中观层次上知识之间联系的内在线索，鼓励学生从心理上感到知识发生的过程是自然流畅、水到渠成的。

数学知识的宏观结构是指数学知识从系统全局上呈现出的整体结构形态。对于知识点的教学设计而言，一个知识点本身就是一个整体的形态，也具有宏观结构的某些侧面，而且这个知识点与其下位知识也可能是一个整体结构形态。所以，在教学设计中，教师可以从知识体系之间的联系出发，细心搜寻学生从一个知识体系到另一个知识体系发生的心理环节，为两大知识体系和谐融入学生的整体思维结构创造条件。这种教学设计需要教师具备较高的能力，因为很多联系的线索隐藏得较深，要想发现这些线索，需要教师对不同知识所形成的结构具有深刻认识。

为了说明问题，我们以数学知识的微观结构为例，看“三线十二角”的教学设计。

师：如图2所示，∠1与∠2，∠1与∠3，∠2与∠3分别是怎样的一对角？（同旁内角、同位角或内错角）

生1：我们首先要弄清楚组成这两个角的三条直线中哪一条是“截线”，哪两条是“被截线”？

师：这是一个很好的想法，那如何去区分呢？

生2：取最简单的图形来分析。如图3所示，对∠4和∠5而言，直线c是“截线”，直线a，b是“被截线”。显然，∠4与∠5是一对内错角。

生3：直线a是∠4的边，但不是∠5的边;直线b是∠5的边，但不是∠4的边;而直线c既是∠4的边又是∠5的边。故直线c是“截线”，直线a和b是“被截线”。

生3：因此，我们可以获得如下规律（分类的一种标准）：在“三线八角”中，不同顶点的两个角的公共边是“截线”，单独作为两个角中某一个角的边的两条直线是“被截线”。

师：非常好！大家根据这一规律就能自己解决“三线十二角”的问题了。

在“三线十二角”的三条直线形成的微型结构中，线与线之间所负载的功能不同，导致了不同交点之间所组成角的性质不同，我们将这些角之间的关系分成了同位角、内错角、同旁内角。因此，要达到引导学生顺利辨别这些不同性质的角，教师要从三条直线在微型结构中的不同功能着手，将三条直线的功能分成两类，即截线和被截线。在教学设计时，教师依据微型结构所要解决的问题，帮助学生建立起区别三条直线中的“截线”与“被截线”这一容易判别的标准就能使学生更容易掌握所学知识。

教师从分析知识所获得的结构中，找到关于这一知识点的教学设计目标：区别“截线”与“被截线”的标志。接下来的问题是，教师如何适应学生的心理环节，引导学生获得这种标志。这种标志是：某一直线只是一个角的边，还是两个角的边。如此，通过对知识结构的研究，学生找到了辨别结构中不同元素负载不同功能的方法，生成了区分“截线”与“被截线”的标准。其中，这些功能决定了知识结构关键性的特点，决定了学生易于将这一知识结构应用到新的问题情境中去。

2.分析学生生成数学知识认识的心理环节

分析学生生成数学知识的心理环节，重在分析学生所具有的数学现实中的数学认知结构，它针对知识生成的思维活动的运行序列展开，适应学生的心理需求，采用不断地提出问题、研究问题、解决问题的多轮循环方式达到目的。经由分析学生学习数学的心理过程，我们发现知识总是被（学生）应用的，知识只有经过数学观念的负载，才能见之于行动。如“三线十二角”的教学设计中，由于渗透区分了“截线”与“被截线”的数学观念，学生在面对新的问题情境时，就可以避免行动的盲目性。但是，学生生成知识的心理路径绝不是笔直的捷径。

由于问题启动了学习主体的思维活动，认知结构立即调动意识中的资源，个体数学观念系统中的许多“数学观念”及時做出反应，它所裹挟的“知识点”附着到了问题展开的各个环节上，形成诸多的“中途点”[3]，这些“中途点”调控“知识点”运动的大致（逻辑）方向。方向确定后，“知识点”随之而下形成了“思想流”，这种“思想流”所形成的轨道是曲折的，随着对所需信息认识的不断深入、理解层次的不断加深，“思想流”就会逐渐形成问题的解决思路。但它的局部仍会循环往复，不会形成笔直的逻辑道路。

由数学观念所裹挟的数学“知识点”而形成的“思想流”的产生，是因为数学知识总是处于某种或大或小的结构之中，而知识的每一个元素，都是这个结构上的一个环节，所以一个具体的元素并非孤立，它总是在知识结构框架内向多方伸展触角。这些触角有可能联结其他环节上的触角，使数学知识之间形成关联（由于数学观念所载负的“知识点”的移动，形成“思想流”）。因此，教师在传授新知识时，就要依据自己的理解选择教学知识从其他知识得来的路径，并针对这种路径精心设置问题情境。

数学知识有着一定的层次与结构，各知识间环环紧扣：如果前面某一环节出现断裂，那么后面的知识就不能发生。但数学观念的发生却与数学知识的深浅、难易无关，因为观念总是相通的。因此，数学观念的产生不是依据时序的单个个体性增长，而是呈现出全息式发生的特点[4]。这就是我们为什么反复强调教师要细心分析知识的性质，主要原因就在于观念的全息式发生必须要有“载体”，而这个载体就隐藏在数学知识及其发生的过程中。

数学教学除了传授数学知识，更为重要的是要在学生学习数学的早期找到某种手段，将伴随着知识产生的数学观念全息式发生的“胚胎”有效植入到学生已有的观念之中。这项工作要引起数学教师的高度重视。以“三线十二角”为例，我们获得了辨别“截线”与“被截线”的标准，但这个标准同时也会以数学观念的形式存于我们的认知结构之中，成为干预新问题情境的动力因素。教学设计的一项非常重要的目标就是将组成知识结构的元素转化为认知结构中，观念系统中的数学观念（元素）之间的联系。因为在面临新问题情境时，正是数学观念征用内化的知识作用于问题信息之刻。

3.分析知识结构对学生发生知识的心理环节的适应性

严格地说，数学教学设计需要考虑两个体系，即数学知识结构体系与学生发生知识的心理环节体系。教师必须具备对这两者进行有效分析的能力，才能在两个体系中建立某种自然关系。前者是基础，后者对前者具有一定程度的依赖性。教师要对所需要传授的数学知识结构（客观）环节充分把握，利用自己的知识发生过程，揣摩学生的知识发生心理（主观）环节，并对主观环节进行模拟，从而选择出客观环节与主观环节相关联的切入点，然后以心理环节的延伸（观念关联的线索）产生知识结构环节。因此，教师分析知识结构的能力与水平是优化数学教学设计的前提与基础。

教师依据数学知识结构环节，模拟学生生成的心理活动“接力”的序列，悉心搜寻从知识环节过渡到学生心理环节的某些线索，设计合适的教学情境，并以这些线索为基础，使知识环节自然地与学生的心理环节统一起来。如在“三线十二角”的教学设计中，由于“截线”与“被截线”负载的功能不同，教师通过引导，成功地过渡到了学生的心理环节，形成数学观念。这种数学观念可以指示学生在面临新的数学问题情境时，使用这样的数学观念来解决新问题。

二、评价数学教学设计优劣的两项重要标准

如何评价一节数学课的教学设计是好是坏，是高效还是低效，从而为课堂实施做出决断呢？一般情况下，针对教学设计的不同侧面会产生不同的标准。从我们所研究的数学教学设计的主要依据出发，可以以下两项大标准为准，其他标准都可以由这两项大标准派生。

1.结构性标准

所谓结构，简单地说，是事物之间的联系和规律性。在数学教学设计中，教师要细心考虑几种结构：一是数学知识结构，即数学知识本身的逻辑体系，或数学事实之间的联系;二是认识结构，即人在认识活动中的心理过程（感觉、记忆、思维、想象等）和个性差异（性格、能力等）;三是认知结构，一般理解为学习者头脑中的知识结构。广义地说，结构是学习者全部观念的内容和组织;狭义地说，它是学习者在某一知识领域内观念的内容与组织（不仅是全部的知识，而且还有组织这些知识的方式）。对三个结构的认识与整合，是选择合适教学方法，保证将数学知识投射到学生头脑中的依据。

主体的数学认知结构可以看成是数学知识结构与认知结构的一种综合体，是主体在面对问题时所萌生的数学观念及对自己所拥有的数学知识与组织数学知识的方式的统一。个人的认知结构是在学习数学知识的过程中通过同化与顺应的作用，达到某种程度暂时的心理平衡的结果。因此，认知结构是可变的，是个人通过学习在心理上不断扩大并改进所积累的知识所组成。学习者的新认知结构一旦建立，又成为他自身学习新知识的极其重要的能量或因素。

评价数学教学设计的结构性标准，要求教师在数学教学设计时，把知识信息（客观）与学生的内在心理力量（主观）统一起来，找到关联这两种结构序列的有效途径。也就是说，教师应尽可能地发展学生的认知结构，健全学生头脑中的数学内容、观念和组织（个体全部完整的数学现实），指在学习者头脑中实现数学知识结构与数学能力结构的统一看作是数学教学设计中的一项特别重要的任务。如此，教师在教学设计时应注意以下几个方面。

一是明确数学教学内容即数学思维的对象和材料不是零碎的数学知识，而是形成了结构的数学知识体系;不是单纯的数学知识，而是数学观念与数学知识相互结合的整体性材料。对于这一点，教师要特别注意数学知识的整体性、系统性和知识间的联系，提高学生对数学的整体认识。二是明确数学能力并不是各种解题技巧、方法的大杂烩，而是各种基本能力以及由它们组织起来的整体，其核心部分是数学思维能力结构。三是明确数学教学应该通过建立一个良好的教学结构实现发展学生认知结构的目的，达到数学事实材料结构与认知结构的统一。

例如，在“三线十二角”的教学设计中，研究者充分利用了材料（三条直线）的微观结构，通过引导学生，让学生对材料进行观察、辨别特征，使之萌发不同的直线在这一微观结构中具有不同的功能这一观念，从而促使学生生成数学观念，形成区别“截线”与“被截线”的标准。这个教学设计，融学生的主、客观力量于一体，充分体现了数学教学设计的结构性要求。

2.适应性标准

适应性标准可称为适应与发展的标准，它要求数学教学的内容、方法与目标要和学生已有的知识基础、年龄特征、身心发展水平（特別是数学思维发展水平）、分析能力、创造性地萌生数学观念水平等相适应。在教学设计及其实施时，目标要比学生现实具有的水平稍微高一点，它要求教师所做的设计方案要突出知识结构对学生发生数学知识的心理环节的和谐与统一。这是评价一节数学课教学设计的优劣最重要的标准。

适应性标准对数学教学设计提出了两方面的要求：一是数学教学要适应学生的心理（数学思维发展）水平，不能超越学生心理发展的任何一个阶段，但在同一个阶段水平上可以略微地高出一点;二是数学教学设计要积极促进学生心理（数学思维）的发展，不能总是在低水平上重复。

在数学教学设计的预设上，我们犯过过分强调学生可接受性的一面，从而放弃或降低了对学生发展的要求的错误;也犯过过高估学生心理发展水平的错误，对学生数学思维能力的要求过高、过急，企图超过学生的思维发展，从而导致数学教学的失败。

例如，由于在制订课程标准时，对学生的逻辑思维能力估计过低，尤其是对十一二岁学生的抽象思维能力发展的可能性预估过低，因此过度删减了平面几何推理论证知识的教学。这种教学设计就偏于迁就学生心理发展的现有水平，没有充分估计学生智力发展的潜在可能性，实际上是在阻滞学生的抽象与论证思维水平的提高。

如果知识的发生与学生心理（思维活动）活动环节不相适应，或者发生了抵触，那么不仅会造成数学课堂教学效率低下，还有可能对学生学习数学的情感产生不良影响，甚至破坏学生数学认知结构或思维结构的协调性。比如，在“三线十二角”教学中，如果教师采用机械训练的方式，通过各种各样的图形来促进学生对三类性质角的把握，就会使学生感到穷于应付。相反，前举的教学设计就实实在在地体现了教学设计的适应性标准，从而达到了不错的教学效果。

三、结语

数学教师通过关于某一项教学内容的教学准备，设计出合适的教学流程不是一件轻易的事情，它要受到许多条件的限制，要满足诸多方面的要求。要突破这些限制，实现这些要求，就要在理论学习与反思教学实践上下足功夫。具体而言，教师需要养成教材分析、学情分析的习惯，并基于这两项分析发展教学法分析的能力，明确判断教学设计优劣的重要标准为教学设计的结构性与适应性，从而为教学有效性的实现创造条件。

参考文献：

[1]张昆.整合数学教学设计的取向：基于知识发生的逻辑取向与心理取向研究[J].中国教育学刊，2011（6）：52-55.

[2]张昆，宋乃庆.初一列方程入门教学的思考与建议[J]，中学数学杂志，2014（2）：4-7.

[3]张乃达.数学思维教育学[M].南京：江苏教育出版社，1990.

[4]张乃达，过伯祥.张乃达数学教育：从思维到文化[M].济南：山东教育出版社，2007.