浅谈数形结合思想在初等数学中的应用
2019-09-10张正秀
张正秀
摘 要:文首先阐述了数形结合的三个原则,然后再结合一些具体例题对初中数学,高中数学中数形结合思想进行粗略的探讨,以及在信息竞赛中的应用。在教学中,老师借助多媒体技术辅助教学,能使“数”由“形”来描绘,“形”由“数”来表达,弥补传统教学方式直观性和立体感的不足,有利于学生对数学知识的理解和掌握,培养学生解决问题能力。“数”和“形”二者珠联璧合,借助图形可将许多抽象的数量关系形象化,简单化,直观化,从而使学生可以很好的掌握和理解数学知识,掌握数形结合的思想,可以起到事半功倍的效果。
关键词:数形结合;思想方法 ;抽象;直观;事半功倍
第一章 前言
数与形是世界上万事万物共同存在的形式。 数与形这两个基本概念是数学的两块基石。 二者珠联璧合,借助图形可将许多抽象的数量关系形象化,简单化,直观化,将图形转化为代数问题可获得更加精确的结论。在教学中,老师借助多媒体技术辅助教学,能使“数”由“形”来描绘,“形”由“数”来表达,弥补传统教学方式直观性和立体感的不足,有利于学生对数学知识的理解和掌握,培养学生解决问题能力,起到事半功倍的作用。接着再循序渐进,举例说明数形结合在实际问题和信息竞赛中的应用,把该数学思想应用到实际生活中,发挥数学的巨大价值。
第二章数形结合在数学教学中的应用
2.1数形结合的原则
2.1.1等价原则
等价原则是指“数”的代数性质与“形”的几何的转化应是对应的,即对于所讨论的问题形与数所反映的对应关系应具有一致性。
2.1.2双向性原则
双向性原则是指几何形象直观的分析,进行代数计算的探索。
2.1.3简单性原则
简单性原则是指数形转换时尽可能使构图简单合理,既使几何形象优美又使代数计算简单、明了。
2.2数形结合在小学数学中的应用
2.2.1“以形助数”在直观中理解数。
我们应该意识到,算理就是计算方法的道理,学生不明白道理又怎么能更好的掌握计算方法呢?在教学时,教师应以清晰的理论指导学生理解算理,在理解算理的基础上掌握计算方法,正所谓“知其然、知其所以然。”根据教学内容的不同,引导学生理解算理的策略也是不同的,我认为数形结合是帮助学生理解算理的一种很好的方式。
2.2.2“以数想形”帮助理解各种公式。
在教学有关的数学公式时,如果只是让学生死记公式,这样只会将知识学死。如果学生稍微碰到有变化的图形问题,就不能灵活解决。所以教师在教学长方形周长公式的时候,就让学生借助图形充分理解公式的含义,求长方形周长大体有三种方法:①长+宽+长+宽,②长×2+宽×2,③(长+宽)×2,通过对学生的前测,教师会发现学生对于前两种方法应用的比较多,第三种应用的比较少。
2.2.3“数形结合”借助表象发展空间观念。
儿童的认知规律,一般来说是从直接感知到表象,再到形成概念的过程。表象介于感知和形成概念之间,抓住这中间环节,促使学生多角度灵活思考,大胆想象,对知识的理解逐步深化,发展学生的空间观念,具有十分重要的意义。
2.3数形结合在初中数学教学中的应用
2.3.1代数问题用几何方法解决.
数与形在一定条件下是可以互相转化的,借助几何图形可以使代数问题更简单,直观化。
2.3.2数形结合可使复杂的问题简单化。
巧妙应用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题可起到事半功倍的效果。
2.4高中数学“数形结合”的应用探究
2.4.1以形助数,借助于几何直观性揭示数与式的内在规律
结合函数的图象或方程的曲线,利用数式的几何意义或已知图形性质,借助于几何直观性常常能帮助理解概念,揭示数式的内在关系,有利于探求解题途径,优化解题过程,许多问题“以形助数”不仅能避免繁杂冗长的计算与推理,而且对问题会有更深刻、更全面的认识。
2.4.2以数辅形,用代数方法研究几何问题
在某些几何问题中,常常利用数量关系来揭示其几何性质,或借助数式的推演,使之量化,从而准确揭示“形”的性质,或试着从“数”的运算角度辅助,并运用有关代数公式与结论,获得直接应用几何定理难以推证的结果。
2.4.3数形互助,在解题中串联、结合使用
许多数学问题既要借助于“形”的直观,同时又离不开“数”的刻划,数形互助,在解题中串联、结合使用是数形结合思想的主要表现形式,它充分体现了“数”与“形”之间相互联系,互为转化,相得益彰的那种辨证统一关系。
2.5借助多媒体技术有效运用数形结合
2.5.1借助图形演示,培養学生的数感
教学中,教师如果采用多媒体技术进行图形演示,建立抽象的数学概念与形象的图形之间的联系,把数和形结合起来,可以丰富学习活动的感性材料,有利于学生数感的培养。
2.5.2变静态为动态,帮助学生理解掌握
教材内容是静态呈现的,这对学生理解掌握知识带来困难。因此,教师可以把图片情境由静态变为动态,把知识形成的过程淋漓尽致地显现在学生的眼前。这样,不仅能有效地激发学生探究新知识的兴趣,还能使学生快速直观地了解知识形成的动态过程,从而帮助学生对知识的理解和掌握。
2.5.3积累感性材料,引导学生合理猜想
在小学数学教学中,要实现数形结合,提高学习效率,可以利用多媒体技术提供感性材料,通过形象思维这个中间环节,提高学生抽象思维的能力,化难为易、化繁为简,加深学生对某些抽象关系的理解。
第三章数形结合在信息学竞赛中的应用
例Raney引理的证明。
设整个序列A={Ai,i=1,2,......n},且部分和Sk=A1+...+Ak,序列中所有数字的和Sn=1.
证明:在A的N个循环表示中,有且仅有一个序列B,满足B的任意部分和Si均大于零。
目标图形化:周期性的推广A序列,得到一个无穷序列,便于观察其循环表示,得到:〈A1,A2,...,An,A1,A2,...,An,...〉
同时计算这个序列的部分和Si,因为这个序列是周期性的,因此对于所有的k>0,均有Sk+n=Sk+1。如果做出这个函数的图形,就可以说明函数有一个“平均斜率”为1/N:每沿横轴正方向走N个单位,函数值就增加1。于是可以做出图像。证明就出来了。
第四章结束语
数形结合是数学解题中常用的思想方法,数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质;另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷。本文首先阐述了数形结合的三个原则,大致了解了数形结合的原理。接着分别对数形结合思想在初等数学教学中的应用,特别是现代科技的飞速发展,一些先进的设备如多媒体的产生,使原本抽象的数学知识可以立体的展现在学生的面前。以及它在实际生活中的应用,在信息学竞赛中的应用等各个方面进行了详细的探讨,意在说明该思想在学习生活中的重要性,因此我们必须很好地掌握该思想,要理论联系实际,解决学习、生活中的问题。运用简单、直观的方法,达到事半功倍的效果。
参考文献
[1]欧阳维城,肖果能等.数学思想方法选讲.长沙:湖南教育出版社.2000
[2]张宏良,浅谈数学教学中的数形结合思想,衡水学院学报2006.6
[3]启航新课堂《数学》.吉林教育出版社