玩智取“王位” 探极简模型

蒋铭国

在全国教育科学“十三五”教育部规划课题“益智课堂与思考力培养的实践研究”江西子课题调研期间，一老师给大家执教了一节展示课——《智取王位》。受《智取王位》展示课与各位专家点评的启发，我对智取王位产生了兴趣，进行了一些深入研究，让我聆听到了孩子们在且玩且乐中思维力拔节成长的声音。

一、基础，搭建“通向梦想”的阶梯

智取王位是一项益智器具游戏。在一排木槽孔内依次排有十一颗棋子，最后一颗为红色。游戏规则是：两人轮流取棋子，每次取1～2颗。谁能取得最后一颗红棋子——“王位”，即获胜。乍一看似乎与运气有关，事实上，内含玄机，有规律可循。课堂上不妨引导学生由少到多，循序渐进，探究其中蕴含的规律。

首先引导学生明白在本游戏当中，游戏规则是：①两人轮流取棋子;②每次取1～2颗;③取到最后一颗获胜。

其次引领学生积极参与游戏，深刻体验，反复琢磨，探究内情。于是我带领孩子，由少到多，循序渐进，边玩边解边思。不难发现，当棋子为一颗或者是两颗的时候，先取者，必定获胜。当棋子为三颗的时候后取者必胜。其中策略有二：①当先取者取一颗的时候，后取者取两颗获胜，即1+2型;②当先取者取两颗的时候，后取者取一颗获胜，即2+1型。这时让学生反复动手操作并体验：当只有一颗或两颗棋子时，先取棋子者必胜;当有三颗棋子时，后取棋子者必胜。这是本游戏的核心与根基，是衍生后续一切情况的本源。只有掌握通透，才能通向“必胜”的梦想。

二、进阶，迈入“舍我其谁”的境界

当孩子们达成深刻感悟后，追加一颗旗子。发问：当有四颗旗子的时候，先取者获胜还是后取者获胜？让学生实践操作，在操作中体验并得出结论：先取者取一颗后，剩下三颗，此时后取者即本赛次中的先取者，必胜。关键是必须先取一颗，才能保证必胜。取两颗则输。同理，当有五颗棋子的时候，可以得出结论：先取者取两颗棋子后，剩下三颗，此时后取者即本赛次中的先取者，必胜。关键是必须先取两颗，才能保证必胜。取一颗则输。这两次策略的区别就是先取者第一次取一颗还是两颗。事实上目的是一致的，都是剩下三颗后由对方取棋子，自己坐等胜利。剩下三颗棋子时谁赢谁输，依据前期所获结论一目了然。经过这一实践，可以得出结论：当有四颗或者五颗棋子时，先取棋子者必胜。紧接着试验，当有六颗棋子时的情形。让学生分组反复操作，在操作中感悟到，后取者必胜。策略同样有二：①当先取者取一颗的时候，后取者取两颗，剩下三颗，重复三颗时的策略，必胜;②当先取者取两颗的时候，后取者取一颗，剩下三颗，重复三颗时的策略，必胜。依次类推，循序渐进，然后进行验证与感悟。孩子们一旦感悟通透，便可在智取王位游戏中，从容应战，达到“舍我其谁”的境界。

三、探本，领略“九九归一”的神奇

当孩子们在多次的游戏中，达到熟稔的程度后，可以引领他们探寻游戏的本质，领略世界上普遍存在的“九九归一”的神奇。经过探究，孩子们发现本游戏的核心就是三颗旗子时的取子策略问题。即本游戏有一个本质的极简模型——被3整除问题。当除数为3时，所有的非零自然数被分为余1数、余2数、整除数。要想获胜需设法必取余1数，绝不取整除数，余2数为调剂数。例如：当一共有11顆棋子时，知“内情”方作一运算：11÷3=3……2。若己方先取，则第一次取两颗，第11颗与第10颗。接下来，对方取一颗第9颗，己方则取两颗第8颗与第7颗;对方取两颗第9颗与第8颗，己方则取一颗第7颗。本环节核心是让对方取第9颗，己方取第7颗，至于第8颗作为调剂用。同理，第6颗、第5颗、第4颗，作为一个环节，仿照前一环节进行。最后，第3颗、第2颗、第1颗，也是如此，己方则会最终取得第1颗即“王位”获胜。若对方先取，则在取棋子过程中伺机取得第10颗，无果再伺机取第7颗，再无果再伺机取第4颗。一旦成功便会获胜，否则一直无果便会败北。

四、创变，开启“洞察世界”的天眼

当孩子们把前面游戏玩到了游刃有余的程度后，可以再引领孩子们尝试“创变”，开启“洞察世界”的天眼。游戏规则是人定的，一旦改变了游戏规则，游戏策略则需要重新探索。在孩子们掌握了前面所探索的规律，洞悉了“三个一环”的极简模型之后，我带领着孩子们开启了更高层级的探索与研究。假如规定每次可以取一颗、两颗或三颗，怎样才能必胜呢？此时可以引导学生采取同样的探究方法与策略进行探索。当棋子数为1～3颗时，先取者必胜，当四颗棋子时，后取者必胜。策略有：1+3型，2+2型，3+1型。当五颗棋子时，先取者必胜，策略有：1+1+3型，1+2+2型，1+3+1型。事实上就是先取者先取一颗棋子后，转变为四颗棋子时后取者（即本赛次先取者）必胜。同理，当六颗棋子时，先取者必胜，策略有：2+1+3型，2+2+2型，2+3+1型。事实上就是先取者先取两颗后，转变为四颗旗子时后取者（即本赛次先取者）必胜。当七颗棋子时，先取者必胜，策略有：3+1+3型，3+2+2型，3+3+1型。事实上就是先取者先取三颗后，转变为四颗旗子时后取者（即本赛次先取者）必胜。当八颗棋子时，后取者必胜，策略是按照四颗棋子时策略运用两次。

通过以上内容的专题学习与探究，学生获得了快乐与快感，思维力得到了切实的训练与培养。在探究中孩子们体验了重复、递归、迭代思维，增强了对数学模型的认识，了解了数学模型建立的方法，品味了探寻极简模型的快乐与幸福，提高了对数学学习的兴趣，加强了对益智课堂的热爱，激发了对遨游数学知识海洋的内驱力。假以时日，孩子们定会在“益智课堂”这一智慧花园中绽放最美的自己，成全最美的生命，迎接最精彩的未来。