巧设课堂练习，培养学生数学思维能力

郑瑞萍

【摘要】课堂练习是课堂教学的重要组成部分，是巩固教学内容、培养学生能力、提高教学质量的重要手段。在教师的主导下，练习作为课堂教学的一个重要环节，要目标明确、精巧设计，放心地让学生练习，要由小到大，由浅到深，由易到难，由基础到能力，充分发挥学生的主体作用，使学生在练中学，在习中有所得，真正达到提高学生素质的目的。

【关键词】中学数学；课堂练习；思维能力

在传统的课堂教学中，总是教师不停地讲，学生只能被动地去听，思维常常是被动地进行活动，极不利于学生思维的发展和数学素质的提高。 为克服这一现象，教师要转化教育观念，从学生的认知规律出发，改变只以教师讲为主的课堂结构，认清课堂练习在课堂教学中的重要性，通过讨论争论辨析，使学生之间师生之间在知识上互相补充， 思想方法上互相启发，学习情绪上互相感染，使教与学的信息畅流反馈与调整，使课堂教学生动活泼，充分发挥学生的主体作用，提高教学质量，进一步培养学生良好的思维品质。

要使学生将所学的数学知识转化为技能，进一步转化为技巧，形成数学思想，提高解决问题的能力，必须通过练习。而在教学现状中，我们经常发现许多学生只重视结论，不重视推理和计算，不重视思维的形成过程，导致动手能力差。一些教师上课时，往往把课堂练习压缩到很短的时间内，有时甚至没有课堂练习，整节课满堂灌。他们把重点放在帮助学生进行逻辑整理的讲评上，这样，学生只能暂时地孤立地记忆有关知识，只能模仿成法，而不能内化，更难以在新情境下独立、灵活地解决问题。因此，在课堂教学中，加强学生的课堂练习，用以培养学生的思维能力，显得非常重要和迫切。

一、加强探索性练习，培养思维的主动性和探索性

教师在教学过程中要注重学生对知识的形成 发展的探索，对解题思路 解题方法的探究，让学生充分展示思维过程，进一步加强他们的能力。教师要精心设计探索性练习，通过充分展示知识形成发展的背景以及思维逐步变化的情景，从而使学生产生认知冲突，激发求知的兴趣和探索的动力，使学生成为学习的主人。

探索练习的方式一般有：探索结论、探索条件和探索解题思路等。

例如，可以将练习“把一张对边平行的纸条，像图1-1那样折叠，重合部分是等腰三角形，试说明理由。”隐去结论，设计成探索结论的练习“……重合部分是什么三角形，为什么？”

又例如，在学习相似形判定定理后，可编制探索条件的练习：

（1）已知：如图1-2

①∠ACP满足什么条件时，ΔACP∽ΔABC；

②AC∶AP满足什么条件时，ΔACP∽ΔABC。

（2）如图2，已知ΔABC中，AB=3cm，AC=2cm，AD=1cm

①∠ADE与∠C有什么关系时，ΔAED∽ΔABC，为什么？如果是∠B呢？

②AE等于多少cm时，ΔAED∽ΔABC，为什么？

再例如，通过动手剪拼三角形的内角去探索内角和定理的证明思路也是很好的探索练习。学生可以很好地在探索中激发兴趣，发展能力。所以，对于探索性练习，教师在精心组织、设计习题时要给予足够的重视。

二、强化巩固性练习，培养思维的严谨性

在学习新知识后，可通过设计阶梯难度的题组练习，让学生通过练习，去加深对数学概念的理解，掌握基本技能和提高数学能力。题组训练在内容安排上应注意：通性通法重点练；基础知识全面练；薄弱环节反复练；易混问题对比练。题组设计要有一定的梯度，适合不同程度的学生，使全体学生都积极参与，题组设计要体现“阶梯性原则”，由浅到深，由易到难，在练习时，只要设计的练习有阶梯难度，就不必一定要第三题比第二题难，练习有的时候按“强节奏”进行，会更有效。足够的量度、密度，才能使思维度适当。

例如，在学习平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2后可设计题组练习如下：

填空：（1）（a+b）（a-b）=_____（变位置）；

（2） （-a+b）（-a-b）=____（变符号）；

（3）（3x+2y）（3x-2y）=______（变系数）；

（4） （m2+n3）（n2-n3）=____（变指数）；

（5）（a+b+c）（a-b-c）=_______（加项数）。

三、設计逆向性练习，一题多解，培养思维的灵活性

强化巩固基础知识的训练容易使学生形成思维定势，在适合的条件下，思维定势可以让学生能够迅速地联想旧知识和技能，运用以前学过的方法解决新问题。但是，同时思维定势也容易造成学生思维单一，背题型、套解法而不会变通。事实上，逆用公式、法则几乎是所有学生的弱点，教师要经常设计逆向性练习，去培养学生思维的灵活性和深刻性，同时养成全面地多方向、多角度考虑问题的习惯。

例如，算术平方根是一个非常重要的概念，为巩固这个概念，可设计下面一组练习：

填空：（1）__， ___，___ ；

（2）若 ，则 ___，若，则 ___，若 ，则 —；

（3）已知，则 —或 —；已知 ，则 —。

选择适当的课堂练习题，引导学生从不同的方向，用不同的知识，采取不同的方法去思考，得出一题多解，使学生能从多个角度对已做的习题产生新的认识，突破知识的固定范围，有助于培养学生思维的灵活性与兴趣的激发。

例如：当 时，求 的值

解法一：直接代入计算，这是思维单一的解法。

解法二：先将条件分式的分母进行有理化，得 ，然后再代入到所求式子里得出结果，这是比较好的计算方法，但计算量偏大。

解法三：条件变为，再将所求 式用 的代数式表示，得

这种解法更有技巧性，但还不是最佳解法。

解法四：造二次方程。由，两边分别平方得 ，这样便易求得，这是更佳解法。

又例如：已知，求 的表达式

解法一：由于 已知函数的自变量位置是 ，故可考虑将右端“凑”出，视其为一整体，求得。也可由f（x）=f [（x-1）+1]

代入已知函数，直接求出。

由，得

∴

或者

解法二：为将 变为 ，可由换元法令，将的表达式换为 ，进而求得。

令，则

∴

即

解法三：易知 仍为的二次式，故可使用待定系数法。

设 ，

则 x2-3x+2=Ax2（2A+B）x+（A+B+C）

比较等式两端的系数，得

∴

即

在上述解法中，解法二是求解这类问题的一般方法。

四、加强变式训练，培养思维的发散性和深刻性

在数学习题教学中，经常是教师出示一题，学生思考后在教师的指导下，解决一题。我们要改变模式，注意结合教材特点与潜在要求，采取多种形式的变式教学，引导学生总结规律，由特殊发现一般，再由一般指导特殊，形成认知的跨越，培养和训练学生思维的发散性。

变式训练的一般方式是对某种基本形式的题目按照某种教学上的需要进行变式，可以同时变换题目的条件和结论，也可以增减、变换条件保留结论，或保留条件推广结论等。教师要精心设计变式练习，让学生通过变式训练，学一个题会一类题，做一道题会一组题，从而掌握知识的体系。

例如，已知矩形ABCD，E是BC的中点，AE交BD于F

求证：

证明：过C作CH∥AE交BD于H，则

在这基础上，根据一般化的思维方法，可进行下列变式练习：

变式（一）：把矩形换成平行四边形，其余条件不变。

得

已知：在 ABCD中，E是BC的中点，AE交BD于F

求证：

变式（二）：从特殊到一般，变点E为不是BC中点 已知：在 ABCD中，E是BC上一点，

且BE∶EC=4∶5

求证： =

变式（三）：把具体数字换成抽象的字母，且把条件AD∥BC省去，得：

已知：如图，AB∥CD，E是BC上一点，BE=m，EC=n

求证：=

（以上各题均可通过点C作AE的平行线，用全等三角形或相似三角形性质去证）

又例如：证明 在（0，+∞）上是减函数。本题是学生刚学习完函数单调性后的一个典型的例题，意在巩固函数的单调性的概念。教学时，不应只停留在直接应用定义这一层面上，而应冲破教材，提升课程，开发能力，引导学生从下面三个层面上进一步研究。

（1）模仿：证明：在（-∞，0）上是减函数。

（2）变式：①证明在（-∞，0）上具有单调性

②判断在（-∞，0）上的单调性

③讨论f（x）=（c≠0，b2=d2≠0-b≠0）的单调性

（3）应用：①画函数的图像

②p为何值时， 函数在 （1，+∞）上是增函数

③求函数的值域。

五、开展应用性练习，培养思维的广阔性

大纲指出，数学教学要“增强用数学的意识”，设计应用练习，可以从学生熟悉的生活、生产等实际问题出发，提出问题。

例如，在学习列一元二次方程解应用题中，除做好课本例、习题中有关工程问题、行程问题及求平均增长率问题外，还可以补充设计一些有关国民经济增长问题、计划生育控制人口增长率问题、储蓄存款问题、销售盈亏问题、保险业务问题、创税利问题等，让学生体会在生活中用數学的乐趣。

在课堂练习中，还要注意允许学生“犯错误”，要保护学生的求异思维。学生在练习中“犯错误”是符合客观规律的，如果教师一发现学生出错，就立即予以批评，结果只会扼杀学生的积极性。只有放手让学生练习，进行比较，鉴别，总结，这样的练习——反馈辅导，才会有真正的效益。在练习中经常发现学生的求异思维，这是他们积极思维的象征，是他们智慧的火花。好多巧妙的解法、技巧在学生练习中产生，好多繁难的证明在练习中简化。因此，教师要解放思想，转变观念，不要怕学生走弯路，要鼓励学生的求异思维，而不应该把几十个学生的思维限制在教师规定的框框里。这样，才会培养出更优秀的学生，这才是我们真正的教育目的。

总之，切实开展有效的课堂练习，可以使学生更好地掌握基础知识，获得解题的技能和技巧，发展数学思维能力，数学的教学质量也一定会显著提高。

参考文献：

[1]冯景贤.浅谈数学课堂练习的设计[J].中学数学研究，2000，7.

[2]黄亚.浅谈数学课堂练习设计的有效性[J].数学学习与研究，2013，10.

[3]吴园园.优化数学课堂练习设计的探索[J].课程教育研究，2016，10.

[4]王思.提高数学课堂练习有效性的思考[J].成才之路，2017，10.