注重学习方法夯实几何基础

徐艺

摘要：初中数学的七年级教学主要以代数为主，几何的要求并不高。今年笔者任教八年级数学学科，最近学生第一次考试刚测试过，年级平均分、优秀率、及格率三率成绩都不是很理想，考试的前两章是几何的学习（第一章三角形的初步认识和第二章特殊三角形），因此本人思考了一下学生该如何学习几何初步。这一学期几何证明题的分析能力、推理能力都要求提升，而且论证书写都需要学生掌握，也就是从原来的实验阶段真正进入论证阶段，所以对学生几何学习的要求提高了不少，因此我对学习几何作了以下整理。

关键词：基本套路；操作；思想方法；基本型；归纳

一、《认识三角形》

1、三角形定义：欣赏生活中的三角形，让学生回忆小学里对三角形是怎样定义的，掌握概念；

2、三角形的基本性质：边的大小关系、角的关系，还有稳定性，了解这些边角性质的证明过程，理解边角的性质；

3、性质要学会运用：角度的计算及生活实例：《2.1图形的轴对称》的例2：如图，直线l表示草原上的一条河流，一骑马少年从A地出发，去河边让马饮水，然后返回位于B地的家中，他沿怎样的路线行走，能使路程最短？作出这条最短路线。

分析 如图，设P是直线l上任意一点，连结AP，BP。以直线l为对称轴，作与线段AP成轴对称的线段AP，则AP+BP=AP+BP。显然，当点A，P，B同在一直线上时，AP+BP最短，即路程最短

解：如图，作点A关于直线l的对称点A，连结AB，交直线l于点A，连结AB，交直线l于点C，连结AC，骑马少年沿折线A-C-B的路线行走时路程最短。这题对学生来说证明最短路径难度较大，我在处理这题的时候是让学生们自己试着先画出最短路径及饮水位置，弱化了证明过程。发现效果还是比较明显的，学生们大多数能够画图解决的。证明的主要性质就是三角形边的性质的应用，但是说理的过程还是比较复杂的。

下面给出证明：设P是直线l上任意一点，连结AP，AP由作图知，直线l垂直平分AA则AC=AC，AP=AP（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）

∴ AP+BP=AP+BP≥AB

AB=AC+BC=AC+BC

即AP+BP≥AC+BC

所以沿折線A-C-B的路线行走时路程最短。

4、判定方法：掌握全等三角形的四种方法（SSS，SAS，ASA，AAS）；

二、注重学生的动手操作能力（折、剪）；

情景一：折

课前让805、806的每一位学生准备一张长方形白纸；课堂上，让他们自己动手操作，请同学们在昨天准备的白纸上折一折，看看自己能否折出一个等腰三角形来？

大家都开始动手折等腰三角形，等他们折好之后，我发现他们并没有像我设想的按照等腰三角形的判定方法去折，而是凭他们自己的感觉或者就是随便平常的经验，虽然折的形式多样，但是最后绝大部分的同学都折出了等腰三角形。我让其中一位同学操作了他的折叠，等他演示完毕，我提了个问题：他这样的操作得到的三角形是等腰三角形吗？他们齐声回答说是。为什么是呢？他们说有两边相等。所以这种形式把等腰三角形边的定义或者说边的判定复习了。

本打算按照复习课的一般形式整理一下定义性质判定方法，想着怎么用好的练习题着重复习一下性质和判定方法，现在反其道而行，先操作再整理总结定义，我发现达到了很好的效果：1.刚开始上课学生的注意力往往不是很集中，这样让他们自己操作，一下子把他们的思考窗口打开，注意力能够迅速集中；2.避免了复习课仅仅是“炒冷饭”枯燥乏味的尴尬，提高了学生学习几何知识的兴趣；3、为下面探究活动如何一刀剪下去使得两个三角形都是等腰三角形作很好的铺垫。

情景二：剪

如图，现有顶角度数互不相同的等腰三角形（AB=AC）纸片各一块，如图①，图②，图④所示，其中有的等腰三角形纸片有可能被剪刀从一个底角的顶点出发一次剪开成等腰三角形纸片。

本人先从顶角剪开看能不能剪出两个等腰三角形，发现学生们能够自己解决；

然后在解决本题，特别是讨论图①的时候，切底角沿着BD切的时候先保证△ABC是等腰三角形，△BCD为等腰三角形则要分三类讨论，设∠A=X，则

1.BD=CD，△ABC，△BCD都为等腰三角形，两个三角形的顶角度数不一样，所以无法用统一形式∠DCB表示，因此不存在舍去；

2.BD=BC，，则e，即∠A=36°，沿着底角的角平分线裁剪

3.BC=CD，∠DBC=2X，∠ABC=∠C=3X则7X=180，即∠A=180/7，因此沿着底角的三等分线处裁剪，∠ABD=180/7

然后再到课本中的探究活动：如图，有甲、乙两个三角形，甲三角形内角分别为10°，20°，150°；乙三角形内角分别为80°，25°，75°.你能把每一个三角形分成两个等腰三角形吗？画一画，并标出每个等腰三角形顶角的度数.并让学生们总结出三角形的特征和裁剪规律；

这个一般三角形大部分同学都能够准确作出裁剪位置， 实践证明学生们能够通过小组合作，很好的完成裁剪特征的总结。

探究活动和结合定考神针的课后习题，先通过特殊的三角形如何裁剪，然后一般化，先易后难和动手操作剪一剪，这样较好的激发学生们的学习情趣和提高了学生们的参与度，把一个较难的探究题转化为我们同学人人都想解决的问题，再通过小组合作，那么书本上的一般化也能够迎刃而解，并让各小组讨论出一般三角形要满足怎样条件，那么我们往哪一个角一刀剪下去就能变成两个等腰三角形 。学生们碰到一般三角形大部分同学都能够剪出来。

三、注重思想方法（分类讨论思想和类比思想）；

1.类比思想学习几何

学习第二章的特殊的三角形——直角三角形。在研究这个直角三角形之前，我们先概括一下一般三角形的研究问题，线索和方法，那么我们就可以类比这样的学习几何套路来学习新的几何图形。问题一：同学们我们在第一章中是研究一般三角形的套路是怎样的，学生会回答的——见第一点（学习几何的基本套路）；

那么我们类比一下，你能勾画一下研究直角三角形的问题、过程和方法吗？通过学生们讨论、猜想和归纳得到：

（1）直角三角形的概念（定义和组成要素）；

（2）直角三角形的性质（边和角有关的）；

（3）直角三角形性质的应用（求边长和角度）

（4）直角三角形的判定方法

通过这样的类比学习，搭建相同的框架模式，让同学们感觉上新课并不是那么陌生，知识之间并不是独立的，而是相互之间有紧密联系的，帮助学生学会几何研究的一般方法，那么对后面的学习四边形也有很大的提示，有利于学生的主动学习，提高学习效率；

四、分类讨论思想在等腰三角形的运用

例：等腰三角形的性质：

1、计算边长：已知等腰三角形的两边长分别为2和7，则它的周长是（ ）

——按照边是底是腰讨论

2、（1）：等腰三角形一个内角是55°，求其余角的度数。（2）：等腰三角形一个内角是110°，求其余角的度数。——按照角是顶角还是底角讨论

3、作图：如图，在△ACB的边BC所在直线上找一点P，使得△ABP为等腰三角形，则满足条件的点P共有几个？——以AB为腰和底讨论

分类讨论思想在初中阶段是一种非常重要的思想方法，在这一章等腰三角形里用的也是相当多的，学生们往往在这些题目上容易丢分，主要就是涉及本人归纳的这几类，如果学生们能够掌握这一思想方法，灵活的按照一定的规律讨论，很多题目就能够避免丢分；

五、抓住基本型，学会归纳总结

抓住几何基本型，這个图形是我们经常遇到的基本型，一竖直和一横着的直角三角形。

情景三：基本型引出的：

1. 已知：如图，在正方形ABCD中，AE⊥BF，垂足为P，AE与CD交于点E，BF与AD交于点F，求证：AE=BF。2·1·c·n·j·y

2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BD⊥CE，AE⊥CE，垂足分别为D、E，猜想图中线段DE、AE、DB之间的关系，并说明理由.21·世纪*教育网

3.（本小题满分12分）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°.

①当点D在AC上时，如图（1）线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由。

（2）将图（1）中的△ADE的位置改变一下，如图（2），使∠BAD=∠CAE，其他条件不变，则线段BD，CE又有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由.

这里的三个证明题都有基本型——

我们同学若能够掌握基本型，首先对新题型在心理上我不害怕它，原来里面有我们熟悉的图形，解决起来可能心里就有底一点；比如这里的第1个练习题，学生们就能借助基本型很快熟练的解决，用AAS证明两个三角形全等即可；

其实很多复杂图形当中都有这些基本型，那么复杂问题就能够转化为简单问题，比如这里的第2题，至少学生能够借用基本型简单的第一层关系能够解决——AAS两个直角三角形全等都会证的，然后等量代换线段之间的数量关系就简单不少，慢慢的通过自己的推理或许就能把所有的问题解决；

最后几何题有几小步的问题，往往学生可以借鉴第1步的方法，那么2、3两步往往用的是同样的方法，同样的角同样的边，相似的证明方法，结果可能存在类似的数量关系；比如这里的第3题：第一步用SAS证两个直角三角形全等，第二步可以借鉴第一步的方法也用SAS试试，边角是哪些，第二步看看是不是同样的边角，关系之间也可以猜想一下是否类似，这样的经验前提下那么一道几何答题我们的同学就容易拿到全部的分数；

更重要的一点我们的学生要学会归纳总结，适当的归纳能够帮助同学掌握常规方法，提高解题速度，加快形成证明思路。

第五、感受几何带来的快乐；

自己在读书的时候也经常碰到这种情况，遇到证明题一开始没有思路，后来辅助线这样添，那样添加，突然把它证出来了，有种拨开云雾的感觉。希望学生们也能够自己静下心来多多做做证明题，学会证明题的两种常规方法——分析法和演绎法，分析法是从结论出发去寻找已知条件，要证它就是证什么，多问问这个能不能得到，从而找到条件，得到证明方法；演绎法是从已知条件出发，已知它能得到什么，知道它又能够得到什么，看看能不能得到结论，从而得到证明方法。学生们若能够做到以上四点，多归纳多尝试，并多给他们展示的机会，让他们在课堂上多自信的表达思路，大胆的猜想结论，勇敢地去验证过程，我相信他们在以后学习平面几何这一块一定会迎难而上，取得很不错的成绩，获得成功带来的喜悦。