数学线性规划问题的探究

张秀丽

摘 要：通过线性规划类的习题，锻炼了学生们的思考能力与动手能力，充分展现了“数形结合”，所以线性规划问题在中学数学考试中是热门话题。此文将会罗列在中学数学各种考试中出现的线性规划典型例题，展现这个问题的多样性，从而展开对中学数学线性规划问题的探究，同时从一定角度总结概括解决这类问题的方法。

关键词：线性规划;图解法;中学数学

1.引言

国家多次对中学的数学教学加以改革，在原先的教学大纲与现行的《课程标准》中，都要求学习“简单的线性规划”这一部分。在新版中学数学教材中，线性规划即使用图解法处理线性规划问题。学生在画图的过程中得到线性规划问题的答案，亦或是得出此线性规划问题无解的答案，这个过程就是图解法。

2.一马平川型问题

对教材中的知识进行直接考察、不添加任何改变与加工是这类问题的特点，更为直接，学生们在心理上較容易接受。通过以下几个例题来了解一下这类题目：

例1：若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值和最小值分别为（ ）

A.4和3 B.4和2 C.3和2 D.2和0

由题中已知条件，可快速求得约束条件限定的范围，然后依照目标函数的意义，直接得出正确答案。其实在解决这类题目的过程中，对题目提供的可行域与目标函数意义加以分析，方能求出目标函数的正确答案。这个过程和教材里提到线性规划求解这一部分时的例题解答过程十分相似，方法几乎一模一样。以此为基础，也有许多相似的问题。

例2：若变量x，y满足约束条件，则z=y-ax的最大值的最优值不唯一，a的值为（）

A.1/2或-1 B.1/2或2 C.1或2 D.2和-1

此类问题与上类问题整体解题思路基本相同，可快速求得变量可行区域。但是，求解这类问题时要以前一种题目为基础，进一步理解目标函数的概念与意义。在解决问题的过程中，运用恰当的逆向思维，对于目标函数求最佳解的常用方法与理解加以运用，才能取得正确结果。整个过程难度适中，大量的教学实践可以证明，这类问题对于学生来讲容易理解且掌握。那么上述就是一马平川型问题，考察的内容清晰、明确，学生在做题过程中有明确的方向，而在可行域作图过程中学生一般不会遇到很大麻烦。这种类型的题目难在充分理解目标函数，当同学们在中学时期认识几种常见目标函数几何意义后，这种问题难度都不会很大。

3.重峦叠嶂型问题

重峦叠嶂型问题是线性规划问题的另一种考察方式，然而，并非直接解决教材例题。此类问题牵扯“转化”数学思想，对学生“发现问题”的能力加以考察，将题目中所包含的已知条件进行充分探索，把看到的陌生题目经过思考转化成熟悉的线性规划问题。在这当中，典型问题就是将“一元二次函数根的存在性”和“线性规划”相结合。因为两个问题都属于热点问题，确实存在一定难度，尤其是二者相互之间无明显关联，因此在两个问题结合在一起时，经常让人觉得此种问题有重峦叠嶂的感觉。

例3：已知x2-mx+n=0有两个实数根α、β，满足条件1<α<2<β，则m2+n2的取值范围为：（）

从题面来看，此题在考察一元二次函数根的分布情况，仿佛与线性规划无关。在分析过程中可以看到原方程符合下列条件：，也就是。所以原先的问题可以转变成：“已知变量m，n的可行域是，那么求目标函数z=m2+n2的取值范围”在这个问题中，我们已知目标函数的含义即可行域中的点（m，n）到（0，0）的距离的平方。可画可行域如下：

那么在前面问题转化后，先前的问题就可以转化成第一类问题，此时牵扯到的目标函数取值范围就很容易求出来。

参考文献

[1]季香觅，袁子淇.论数形结合思想在解决中学数学题目中的应用[J].信息记录材料，2017，18（4）：114-116.