简述等价转化思想在高中数学解题中的运用

白天秀

摘 要：数学教学既要熟练把握基础理论内容，还要注重思想学习。在许多数学思想方式中，转化思想属于学生解题时常常采取一种的方法，其还是数学中最基础最关键的一种思想方式。经过初步研究该思想于高中数学答题中的使用，提升高中生的解题水平。本文介绍了高中数学答题时，等价转化可以为很多题目的解答指明方向：把陌生题目熟悉华、把繁琐题目简单化、把抽象题目具体化等。

关键词：等价转化方式;高中数学;解题分析

等价转化思想主要指在研究与解答各种数学题目时，采取某种手段和技巧，将问题转化到一类已处理、或是比较容易解答的问题，从而解决难题的一种思路与方式。在等价转化时，通常是由繁到简、由难到易，指对原来题目中的条件加以整理、变化、转变，最终把原问题划归成简单的与熟悉的题目。老师在数学解题环节，要重视引导高中生采取等价转化方式答题。

1、把陌生题目熟悉化

在高中数学答题环节，经常将陌生的题目转变为了解的问题，然后通过既定的方式答题，数列递推解通向问题的方法就是该种等价转化方式的表现。

【例1】：已知函数f（x）=x/（3x+1），数列{an}符合a1=2，an+1=f（an）（n∈N*），计算数列{an}的通项式子。

分析：该题若赋值求解，难度很大，但是，如果将数列{an}的递推公式加以整理变化，就可以转化为高中生了解的等差数列，就极易求得通项式子。

解：通过已知条件得到，an+1=an/（3an+1）

∴1/（an+1）=1/an+3，即1/（an+1）-1/an=3

∴数列{1/an}属于首项a1=1，公差d为3的等差数列

∴1/an=1+（n-1）×3=3n-2，所以，an=n∈N*/（3n-2）。

这题主要将解数列{an}的通项式子经过变形转变成解数列{1/an}的通项式子，即变为解学生了解的等差数列的通项式子[1]。为此，部分数列尽管不是等差和等比数列，但高中生能够通过调整、化简，转变成了解的特别数列来求解。该种将陌生问题转变为熟悉问题的变化方式在数学解题方面使用十分普遍。

【例2】：设函数f（x）于R上的导函数为f'（x），对x∈R，f'（x）

解析：这题的题干非常简单，但难以找出答题思路，通过仔细分析后，能把已知条件实现等价转化，即：

f（1-a）-1/2《f（a）-a，

从而得出：

f（1-a）-a2-2a+1/2《f（a）-（2a+a2-2a）/2。

然后建立函数F（x）=f（x）-x2/2，通过已知条件f'（x）-x<0得知，函数F（x）于定义域范围单调递减。因此，由F（1-a）《F（a），获得1-a》a，最终求解a的取值范围是a《1/2。

该题将本来看着陌生、难以解答的题目，基于等价转化变为了解的函数的单调性题目来求解，转化以后的结构函数属于解题的要点，而最开始的等价转化才属于解题的核心。

2、把繁琐题目简单化

针对部分数学难题，由正面直接回答或以特殊方式解答较为繁琐，如果可以转化解答思路和改变考量问题的方向，通常能够将繁琐的问题变为简单，解答起来也较为快速。

【例3】：已知a+b+c=1，a、b、c都大于0，证明：1/a+1/b+1/c》9。

解析：这题如果采取常规办法，将1/a+1/b+1/c通分，那么计算会非常繁琐，且难以达到证明的要求。分析这式的特征，能够通过有效转化，借助已知条件a+b+c=1，1/a+1/b+1/c》9左边的1能够以a+b+c来替代，从而能化简不等式，然后依靠基本不等式证明，就能够解答问题。

证明：1/a+1/b+1/c=（a+b+c）/a+（a+b+c）/b+（a+b+c）/c=3+（b/a+a/b）+（c/a+a/c）+（c/b+b/c）》3+2+2+2=9，因此命题可证。

求证不等式时，一般借助已知条件经过核实转化，把未知的条件等价转变成熟悉的已知条件，以既定的办法去处理实际难题[2]。要注意找出问题上的已知条件与结论之间的关系，找到隐含条件，将繁琐的问题转变为比较简单、极易回答的问题。

3、把抽象题目具体化

在数学解题时，常常会遇到很多抽象的数学题目，这些题目通常给出的条件很少，难以直接解答或推导，要求进行主动等价转化，方可变为具体化、极易求解的数学题目[3]。

【例4】：设定义于R上的函数f（x）符合f（x）·f（x+2）=13，如果f（1）=2，解f（99）的值。

解析：这是一道抽象函数题目，未给出函数的部分性质，直接解答基本是不可能的。因此要对已知条件实现等价转变：

∵f（x+2）=13/f（x），

∴f（x+4）=13/f（x+2）=13/13/f（x）=f（x），

∴函数f（x）是周期函数，同时T=4，那么f（99）=f（4×24+3）=f（3）=13/f（1）=13/2。

将抽象题目具体化属于数学解题过程常见的转化方式，在抽象问题和具体函数之间形成联系，进而将抽象题目具体化。

4、结束语

总之，等价转化方式在高中数学大题中有非常重要的作用，老师要指引高中生注重等价转化方式在解题中的使用。但是，因为等价转化方式比较灵活，答题时应先规划好等价转化方式与思路，生搬硬套，导致解题错误。要指导高中生将数学问题，由高次转化为低次，变成较为简单的题目;或是由抽象转化为具体，变成较为直观的题目;或是由非标准型转化为標准型，变成学生所了解的公式和结论;或是把非线性题目转化成线性问题;变为一般的代数计算等。根据这些原则来解题，能畅通无阻的处理很多高中数学题目。老师在解题教学过程，要常常渗入等价转化方式，如此就能够提高高中生的数学解题水平，还能够培养高中生良好的数学思维素质。

参考文献

[1]郭军红.注重等价转化思想提高数学解题能力[J].河北理科教学研究，2018（1）：1-3.

[2]徐玉明.化归思想在高中数学解题中的有效运用[J].高考，2017（21）：234-235.

[3]郭军红.注重等价转化思想提高数学解题能力[J].中学生理科应试，2017（4）：5-7.