例谈初中数学学习中问题链的设置

顾雅玉

摘 要：设计符合学生认知水平、心理发展的问题链能使教学更加有效，把学生成功地引向知识海洋的彼岸，促进学生思维的不断成长，同时也引领着教师教学水平的不断发展.结合实例，从贴近学生的最近发展区、层次性原则、探索性原则、模块化原则等角度阐述了如何设置问题链.

关键词：问题链 数学素养 知识结构 思维

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1005-8877（2019）13-0100-03

1.为何要设置问题链

学起于思，思源于疑.学习总是从问题开始的，问题是思维的源泉，更是思维的动力.学生是否能够积极、主动、灵活的去发现问题、提出问题，进一步分析问题、解决问题，将是学生能否提高学习能力的重要因素.教师作为课堂教学的引领者，在教学过程中离不开问题链的设计.设计符合学生认知水平、心理发展的问题链能使教学更加有效，把学生成功的引向知识海洋的彼岸.

2.问题链的设计原则

数学活动中问题链的优劣直接影响学生知识结构的形成、发现问题的意识、创新意识的培养及数学素养的发展.

（1）设置问题链需贴近学生的最近发展区

英国学者戴维·林伯尔等人提出：脑的不同功能的发展有不同的关键期，某些能力在大脑发展的某一敏感时期最容易获得.初中阶段是空间表征能力发展的关键时期，虽然初中生在心理折叠、展开、旋转及图形识别几个方面的发展都尚未达到较高水准；但初中生的心理折叠与心理展开能力即空间与平面的转换能力在初一至初二年级却是快速发展的.下面以《全等三角形》的概念和性质的教学为例设置问题链：

问题1 请同学们同桌两人为一组，从信封中找出全等图形（信封内有三个三角形，三个四边形）

此问题的设置是为复习全等图形的概念及验证方法，另一方面也让学生直观感受全等图形的重合与对应的关系.从找入手契合了此阶段的学生对图形认识还处于直观感知阶段.让学生通过亲身实践，亲自动手，观察、比较图形的特点，来加强对已知图形的识别、辨认能力，进而提高直观能力和对图形的敏感性.

问题2 观察摆放好的三组全等三角形（如图1～3），分别说出对应顶点、对应边、对应角.

此问题的设置是在学生对全等三角形已有的直观和感性认识的基础上，向理性认识迈进了一步.继续让学生动手操作，感受图形变换与全等的关系，从而使学生更加深刻的认识全等三角形中的对应关系及如何确定对应关系。

问题3 上述三组全等三角形，其中一个三角形可以经过怎样的变换与另一三角形重合？

问题4 通过上述操作，全等三角形的对应边、对应角有怎样的数量关系？（引出全等三角形的性质）

通过上面四个问题的设置，学生经过充分的观察与操作，使学生把直观图像内化为了心智图像，当心智图像积累到一定数量，就可将感性认识升到理性认识，从而使学生在操作過程中感悟得出全等的对应关系和全等三角形的性质.因此，初中数学教师要舍得花时间在直观几何教学方面，为培养学生的空间观念和几何直觉能力打下良好的基础，使学生的思维能够顺利且自然的从直观过度到抽象.

（2）以层次性原则设置问题链

数学知识体系是螺旋式上升的，学生的思维发展也呈螺旋式上升.约翰·杜威认为提问应当成为继续讨论的原动力.在教学过程中，我们可依据题目中蕴含的逻辑规律设置层层递进的问题，进行由浅入深的引导.如，在进行“二次函数—借助图像推理”教学时，可设计如下问题：

如图4，已知二次函数 y=αx2+bx+c（α≠0）的图像与x轴交于点A（-1，0），对称轴为直线x=1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间.①αbc<0；②b2-4ac>0；③当x>0时，y>0；④α-b+c=0；⑤4α+2b+c>0；⑥2α+b=0；⑦3α+b<0；⑧-1≤α≤- ；⑨ （m为任意实数）.

问题1只需掌握α、b、c分别是由函数图像的什么确定的，属于二次函数图像的基本知识，难度较低，学生都能掌握；问题2、3都可通过直接观察图像得到，不需计算.问题4、5结合二次函数解析式，观察等式（或不等式）左边的代数式是自变量分别取怎样的值得到的.这两个问题的难度比前三个提高了一个层次，既要观察式的特点，还要结合图像.问题6是为问题7、8做铺垫的.7、8两个问题除了观察式和图的特点，还要结合不等式的运算.问题9中加入了代表任意实数的字母m，在经历了上面几个特殊值之后，为发展学生的综合能力而设置的.

（3）以探索性原则设置问题链

数学课程标准指出：有效的数学学习活动不能单纯的依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式.数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上.教师应向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验.在学习了一次函数、反比例函数的图像与性质后，函数图像的变化与解析式的变化之间存在着规律.

问题1 直线上下平移与一次函数解析式变化的规律：

将直线y=2x沿y轴向上平移3个单位长度，可得直线________；

问题2 请在图5中画出函数y=2（x+3）的图像，并观察图像：

直线y=2（x+3）可由直线y=2x沿x轴向（ ）平移（ ）个单位长度得到；

问题3 发现规律：

当α>0时，直线y=2（x+α）可由直线y=2x沿x轴向____平移____个单位长度得到；

问题4 猜想：将直线y=2x沿x轴向右平移1个单位长度，得到直线________；你会验证你的猜想吗？

问题5 总结规律：

当α>0时，直线y=k（x+α）可由直线y=kx沿x轴向____平移____个单位长度得到；

当α<0时，直线y=k（x+α）可由直线y=kx沿x轴向____平移____个单位长度得到.

问题6请通过列表、描点、连线画出函数y= +3的图像，将它与函数y= 的图像进行比较发现：函数y= +3的图像是____线，它是由双曲线y= 的图像沿___轴向___平移___个单位长度得到.

问题7 发现规律：

函数y= +b的图像是______；当b>0时，它可由双曲线y= 沿____轴向_____平移____个单位长度得到；当b<0时，它可由双曲线y= 沿____轴向_____平移____个单位长度得到；

问题8 请画出函数y= 的图像，将它与函数y= 的图像进行比较发现：

函数y= 的图像是____线，它是由双曲线y= 的图像沿___軸向___平移___个单位长度得到.

问题9 发现规律：

函数y= （x≠__）的图像是_______；当α>0时，它可由双曲线y= 沿___轴向___平移____个单位长度得到；当α>0时，它可由双曲线y= 沿____轴向____平移_____个单位长度得到.

问题10 总结：

（1）函数y= 的图像是________；

当b>0时，双曲线y= +b可由双曲线y= 沿____轴向____平移____个单位长度得到；

当b<0时，双曲线y= +b可由双曲线y= 沿____轴向____平移____个单位长度得到；

（2）函数y= 的图像是________；

当α>0时，双曲线y= 可由双曲线y= 沿____轴向____平移____个单位长度得到；

当α<0时，双曲线y= 可由双曲线y= 沿____轴向____平移____个单位长度得到；

问题11 拓展延伸：

已知函数y=x2，将它的图像沿x轴向右平移2个单位长度后，所得图像的解析式为_________；将它沿y轴向下平移3个单位长度后，所得图像的解析式为_________；若是先沿x轴向右平移2个单位长度，再沿y轴向下平移3个单位长度，所得图像的解析式为________.

问题1在学生已有的认知水平上复习直线的上下平移与一次函数解析式的变化规律.问题2、3通过画图像、观察图像得出一次函数解析式的变化导致直线怎样平移.问题4依题目描述画出符合题意的图像，同时利用上面得到的经验猜想函数表达式，得出的表达式和图像是否相符可有两种方法验证.或者求出所画图像的解析式，或者画出猜想的解析式的图像.从上述问题我们可以得出直线的平移与一次函数的解析式的变化之间的规律，那么其它函数的图像的平移与其解析式的变化是否也有相同的规律呢？问题6至问题10我们探索了双曲线的平移与其解析式的变化之间的规律.从活动中我们可以看出，不管是直线还是双曲线，它们的图形变化与解析式之间的关系有着共同的特点，我们可以把这一特点推广到其它函数图像的变化中去，即问题11.

（4）以模块化原则设置问题链

数学各知识点之间是紧密联系、不可分割的，在复习课中常常是一题关联诸多知识点，如果问题设计不当，知识点间的过渡就会显得生硬、无序，学生会觉得节奏太快，无所适从.因此，设计合理、有效的问题链使知识点间的过渡自然、有序，让学生能够慢慢感悟，自己发现知识点间的关系就显得尤为重要.二次函数一章讲完后，我选了下面的习题：

例 已知二次函数 y=x2+2x-3.

问题1 求函数图像的顶点坐标及对称轴方程.

问题2 求出 y=x2+2x-3图像与x轴的交点坐标，并写出二次函数的交点式.

问题3 判断二次方程x2+2x-3=0有无实根.如果有，请写出它的根.

问题4 分解因式：x2+2x-3.

问题5 在实数范围内分解因式 2x2+2x-6.

问题6 解不等式x2+2x-3 > 0.

问题7 用问题6的方法解不等式-x2+5x-3 > 0.

这一例题的设计是将二次函数与一元二次方程、二次三项式的因式分解、解一元二次不等式联系起来.利用问题1问题2回顾了二次函数的一些基本知识.问题3的设置让学生领悟到一元二次方程根的情况不仅可以用根的判别式来判断，还可以通过观察对应的二次函数与x 轴的交点情况来确定.有些学生会觉得问题4似乎和二次函数没有什么联系，当他们用常规方法将二次三项式因式分解后，就会发现分解所得的结果与二次函数的交点式是一致的.因此，又可得出二次三项式的因式分解的另一种方法：先设出对应的二次函数，求出二次函数与x 轴交点坐标，再写出二次函数的交点式，就可得到二次三项式的分解结果了.问题5要求在实数范围内因式分解，用常规的因式分解方法是无法完成的，在这里我们就可以构造二次函数来解决这个问题了.在初中阶段，并没有要求掌握一元二次不等式的解法，但我们可以借助二次函数的图像来解决这个问题.问题7、问题8的设置就是让学生感受二次函数的图像与一元二次不等式之间的联系.本例题通过这样一连串问题链的设计将二次函数、一元二次方程、二次三项式的因式分解、解一元二次不等式联系起来，使得学生的知识结构得以拓展，对各知识点进行横向、纵向联系，引导他们将所学知识从熟悉到灵活运用.

3.感悟与思考

数学是一门对抽象思维能力要求较高的学科，如果问题链的设计缺乏逻辑性、不贴近学生的最近思维发展区，就会导致学生思维漂浮在空中、不知所措，所以设计合理的问题链被越来越多的数学教师认可并使用.优质的问题链可以使学生的思维得以释放，活跃课堂气氛，使得学生的数学思维视域得以拓宽，从而提升提出问题、分析问题、解决问题等方面的能力.层层递进的问题链的设置既引领了学生数学知识结构的网络化与系统化，又促进了学生数学素养的升华。

参考文献

[1]蒋安娜.唐恒钧.基于问题链的数学深度学习活动设计[J].中学数学，2019（1）：14–17

[2]张文明.基于“三个理解”的数学“微创”策略摭谈[J].中国数学教育，2014（5）：15–18

[3]郑毓信.数学教育视角下的“核心素养”[J].数学教育学报，2016（6）：1–5