融汇妙解，提升素养

夏宪龙

【摘要】解与一元二次方程有关的应用题，由于方程中某些项的系数的绝对值往往比较大，解答起来困难且容易出错。文中主要通过华罗庚巧算完全立方数、十字相乘法、根与系数关系、解的检验等方法去解答系数较大的一元二次方程，提高解题的准确率，提升学生的数学素养。

【关键词】一元二次方程;平方根;素养

在数学学习活动中，有个别学生对计算的本身理解不够，机械地套用公式;不顾计算目标，进行盲目地推理计算;计算过程缺乏选择合理、简洁的计算途径的意识，计算过程繁琐，错误率高。列一元二次方程解应用题，设未知数，用含有未知数的代数式表示有关量，是一个难点。事实上，解与一元二次方程有关的应用题，还有另外一个学习困难，这就是依据实际问题所得到方程中某些项的系数的绝对值往往比较大，在这种情况下，灵活选择解题方法就成了解决问题的关键。

1.试题呈现与解析

如图1所示，一个社区计划在一个40米长、26米宽的矩形ABCD上建造三条相同宽度的道路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余的则是种草。如果每片草坪的面积为144平方米，则道路的宽度是多少？

分析：如图1，利用草坪的总面积=矩形场地的面积-三条道路的面积和+三条道路中重叠的两个小正方形的面积，据此可得出关于道路宽度的方程，求出道路的宽度.

解法一：设道路的宽为x米，由题意得：40×26-2×26x-40x+2x2=144×6，化简得：x2-46x+88=0

解得：x1=2，x2=44（不合题意，舍去）答：道路的宽为2米.

分析：如图2，利用平移后图形的面积相等的性质，把竖的两条道路平移到最左（或右）邊，然后把横的道路平移到最上（或下边），把六块矩形统一成一个新的大矩形，最后表示出新矩形的长与宽从而列出方程，求出道路的宽度。

解法二：设道路的宽为x米，由题意得：（40-2x）（26-x）=144×6，化简得： x2-46x+88=0 解得： x1=2，x2=44（不合题意，舍去）。答：道路的宽为2米.

2.典型失误分析与反思

失误1设道路的宽为x米，由题意得：（40-2x）（26-x）=144在方程的右边漏乘了6。

分析与反思：学生在审题时缺乏认真阅读的习惯。 阅读，是数学学习可持续发展的基本保证，也是一个人核心素养的重要体现。数学的阅读，没有语文课文中跌宕起伏的故事情节，也没有文学作品里催人泪下的感人细节。数学阅读，有高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。

因此，阅读数学，我们不但要有阅读语文的那种形象思维，读出激情，读出趣味，读出自信，更需要深入思考的抽象思维，读出深邃，读出本质，读出质量。学生在审题时没有注意到每片草坪的面积都为144平方米的每片，而是习惯性思维认为面积都为144平方米，从而导致失误。失误2设道路的宽为x米，由题意得：（40-2x）（26-x）=144×6 化简得：x2-46x+88=0 列对了方程，但解不出答案。

分析与反思：学生尝试用配方法把方程配成（x-23）2=441，或者应用公式法计算出判别式△=（-46）2-4×1×88=1764后，由于441或1764数字较大，学生不能把它们的平方根开出来，导致无法解出答案。在人教版七年级下册第59页数学活动的活动2中，华罗庚的故事就告诉我们如何用简捷的方法去求一个较大数的完全立方数。因此，我们可以发现，441的平方根应该是两位数，因为441的尾数是1，因此这个平方数的个位数为1或9，再由441的百位数为4，可以得到平方数的十位数为2，从而可以猜想出这个平方数为21或29，通过验算后可得出441的平方根是±21，同理1764可得出它的平方根为±42。通过数学故事，可以激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数感，也可以让学生获得人文、科学和数理方面的修养，使数学史融入数学教育成为和谐的统一体，通过华罗庚的故事可以解决一些绝对值较大的数字平方根的算法。

学生如果应用因式分解法来解这个一元二次方程，由于这个方程的一般形式的左边不能提公因式、也不能应用公式法，从而有较多学生不会应用因式分解法去解答。其实，在人教版八年级上册第121页阅读与思考中，介绍了形如x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解。因此，方程x2-46x+88=0可应用十字相乘法分解为（x-2）（x-44）=0，从而解出答案。失误3学生列对了方程，但解出的答案却只有一个x1=2，漏掉了x2或解不出x2。

分析与反思：我们知道，如果一个一元二次方程有实数解，那么它的解一定是有2个。对于方程x2-46x+88=0，个别学生可能直接解不出来，但容易猜出其中一个解为x1=2，如果我们得到一个方程的解后，其实可以应用根与系数关系x1+x2=-■或x1x2=■得到2+x2=-■或2x2=■，从而求出x2=44。失误4 学生列对了方程，但解出的答案都错误。

分析与反思：在学习方程的时候，我们知道方程的解的概念，如果未知数的值能够使得这个方程左右两边的值相等的，那么这个未知数的值才是方程的解。因此，得到一个答案时，其实我们可以通过检验的方法去判断自己解的方程是否正确。通过分析，学生在计算、解题过程中，解答的错误很多是因为没有养成良好的解后检验习惯，重视解后检验。及时发现、改正错误，是确保解答正确的重要手段，也是培养学生缜密思考、严谨治学等数学学科素养的重要途径。

杨光伟博士认为理性精神、求真精神、创新精神是数学精神之大道，是数学文化品格的高级表现。在初中数学教学中，根据教学内容设置合理的思辨性问题，有助于学生明辨概念，辨别命题、方法的真伪，完善认知结构，也有助于形成学生良好的数学文化品格。

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